EXERCICE 2 (5 points )
(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.
Partie A
On suppose connus les résultats suivants :
1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixeszA,zBetzC trois pointsA,BetC. Alors
zB−zC
zA−zC
= CB
CA et arg
zB−zC
zA−zC
=−→CA,−−→CB
(2π).
2. Soitzun nombre complexe etαun réel :z =eiθsi et seulement si|z|= 1et arg(z) =θ+ 2kπ, où kest un entier relatif.
Démonstration de cours : démontrer que la rotation r d’angle α et de centre Ω d’affixe ω est la transformation du plan qui à tout pointM d’affixez associe le pointM′ d’affixez′tel que
z′−ω =eiα(z−ω).
Partie B
Dans un repère orthonormal direct du plan complexe(O,→−u ,−→v )d’unité graphique 2 cm, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA = −√
3− i, zB = 1 −i√
3, zC = √
3 + i et zD =−1 +i√
3.
1. a. Donner le module et un argument pour chacun des quatre nombres complexeszA,zB,zCetzD. b. Comment construire à la règle et au compas les pointsA,B,CetDdans le repère(O,−→u ,−→v )? c. Quelle est la nature du quadrilatèreABCD?
2. On considère la rotationrde centreB et d’angle−π
3. SoientE etF les points du plan définis par :E =r(A)etF =r(C).
a. Comment construire à la règle et au compas les pointsE etF dans le repère précédent ? b. Donner l’écriture complexe der.
c. Déterminer l’affixe du pointE.
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EXERCICE 2
Partie A.Démonstration de cours.
On suppose le plan rapporté à un repère orthonomal(O,−→u ,−→v).
•Si M=Ωalorsz=ω, puisM′=Ωetz′=ω. Dans ce cas on a bienz′−ω=eiα(z−ω).
• SiM6=Ω, alorsM′6=Ωet M′ est le point du plan tel que ΩM′
ΩM =1 et−−ΩM,→ −−−→ ΩM′
=θ[2π]. Mais alors d’après le premier pré-requis donné par l’énoncé
z′−ω z−ω
= ΩM′
ΩM =1et arg
z′−ω z−ω
−−→ ΩM,−−−→
ΩM′
=α[2π].
Ainsi,z′−ω
z−ω est le nombre complexe de module1et d’argumentαc’est-à-dire le nombreeiθd’après le deuxième prérequis.
On a ainsi montré que z′−ω
z−ω =eiθ ou encore quez′−ω=eiθ(z−ω).
Ce dernier résultat est donc vrai dans tous les cas et on a montré que
pour tout pointMd’affixez,z′−ω=eiθ(z−ω).
Partie B.
1) a.|zA|=|zB|=|zC|=|zD|= q
(±1)2+ (±√
3)2=√
1+3=2. Puis,
•zA= −√
3−i=2 −
√3 2 −1
2i
!
=2
cos
−5π 6
+isin
−5π 6
=2e−5iπ/6,
•zB=1−i√
3=2 1 2−i
√3 2
!
=2 cos
−π 3
+isin
−π 3
=2e−iπ/3,
•zC= −zA=eiπ×2e−5iπ/6=2eiπ/6,
•zD= −zB=eiπ×2e−iπ/3=2e2iπ/3.
zA=2e−5iπ/6,zB=2e−iπ/3, zC= −zA=2eiπ/6 etzD = −zB=2e2iπ/3. b.
1 2
−1
−2
1 2
−1
−2
b
b
b b
A
B
C D
Les quatre pointsA,B,CetDsont sur le cercleC de centreOet de rayon2.
Le point A est le point d’intersection de C et de la droite d’équationy= −1 dont l’abscisse est négative.
Le point B est le point d’intersection de C et de la droite d’équationx=1dont l’ordonnée est négative.
Le point C est le point d’intersection de C et de la droite d’équationy=1dont l’abscisse est positive.
Le point D est le point d’intersection de C et de la droite d’équationx= −1dont l’ordonnée est positive.
http ://www.maths-france.fr 3 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.
c. 1 ère solution.•On azC= −zAet zD= −zB ou encore zA+zC
2 = zB+zD
2 =0. Ainsi, les diagonales[AC]et [BD]
ont le même milieu à savoirO. Le quadrilatèreABCDest donc un parallélogramme de centreO.
• [AC] est un diamètre du cercleC et donc le triangleADCest rectangle en D. Ainsi, le parallélogrammeABCD a un angle droit et donc ce parallélogramme est un rectangle.
•−AC.→−BD→=√
3×(−2) +2×√
3=0et les diagonales[AC]et[BD]sont perpendiculaires. Le quadrilatèreABCDest aussi un losange.
En résumé le quadrilatèreABCD est un rectangle et un losange et donc un carré.
2 ème solution.On azB=izA,zC=izB,zD=izC(etzA=izD). Puisquei=eiπ/2, sirest la rotation de centreOet d’angle π
2, B=r(A), C=r(B),D =r(C)(etA=r(D)). Le quadrilatèreABCDest ainsi la réunion de quatre triangles rectangles isocèles enOet encore une fois
le quadrilatèreABCD est un carré.
2) a.Eest l’image deApar la rotation de centreBet d’angle−π
3. Par suite, le triangleBAE est équilatéral indirect. Le pointEest donc sur le cercle de centreBpassant parAet sur la médiatrice de[AB]en tournant dans le sens indirect. De même, le pointFest sur le cercle de centreBpassant parCet sur la médiatrice de[AC]en tournant dans le sens indirect.
1 2
−1
−2
1 2
−1
−2
b
b
b b
b
b
A
B
C D
E
F
b.L’écriture complexe de rest
z′=e−iπ/3(z−2e−iπ/3) +2e−iπ/3=e−iπ/3z−2e−2iπ/3+2e−iπ/3
= 1 2 −i
√3 2
!
z− (−1−i√
3) + (1−i√
3) = 1 2−i
√3 2
! z+2.
L’écriture complexe de rest z′ = 1 2 −i
√3 2
! z+2.
c.zE= 1 2 −i
√3 2
! (−√
3−i) +2= (1−i√ 3)(−√
3−i)
2 +2=2−√ 3+i.
zE=2−√ 3+i.
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