Problème 2 : Matrices stochastiques.

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MPSI B Année 2016-2017. Énoncé DS 11 le 20/05/17 29 juin 2019

Problème 1 : Grandes déviations.

Soit(Ω,P)une espace probabilisé ni etX une variable aléatoire réelle dénie surΩ. On note mson espérance et Y =X−mla variable centrée associée. On considère également des variables aléatoiresX₁, ..., X_n dénies surΩmutuellement indépendantes et de même loi queX ainsi que la variable aléatoireS_n =X₁+...+X_n.

Dans ce problèmeε >0est xé. La partie 2 est un cas particulier de la partie 1 qui utilise les notationsY,ψ,h⁺ dénie dans la partie 1.

Partie 1 : Généralités

1. On considère des nombres réelsp₁,· · ·, p_N ety₁,· · ·, y_N tels que

∀i∈J1, NK, p_i>0; y₁< y₂<· · ·< y_N.

Former (en justiant) un développement asymptotique en+∞de la fonctionϕdénie par :

ϕ(t) =εt−ln

N

X

k=1

pke^ty^k

! .

Le reste devra êtreo(e^(y^N−1^−y^N^)t).

2. Pour t ∈ R, exprimer à l'aide de la formule de transfert l'espérance de la variable aléatoiree^tY. On note E(e^tY)cette espérance.

3. On dénit une fonctionψdansR⁺ par

∀t∈R⁺, ψ(t) =εt−ln(E(e^tY)).

a. Déterminerψ(0)etψ⁰(0). En déduire qu'il existet >0tel queψ(t)>0.

b. Préciser l'ensemble desε >0tels queψ→ −∞en+∞. Dans la suite du problème, on suppose queεest dans cet ensemble.

c. Montrer queψest majoré et qu'il atteint sa borne supérieure que l'on noteh⁺(ε). Montrer queh⁺(ε)>0.

4. Soitt∈R+. Montrer que :

P(S_n≥εn)≤ E(e^tSⁿ) e^nεt .

5. Montrer que :

e^−nψ(t)=e^−nεtE(e^tSⁿ) 6. En déduire que :

P S_n

n ≥ε

≤e^−nh⁺^(ε).

Partie 2 : Cas de variables de Bernoulli

Soitp∈]0,1[. On suppose dans cette partie queX est de loi de Bernoulli de paramètre p. On suppose également que 0< ε <1−p.

1. Montrer que :

P

Sn

n −p≥ε ^1/n

≤e^−h⁺^(ε). 2. a. Montrer que :∀t∈R+, E e^tY

= ((1−p) +pe^t)e^−pt. b. Montrer que :

h⁺(ε) = (p+ε) ln p+ε

p

+ (1−p−ε) ln

1−p−ε 1−p

.

3. Posonsk_n =b(p+ε)nc+ 1, oùbxcdésigne la partie entière dex. Montrer que :

P S_n

n −p≥ε

≥ n

kn

p^kⁿ(1−p)^n−kⁿ.

4. a. Soitα >0, soit(u_n)une suite admettant en+∞le développement asymptotique suivant :

un=αn+O(1).

Montrer queu_nln(u_n)admet en+∞le développement asymptotique suivant : u_nln(u_n) =αnln(αn) +o(n).

b. On admet queln(n!)admet le développement asymptotique suivant en+∞: ln(n!) =nln(n)−n+o(n).

Montrer que :

ln n

k_n

p^kⁿ(1−p)^n−kⁿ

∼ −nh⁺(ε).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1611E

(2)

5. Etudier la convergence de la suite de terme général

P S_n

n −p≥ε 1/n

.

Problème 2 : Matrices stochastiques.

Partie 1 : Un exemple en dimension 2

Soientα, β∈]0,1[. On note :

A(α, β) =

1−α α β 1−β

.

On noteλ= 1−α−β. 1. a. CalculerA

1 1

etA −α

β

.

b. Expliciter une matriceP ∈GL₂(R)telle que :

P⁻¹AP = 1 0

0 λ

. Déterminer égalementP⁻¹.

c. Montrer que pour toutn∈N:

Aⁿ = 1 α+β

β+αλⁿ α(1−λⁿ) β(1−λⁿ) α+βλⁿ

.

2. Soit(Ω,P)un espace probabilisé etn+ 1variables aléatoiresX0, ..., Xn dénies dans Ωet à valeurs dans{0,1}. On suppose que pour toutk∈J0, n−1K:

P(Xk+1= 1|Xk = 0) =α et P(Xk+1= 0|Xk = 1) =β.

a. Montrer que pour toutk∈J0, n−1K: P(Xk+1= 0)

P(Xk+1= 1)

=A(α, β)^T

P(Xk = 0) P(Xk = 1)

. b. Montrer que :

P(X_n = 0) =β+αλⁿ

α+β P(X₀= 0) +α(1−λⁿ)

α+β P(X_n = 1)

P(X_n = 0) = β(1−λⁿ)

α+β P(X₀= 0) +α+βλⁿ

α+β P(X_n= 1)

c. DéterminerP(Xn=X0). d. Posonsr= min

α

α+β, β α+β

. A l'aide d'une étude de la fonction Φ(x) =x+ (1−x)λⁿ, montrer que :

P(X_n=X₀)≥r+ (1−r)(1−α−β)ⁿ. 3. Soitl ∈N^∗. Considérons une famille (X_kⁱ)0≤k≤n

1≤i≤l de variables aléatoires dénies sur Ω à valeurs dans{0,1} telles que pour toutk∈J0, nK, les variables aléatoiresX_k¹, ..., X_k^l soient mutuellement indépendantes. On suppose que pour tout i∈J1, lKet pour tout k∈JP, n−1K:

P(X_k+1ⁱ = 1|X_kⁱ = 0) =α et P(X_k+1ⁱ = 0|X_kⁱ = 1) =β.

On noteQn la probabilité de l'événement{∀i∈J1, lK, X_nⁱ =X₀ⁱ}. Monter que :

Q_n≥[r+ (1−r)(1−α−β)ⁿ]^l.

4. On souhaite transmettre un message constitué de l bits (a1, ..., al)∈ {0,1}^l à l'aide d'un réseau de communication constitué de n relais numérotés de 1 à n. Pour être transmis, le message doit passer successivement par lesnrelais. Au passage de chaque relais, chaque bit du message a une probilitéαd'être modié. On suppose que les relais agissent indépendamment les uns des autres et indépendamment sur chaque bit.

Soitε >0. Déterminer un entiernc tel que pour tout n≥nc, la probabilité pour que le message soit erroné après le passage dun-ème relais soit supérieure ou égale àε.

Partie 2 : Spectre d'une matrice stochastique

Soitn≥2, soitA= (a_i,j)_1≤i,j≤n ∈ M_n(R). On dit queAest une matrice stochastique (respectivement strictement stochastique) si tous ses coecients ai,j sont positifs ou nuls (respectivement strictement positifs) et si :

∀i∈J1, nK,

n

X

j=1

a_i,j= 1.

Dans toute cette partie on noteraU ∈ Mn,1(R)la matrice colonne dont tous les coecients valent1.

(3)

1. SoitA = (ai,j)1≤i,j≤n une matrice stochastique (respectivement strictement stochastique). Montrer que pour tout(i, j)∈J1, nK

2 :

0≤a_i,j≤1 (respectivement0< a_i,j<1).

2. Montrer qu'une matriceA∈ Mn(R)à coecients positifs ou nuls est stochastique si et seulement siAU =U.

3. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques (respectivement stochastiques) est stochastique (respectivement stochastique).

4. SoitA= (ai,j)_1≤i,j≤n∈ Mn(C), soitλ∈C. On suppose qu'il existeX ∈ Mn,1(C)\{0}

telle queAX=λX. Montrer qu'il existei∈J1, nKtel que :

|λ−ai,i| ≤

n

X

j=1 j6=i

|ai,j|.

5. SoitA∈ Mn(R)une matrice stochastique, soitλ∈C. On suppose qu'il existe X ∈ Mn,1(C)\ {0}tel que AX=λX.

a. Montrer que|λ| ≤1.

b. SupposonsA strictement stochastique. Montrer que siλ6= 1, alors|λ|<1. 6. SoitA= (ai,j)_1≤i,j≤n ∈ Mn(C). On dit queA est à diagonale strictement dominante

si :

∀i∈J1, nK, |ai,i|>

n

X

j=1 j6=i

|ai,j|.

Montrer qu'une matrice à diagonale strictement dominante est inversible.

7. SoitA∈ Mn(R)une matrice strictement stochastique.

a. Notons A1 = (ai,j)_{1≤i,j≤n−1} ∈ M_n−1(R) la matrice obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne deA. Montrer queA1−I_n−1 est à diagonale strictement dominante.

b. Montrer queKer(A−In)est de dimension1.