Montrer que pour toutn∈N: An = 1 α+β β+αλn α(1−λn) β(1−λn) α+βλn

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Partie 1 : Un exemple en dimension 2

Soientα, β∈]0,1[. On note :

A(α, β) =

1−α α β 1−β

.

On noteλ= 1−α−β. 1. a. CalculerA

1 1

etA −α

β

.

b. Expliciter une matriceP ∈GL2(R)telle que : P⁻¹AP =

1 0 0 λ

.

Déterminer égalementP⁻¹. c. Montrer que pour toutn∈N:

Aⁿ = 1 α+β

β+αλⁿ α(1−λⁿ) β(1−λⁿ) α+βλⁿ

.

2. Soit(Ω,P)un espace probabilisé etn+ 1variables aléatoiresX0, ..., Xn dénies dans Ωet à valeurs dans{0,1}. On suppose que pour toutk∈J0, n−1K:

P(Xk+1= 1|Xk = 0) =α et P(Xk+1= 0|Xk = 1) =β.

a. Montrer que pour toutk∈J0, n−1K: P(X_k+1= 0)

P(X_k+1= 1)

=A(α, β)^T

P(X_k = 0) P(X_k = 1)

. b. Montrer que :

P(Xn = 0) =β+αλⁿ

α+β P(X0= 0) +α(1−λⁿ)

α+β P(Xn = 1)

P(X_n = 0) = β(1−λⁿ)

α+β P(X₀= 0) +α+βλⁿ

α+β P(X_n= 1)

c. DéterminerP(Xn=X0). d. Posonsr= min

α

α+β, β α+β

. A l'aide d'une étude de la fonction Φ(x) =x+ (1−x)λⁿ, montrer que :

P(X_n=X₀)≥r+ (1−r)(1−α−β)ⁿ. 3. Soitl ∈N^∗. Considérons une famille (X_kⁱ)0≤k≤n

1≤i≤l de variables aléatoires dénies sur Ω à valeurs dans{0,1} telles que pour toutk∈J0, nK, les variables aléatoiresX_k¹, ..., X_k^l soient mutuellement indépendantes. On suppose que pour tout i∈J1, lKet pour tout k∈JP, n−1K:

P(X_k+1ⁱ = 1|X_kⁱ = 0) =α et P(X_k+1ⁱ = 0|X_kⁱ = 1) =β.

On noteQn la probabilité de l'événement{∀i∈J1, lK, X_nⁱ =X₀ⁱ}. Monter que : Q_n≥[r+ (1−r)(1−α−β)ⁿ]^l.

4. On souhaite transmettre un message constitué de l bits (a1, ..., al)∈ {0,1}^l à l'aide d'un réseau de communication constitué de n relais numérotés de 1 à n. Pour être transmis, le message doit passer successivement par lesnrelais. Au passage de chaque relais, chaque bit du message a une probilitéαd'être modié. On suppose que les relais agissent indépendamment les uns des autres et indépendamment sur chaque bit.

Soitε >0. Déterminer un entiernc tel que pour tout n≥nc, la probabilité pour que le message soit erroné après le passage dun-ème relais soit supérieure ou égale àε.

Partie 2 : Spectre d'une matrice stochastique

Soitn≥2, soitA= (a_i,j)_1≤i,j≤n ∈ M_n(R). On dit queAest une matrice stochastique (respectivement strictement stochastique) si tous ses coecients ai,j sont positifs ou nuls (respectivement strictement positifs) et si :

∀i∈J1, nK,

n

X

j=1

a_i,j= 1.

Dans toute cette partie on noteraU ∈ Mn,1(R)la matrice colonne dont tous les coecients valent1.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Amastoch

(2)

MPSI B 29 juin 2019

1. SoitA = (ai,j)1≤i,j≤n une matrice stochastique (respectivement strictement stochastique). Montrer que pour tout(i, j)∈J1, nK

2 :

0≤a_i,j≤1 (respectivement0< a_i,j<1).

2. Montrer qu'une matriceA∈ Mn(R)à coecients positifs ou nuls est stochastique si et seulement siAU =U.

3. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques (respectivement stochastiques) est stochastique (respectivement stochastique).

4. SoitA= (ai,j)_1≤i,j≤n∈ Mn(C), soitλ∈C. On suppose qu'il existeX ∈ Mn,1(C)\{0}

telle queAX=λX. Montrer qu'il existei∈J1, nKtel que :

|λ−ai,i| ≤

n

X

j=1 j6=i

|ai,j|.

5. SoitA∈ Mn(R)une matrice stochastique, soitλ∈C. On suppose qu'il existe X ∈ Mn,1(C)\ {0}tel que AX=λX.

a. Montrer que|λ| ≤1.

b. SupposonsA strictement stochastique. Montrer que siλ6= 1, alors|λ|<1. 6. SoitA= (ai,j)_1≤i,j≤n ∈ Mn(C). On dit queA est à diagonale strictement dominante

si :

∀i∈J1, nK, |ai,i|>

n

X

j=1 j6=i

|ai,j|.

Montrer qu'une matrice à diagonale strictement dominante est inversible.

7. SoitA∈ Mn(R)une matrice strictement stochastique.

a. Notons A1 = (ai,j)_{1≤i,j≤n−1} ∈ M_n−1(R) la matrice obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne deA. Montrer queA1−I_n−1 est à diagonale strictement dominante.

b. Montrer queKer(A−In)est de dimension1.

Corrigé

Partie 1 : Un exemple en dimension 2

1. a. On trouveA 1

1

= 1

1

etA −α

β

=λ −α

β

.

b. Notons u ∈ L(R²) l'endomorphisme canoniquement associé à A. Posons e1 = (1,1)ete2= (−α, β). D'après la question précédente,u(e1) =e1 et u(e2) =λe2. Dans la baseB= (e1, e2)la matrice deuvautdiag(1, λ). NotonsP la matrice de passae de la base canonique vers la baseB. On a par la formule de changement de bases :

P⁻¹AP = 1 0

0 λ

.

De plus :

P=

1 −α 1 β

et P⁻¹= 1 α+β

β α

−1 1

.

c. Pour toutn∈N, on a : Aⁿ=P

1 0 0 λⁿ

P⁻¹=

β+αλⁿ α(1−λⁿ) β(1−λⁿ) α+βλⁿ

.

2. a. D'après la formule des probabilités totales et les hypothèses de l'énoncé

P(X_k+1= 0) =P(X_k=0)(X_k+1= 0)P(X_k = 0) +P(X_k=1)(X_k+1= 0)P(X_k = 1)

= (1−α)P(Xk = 0) +βP(Xk = 1) De même

P(Xk+1= 1) =P(X_k=0)(Xk+1= 1)P(Xk = 0) +P(X_k=1)(Xk+1= 1)P(Xk = 1)

=αP(Xk = 0) + (1−β)P(Xk = 1) Soit

P(X_k+1= 0) P(Xk+1= 0)

=

1−α β α 1−β

P(X_k = 0) P(Xk = 0)

= ^tA

P(X_k= 0) P(Xk= 0)

b. D'après la question précédente, P(X_n= 0)

P(X_n= 0)

= (^tA)ⁿ

P(X₀= 0) P(X₀= 0)

On en déduit les formules annoncées avec l'expression deAⁿ trouvée en 1.c..

(3)

MPSI B 29 juin 2019

c. Admettons que

P(X0=0)(Xn= 0) = β+αλⁿ

α+β P(X0=1)(Xn = 0) =β(1−λⁿ) α+β P(X₀=0)(X_n = 1) =α(1−λⁿ)

α+β P(X₀=1)(X_n= 1) = α+βλⁿ α+β

ce qui est justié par la formule des probabilités totales. On peut alors écrire une union disjointe

(Xn=X0) = (Xn= 0)∩(X0= 0)∪(Xn= 1)∩(X0= 1)

⇒P(X_n=X₀) =P(X₀=0)(X_n= 0)P(X₀= 0) +P(X₀=1)(X_n= 1)P(X₀= 1)

= β+αλⁿ

α+β P(X₀= 0) +α+βλⁿ

α+β P(X₀= 1) d. Montrons l'inégalité demandée à l'aide de la fonction auxiliaire Φ donnée par

l'énoncé. On aΦ⁰(x) = 1−λⁿ≥0 puisque−1< λ= 1−α−β <1. DoncΦest croissante. Pour toutx≥r,Φ(x)≥Φ(r). Or :

P(Xn=X0) = Φ β

α+β

P(X0= 0) + Φ α

α+β

P(x0= 1) donc :

P(xn =X0)≥Φ(r).

C'est le résultat demandé.

On pouvait aussi démontrer le résultat sans étude de fonction. Pour plus de com- modité, notonsu=P(X₀= 0)etv=u=P(X₀= 1). Alors :

P(Xn =X0) = β

α+βu+ α α+βv+

α

α+βu+ β α+βv

λⁿ

Dans la deuxième parenthèse, remplaçonsupar1−v etv par1−u

P(X_n=X₀) = β

α+βu(1−λⁿ) + α

α+βu(1−λⁿ) +λⁿ

≥r(u+v)(1−λⁿ) +λⁿ=r+ (1−r)λⁿ

3. On noteX0le message initial et pour tout k∈J1, nK,Xk le message après le passage duk-ème relais. On a pour toutk∈J0, n−1K:

P(Xk+1=|Xk= 0) = 1−α

P(Xk+1= 1|Xk = 0) =α et

P(Xk+1= 1|Xk= 0) =α P(Xk+1= 1|Xk= 1) = 1−α Ainsi, la probabilité pour que le message nal soit identique au message initial vaut :

P(Xn=X0)≥Φ(r) avecr=1

2 (puisqueα=β). Donc :

P(X_n=X₀)≥1 + (1−2α)ⁿ

2 .

Mais il faudrait majorer cette probabilité et non la minorer ! Pour cela, reprenons l'expression de la question 2.c. On a commeα=β :

P(Xn =X0) = 1 + (1−2α)ⁿ

2 P(X0= 0) +1 + (1−2α)ⁿ

2 P(X0= 1) =1 + (1−2α)ⁿ

2 .

On cherchentel queP(X_n=X₀)≤1−ε. Pour cel il sut d'avoir : 1 + (1−2α)ⁿ

2 ≤1−ε⇔nln(1−2α)≤ln(1−2ε)⇔n≥ ln(1−2ε) ln(1−2α) car les deux logaritmes sont négatifs. En posant :

nε=

ln(1−2ε) ln(1−2α)

on a :

∀n∈N, n≥nε=⇒P(Xn =X0)≤ε.

Partie 2 : Spectre d'une matrice stochastique

1. Soit (i, j) ∈ J1, nK

2. Par dénition, ai,j ≥0 (>0 si A est strictement stochastique).

Alors :

ai,j≤

n

X

k=1

ai,k= 1 et l'inégalité est stricte siA est strictement stochastique.

(4)

MPSI B 29 juin 2019

2. SoitA = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Mn(R)à coecients positifs. Pour tout i ∈J1, nK, la i-ème ligne de la matrice colonneAU vaut :

n

X

j=1

a_i,j.

Ainsi,AU =U si et seulement siA est stochastique.

3. Soient A = (a_i,j)_1?_e_qi,j≤n, B = (b_i,j)_1≤i,j≤n ∈ M_n(R) deux matrices stochastiques.

Notons(ci,j)_1≤i,j≤n=AB. Pour tout(i, j)∈J1, nK

2 :

c_i,j=

n

X

k=1

a_i,kb_k,j.

Pour tout(i, j)∈J1, nK

2 et toutk∈J1, nK, a_i,kb_k,j ≥0 doncc_i,j≥0. SiA etB sont strictement stochastiques, l'inégalité est stricte.

Pour touti∈J1, nK:

n

X

j=1

ci,j=

n

X

j=1 n

X

k=1

ai,kbk,j=

n

X

k=1 n

X

j=1

ai,kbk,j=

n

X

k=1

ai,k n

X

j=1

bk,j

| {z }

=1

=

n

X

k=1

ai,k= 1.

DoncABest stochastique (strictement stochastique siAet B le sont).

4. NotonsX =





 x1

...

xn





. Pour touti∈J1, nK, lai-ème ligne deAX vaut :

n

X

j=1

ai,jxj =λxi=⇒(ai,i−λ)xi=−

n

X

j=1

ai,jxj.

Notonsiun indice tel que|xi|= max{|xj|, j∈J1, nK}. CommeX 6= 0, alors|xi|>0. On a en divisant l'égalité précedente précedente par |xi| on obtient par l'inégalité triangulaire :

|a_i,i−λ| ≤

n

X

j=1 j6=i

a_i,j xj

x_i

|{z}

≤1

≤

n

X

j=1 j6=i

a_i,j.

5. Raisonnons par contraposée et supposons A non inversible : il existe X =





 x₁

...

xn





 ∈ Mn,1(R)tel queAX= 0. D'après la question précédente :

|ai,i| ≤

n

X

j=1 j6=i

|ai,j|.

DoncAn'est pas à diagonale dominante.

6. a. Soiti∈J1, n−1K. Alors :

1 =ai,i+

n

X

j=1 j6=i

ai,j> ai,i+

n−1

X

j=1 j6=i

ai,j

puisquea_i,n−1>0. Donc :

|1−ai,i|= 1−ai,i>

n−1

X

j=1 j6=i

ai,j=

n−1

X

j=1 j6=i

|ai,j|.

DoncA1−I_n−1 est à diagonale dominante.

b. A1−I_n−1est inversible doncA−In possède une sous-matrice inversible de taille (n−1)×(n−1). On en déduit querg(A−In)≥n−1. Mais commeU ∈Ker(A−In), alorsdim(Ker(A−In))≥1 soitrg(A−In)≤n−1 par la formule du rang. On en déduit quedim(Ker(A−In)) = 1.

7. a. D'après la question 8, on a par la minoration de l'inégalité triangulaire :

|λ| −ai,i≤

n

X

j=1 j6=i

ai,j=⇒ |λ| ≤

n

X

j=1

ai,j= 1.

b. Supposons que|λ|= 1. Siλ6= 1, alorsλ6∈R+ donc d'après le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire :

|λ| −a_i,i<|λ−a_i,i|

donc en reprenant la question précédente, on obtient|λ|<1.