Soit ω un nombre complexe tel que ω 6= 1 et ω 5 = 1 . On considère les deux nombres complexes α et β dénis par :

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Cet exercice porte sur la construction d'un pentagone régulier

.

Soit ω un nombre complexe tel que ω 6= 1 et ω ⁵ = 1 . On considère les deux nombres complexes α et β dénis par :

α = ω + 1

ω β = −1 − α

1. a. Montrer que

ω = 1 ω = ω ⁴

Former une relation analogue pour ω ² au lieu de ω . Que peut-on en déduire pour ω + ω ⁴ et ω ² + ω ³ ?

b. Montrer que

1 + ω + ω ² + ω ³ + ω ⁴ = 0

2. a. Montrer que α et β sont réels en exprimant α à l'aide d'une partie réelle.

b. Simplier α + β et αβ . En déduire une équation simple du second degré dont les solutions sont α et β .

3. Préciser le centre et les intersections avec les axes du cercle d'équation x ² + y ² + x − 1 = 0

4. (En utilisant les résultats de terminale.) On suppose ω = e

= cos 2iπ

5 + i sin 2iπ 5

Montrer que les 3 points situés sur le cercle de centre 0 et de rayon 2 et dont les abscisses sont respectivement α , β et 2 sont des sommets d'un pentagone régulier. En déduire une construction à la règle et au compas d'un pentagone régulier.

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D'après E.N.S.A.I.S 2005

Corrigé

1. a. Comme ω est de module 1, son inverse est égal à son conjugué donc ω = ¹

. De plus

ω ⁵ = 1 ⇒ 1 ω = ω ⁴ .

En remplaçant ω par ω ² dans la relation précédente, on obtient ω ² = 1

ω ² = ω ³ car ω ⁵ = 1.

b. En multipliant par 1 − ω 6= 0 , on obtient

(1 − ω)(1 + ω + ω ² + ω ³ + ω ⁴ ) = 1 − ω ⁵ = 0 ⇒ 1 + ω + ω ² + ω ³ + ω ⁴ = 0 2. a. D'après la question précédente, α = ω + ω = 2 Re(ω) ∈ R. Comme β = −1 − α ,

on en déduit que β est aussi réel.

b. Par dénition α + β = −1 . Exprimons le produit αβ en fonction de α puis de puissances de ω à l'aide de la question 1.a. :

αβ = − α ² + α

= −



ω ² + ω ⁸

|{z}

=ω

+ 2 + ω + ω ⁴





= − 1 + ω + ω ² + ω ³ + ω ⁴ + 1

= −1 On va montrer que l'équation (d'inconnue z ) dont α et β sont les deux racines est

z ² + z − 1 = 0 En eet, pour tout z ,

(z − α)(z − β) = z ² − (α + β)z + αβ = z ² + z − 1

3. Pour le cercle d'équation x ² + y ² + x − 1 = 0 , les points d'intersection sont faciles à calculer.

Les points d'intersections avec l'axe Oy ont pour coordonnées (0, 1) et (0, −1) . Les points d'intersections avec l'axe Ox ont pour coordonnées (α, 0) et (β, 0) . En eet, pour l'intersection avec 0x , on retrouve l'équation de la question précédente.

On obtient le centre et le rayon en écrivant l'équation sous une autre forme x ² + y ² + x − 1 = 0 ⇔ (x + 1

2 ) ² + y ² = 1 + 1 4 On en déduit que

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Le centre est le point de coordonnées (− ¹ ₂ , 0) . Le rayon est

₂ ⁵ .

4. On suppose dans cette question que ω = e

. On va montrer que les points d'abscisses 2 , α et β sur le cercle de centre O et de rayon 2 sont des sommets d'un pentagone régulier en montrant que leurs axes appartiennent à 2 U 5 .

Il existe un seul point du cercle dont l'abscisse est 2 , son axe est 2 ∈ 2 U 5 .

Il existe deux points du cercle dont l'abscisse est α , leurs axes sont 2ω = 2e

, et 2ω ⁴ = 2e

(conjuguées et dans 2 U 5 ).

Montrons que β est la partie réelle de ω ² = e

. En eet, comme ω

= ω ⁴ et 1 + ω + ω ² ω ³ + ω ⁴ = 0

β = −1 − ω − ω

= −1 − ω − ω ⁴ = ω ² + ω ³ = 2 Re(ω ² ) = 2 Re e

Les axes des deux points du cercle d'abscisse β sont donc 2ω ² et 2ω ² = 2ω ³ qui sont dans 2 U 5 .

On peut construire un pentagone régulier à la règle et au compas en utilisant l'algo- rithme suivant.

Construire le point A de coordonnées (− ¹ ₂ , 0) et le point B de coordonnées (0, 1) Construire le cercle C ₁ de centre A et passant par B .

Construire les points d'intersection C , D de C ₁ avec l'axe Ox . Construire le cercle C ₂ de centre 0 et de rayon 2.

Contruire les points E , F , G , H de même abscisse que C , D sur C 2

Construire le point K de coordonnées (2, 0) Alors (E, F, G, H, K) forme un pentagone régulier.

Le principe étant de commencer par construire le cercle de la question 3 dont les intersections avec l'axe réel sont les abscisses de 4 points du pentagone (dans le cercle centré à l'origine et de rayon 2).

B

K C 2

G E

H

C ₁

A O

C D

F

Fig. 1: Construction d'un pentagone régulier

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