DIVISIONS ET PROBLEMES
I. Multiples et diviseurs.
1. Définitions :
Les multiples d’un nombre s’obtiennent en multipliant ce nombre par un nombre entier.
Exemple :
7 7 1 et 14 7 2 et 21 7 3 ainsi 7,14, 21 sont des multiples de 7.
41 n’est pas un multiple de 7.
Un nombre a une infinité de multiples.
2. La division euclidienne.
La division euclidienne se compose de 4 nombres entiers:
Un dividende.
Un diviseur. Dividende diviseur
Un quotient. quotient
Un reste.
Reste
Exemples :
248 7 487 9 784 11 38 35 37 54 14 71
3 1 3
3. Définition :
Effectuer la division euclidienne d’un dividende par un diviseur différent de zéro :
C’est trouver : le quotient et le reste.
La relation entre ces 4 nombres est :
Dividende = (diviseur quotient) + reste
Exemples :
4. Diviseurs et multiples :
Le nombre « a » est un multiple de « b »
Le reste de la division euclidienne d’un nombre « a » par un nombre « b »est égal à zéro
Le nombre « b » est un diviseur du nombre « a »
Le nombre
« a » est divisible par
« b »
II. Critères de divisibilité
1. Règles de divisibilité par 2 par 5 et par 10.
un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0,2,4,6 ou 8.
un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Exemples :
1046 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 6 (1046 = 2 523), mais il n’est divisible ni par 5 ni par 10.
450 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 0 (450 = 590 ); et il est divisible par 10 car son chiffre des unités est 0 (450 = 10 45).
2. Règles de divisibilité par 3 et par 9.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9.
Exemples :
Est-ce que 134567821 est un multiple de 3 ? 1. On barre tous les 3 ,les 6 et les 9.
2. On essaie de former des sommes qui font 3 ou 6 ou 9.
3. On additionne le reste.
4. Si la somme est égale à 3 ou 6 ou 9 alors ce nombre est un multiple de 3.
Exemples :
Complète le tableau suivant en écrivant Oui ou Non :
Le nombre ... est divisible par : 2 3 5 9 10 230
1 431 3 402 422 414 102 780 2 125
143 485 548 854 845 864 210 335 567 453 871 963 11 706 79 002
III. Division décimale 1. Définition :
La division décimale du nombre « a » par le nombre « b » permet de calculer :
Le quotient exact de a par b ou une valeur approchée de celui-ci.
Notation : Le quotient exact de a par b se note : a b ou a
b (écriture fractionnaire du quotient).
Exemple 1 : Dividende entier et diviseur entier : Calculer le quotient exact de 4 545 par 60 :
Dès que l’on abaisse le premier 0 « après la virgule » du dividende, on place une virgule au quotient.
75,75 est le quotient exact de 4 545 par 60.
Exemple 2 :Dividende décimal et diviseur entier : Calculer le quotient exact de 132,64 par 25 :
Dès que l’on abaisse le premier chiffre après la virgule du dividende, on place une virgule au quotient.
5,3056 est le quotient exact de 132,64 par 25.
0 0 5, 4 5
4 6 0
5 7 5, 7 0
2 4 -
5 4 3
0 0 3 -
0 5 4
0 2 4 -
0 0 3
0 0 3 -
0
0 0 4 6 2, 3
1 2 5
6 5 0 3 5, 5
2 1 -
6 7
5 7 -
4 1
0 -
0 4 1
5 2 1 -
0 5 1
0 5 1 -
0
Remarque :
Attention le quotient de deux nombres décimaux n’est pas toujours un nombre décimal.
Exemple :2,5 5
2. Valeur approchée.
Quand une division ne se termine pas, on peut donner une valeur approchée par excès ou par défaut du résultat.
Exemple :
Pour la division 9211
8,3 est une valeur approchée au dixième près par défaut.
8,4 est une valeur approchée au dixième près par excès.
8 est une valeur approchée à l’unité près par défaut.
8,363 est une valeur approchée au millième près par défaut.
3. Diviser par 10, 100 , 1000.
Ces 3 phrases veulent dire la même chose :
Diviser un nombre par 10,100,1000 .
Déplacer la virgule de 1,2 ou 3 rangs vers la GAUCHE
Multiplier un nombre par 0,1 ou par 0,01 ou par 0,001.
