Chapitre n°9 : Nombres imaginaires Partie 2/2

(1)

1/22 -

Chapitre n°10: Nombres imaginaires Partie 2/2

Objectifs :

Nivea

u 1 2 3 4

C10.a 1 Savoir donner la forme trigonométrique (module et

argument) et l'interprétation géométrique associée.

notation exponentielle.

C10.b 1 Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du

module d'un nombre imaginaire.

C10.c 1 Savoir interpréter Z = c – a

b – a .

C10.d 1 Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre

imaginaire.

Activité d'approche n°1

Sur la figure ci-contre, (O;I,J) est un repère orthonormé direct.

1. Donner ou calculer les affixes de tous les points de la figure :

I :...…

J :...…

H :...…

K :...…

C :...…

F :...…

Q :...…

B :...…

D :...…

G :...…

L :...…

N :...…

A :...…

E:...…

M :...…

P :...…

R :...…

2. Donner les modules des affixes de chacun des points :

…...

...

...…

3. Si X est un point d'affixe zX = a+ib, et  la mesure principale de l'angle orienté que forme OX⃗ avec OI⃗ , calculer a et b en fonction du module |z_X| de zX et de  :

...

......

1/22

I J

O

A B

D C

E

G F

H K

L M

N P

Q R

(2)

2/22 -

...

Cours n°1

Chapitre n°9 : Nombres imaginaires Partie 2/2

I) Forme trigonométrique d'un nombre imaginaires Définition n°1

Soit zM = a + ib un nombre imaginaire non nul et M son image dans un repère (O ; ⃗u , ⃗j ). On appelle argument de zM une m..………....…….

……….. (⃗u ;OM⃗ )

On note : arg(zM) = (⃗u ;OM⃗ ) à 2^près.

Propriété n°1

Soit z un nombre imaginaire non nul de la forme a+ib, de module |z| et d'argument

arg(z).

Alors, on a :

{

^a⁼...

b=... et

{

^cos⁽^arg⁽^z⁾⁾⁼...

sin(arg(z))=...

|z|=...

z = a+ib et z = ^|z|×(…...)

Cette dernière expression est une forme trigonométrique de z.

Exemple n°1 :

arg(i) = …... et |i|=...

arg(5) = …... et |5|=...

arg(1+i) = …... et|1+i^| =...

arg( ^√³

2 + ¹

2 i) = …... et

|

^√₂³⁺¹₂ⁱ

|

=...

Exemple n°2 :

Écrire sous forme algébrique le nombre imaginaire z de module 4 et d'argument –π

6 .

...

...…

Écrire sous forme trigonométrique le nombre imaginaire : z = – _√5 +i_√5 .

...

Exemple n°3 :

2/22

(3)

Objectifs :

Nivea u

1 2 3 4

C9.a 1 Savoir donner la forme trigonométrique (module et

argument) et l'interprétation géométrique associée.

notation exponentielle.

Ex.1 (/6) :

Compléter :

1. arg(5) = …... et |5|=...

2. arg

(

¹2– √3

2 i

)

= …... et

|

¹₂^– ^√₂³ⁱ

|

=...

3. arg(8i) = …... et |8i|=...

Ex.2 (/2) :

Écrire sous forme algébrique le nombre complexe z de module 6 et d'argument

π4

...

Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe : z = ^√³

2 – 1 2i .

...

3/22

(4)

4/22 -

Ex.3 (/3) :

Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre complexe (justifier) :

(5)

5/22 -

Indices et résultats Ex.1 : arg(8i)=π, ^|8i|=8, arg(5)=0, ^|5|=5,

.

Ex.2 : 6√2 2 +6√2

2

Ex.3 : Une seule écriture est correcte.

Interrogation n°1 Objectifs :

C10.a_Niv1 : Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) et l'interprétation géométrique associée. notation exponentielle.

Exercice n°1 Ex.23 p.211 Exercice n°2

Ex.27 p.211 Exercice n°3*

Ex.28 p.211 Exercice n°4*

Ex.115 p.216

Cours n°2

II) Propriétés des arguments des nombres imaginaires Propriété n°2

z et z' sont des nombres imaginaires non nuls. Alors :

1. (produit) : arg( zz' ) = …... ... …... + 2k^,k ∈ Z. 2. (puissance) : arg( zⁿ) = …... + 2k^,k ∈ Z.

3. (quotient) : arg

(

z '^z

)

= …... ... …... + 2k^,k ∈Z.

Démonstration :

Dans la suite, r = |z| ,  = argz , r' = |z '| ,  ' = argz ' 1. z = r (cos( )+isin()) et z' = r' (cos(')+isin('))

zz' = …...…

zz' = rr'...

zz' = rr' (cos(...+...)+isin(...+...)) 2. Par récurrence :

...

...…

5/22

(6)

6/22 -

3. Soit z ' '=z '

z . Alors z'=... On applique ensuite 1.

Exemple n°4

On considère z= ¹

2 +i√3

2 et z'=i. Déterminer les formes trigonométriques de z et z'.

Calculer Arg(zz') et |zz '| .Placer l'image de zz'.

...

Placer les images de z et z' sur le cercle ci-contre.

Exemple n°5

On considère z= ¹

2 +i√3

2 . Déterminer la forme algébrique de z²⁰¹⁵.

...

Se Tester n°2 - C9_2 (/5)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C9.b 1 Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du

module d'un nombre imaginaire.

Exercice n°1 (/3)

On considère z=¹₂+^√₂³i et z'=i.

1. Déterminer les formes trigonométriques de z et z’,puis, sans calculer z z , ’

calculer Arg(zz') et |zz '| .

6/22

(7)

7/22 -

...

2. En utilisant les informations précédentes, placer l'image de zz' sur le cercle ci- dessus.

3. En utilisant les informations sur z et z’ , placer les images de z et z' sur le cercle ci- dessus.

On considère z = ^√³

2 +¹

2i . Déterminer la forme algébrique de z²⁰¹⁴.

...

/;

...

/;

...

7/22

(8)

8/22 -

Indices et résultats

Ex.1 : Arg(zz') = ⁵π

6 et |zz '| =1.

Ex.2 : Passer par la forme exponentielle, élever à la puissance demandée, et repasser en forme algébrique.

C10.b_Niv1 : Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.

Ex.126 p.216

Cours n°3

On se place dans un repère (O; ⃗u ; ⃗j ).Pour tout point A et B d'affixes respectives zA

et zB, (⃗u ; ⃗AB ) = arg(...) + 2k , k ∈ Z. Démonstration :

Géométriquement, en traçant un représentant de ⃗AB , d'origine O.

On se place dans un repère (O; ⃗u ; ⃗j ).

zA, zB, zC et zD sont quatre imaginaires distincts d'images respectives A, B, C et D. Alors :

1.arg

(

^z^z^BA^−z−z^C_C

)

⁼^{( ⃗}^{CA ;}^CB^⃗⁾ + 2k , k ∈ Z.

2.arg

(

^z^z^DB⁻−^zz^C_A

)

⁼^{( ⃗}^{AB ;}^CD^⃗⁾ + 2k , k ∈ Z. Démonstration :

8/22

(9)

(10)

9/22 -

1.arg

(

)

= …...– …... + 2k , k ∈ Z.

arg

(

^z^z^BA⁻−z^z^CC

On considère les points A, B et C d'affixes respectives

a = 3+6i, b = 4+7i et c = 4 + 5i .

1. Calculer et interpréter géométriquement le module et l'argument de Z = ^{c – a}_{b – a} . ...

...

2. En déduire la nature du triangle ABC.

...

se tester C9_3 (/4)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C9.c 1 Savoir interpréter Z = c – a

b – a .

Exercice n°1

On considère les points A, B et C d'affixes respectives

a = ^√²

2 +^√²

2 i

b = tirage 3=tirage 1;2;tirage 3=tirage 2;_√3+i;tirage 3=tirage 3;√2+√2i;tirage 9/22

(11)

(12)

(13)

10/22 -

3=tirage 4;1+√3i;2i

c = √2i

Calculer Z = ^{c – a}_{b – a} , |Z| et en déduire la nature du triangle ABC .

...

... ...

...

10/22

(14)

11/22 -

Résultats et indices

Le triangle est rectangle et isocèle en A.

C10.c_Niv1 : Savoir interpréter Z = c – a b – a . Exercice n°7

Ex.149 p.217 Exercice n°8

Ex.151 p.217

Activité d'approche n°2

Posons f() = cos + isin.

1. Démontrer que f( + ' ) = f()×f(').

...

2. Démontrer que (f(θ¿⁾⁾ⁿ ⁼^f⁽ⁿθ⁾

...

3. Démontrer que f '()=if ()

...

4. Calculer 1

f ⁽θ⁾ en fonction de f(–)

11/22

(15)

12/22 -

...

5. Calculer f(0).

...

6. Démontrer que f ⁽θ⁾

f (θ^'⁾⁼^f ⁽θ^%−θ ^'⁾

...

7. À quelle fonction fait penser f ?

...

Cours n°4

III) Notation exponentielle Définition n°2

On définit la notation suivante :

eⁱ^ = cos  + i sin  qui désigne le nombre imaginaire de module 1 et d'argument .

On a les propriétés suivantes : 1. eⁱ⁽^+^')= eⁱ^ ×eⁱ^^'

2. (eⁱ^θ)ⁿ = e^{i n}^θ (formule de Moivre) 3. eⁱ⁰=1

4. eⁱ⁽^{ – }^')= ^eⁱ^θ

eⁱ^θ^'

Démonstration :

Cf activité d'approche précédente.

Exemple n°8

Calculer sous forme algébrique :

eⁱ²^π =...

eⁱ^π² =...

eⁱ^π =...

e⁻ⁱ^π² =...

eⁱ^π³ =...

Tout nombre imaginaire non nul z s'écrit sous la forme

|z|eⁱ^θ où  = arg(z)+ 2k , k ∈ Z.

12/22

(16)

13/22 -

Exemple n°9

Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme algébrique : 1. z1 = 2e⁻ⁱ^π² :

…...

...

2. z2 = √2 e³ⁱ^π⁴ :

…...

...

Exemple n°10

Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme exponentielle : 1. z3 = 2i :

…...

...

2. z4 = _√3 - 1 :

…...

...

Exemple n°11 :

Soit z=3eⁱ^π³ . Démontrer que z⁵⁷ est un nombre réel et déterminer son signe.

…...

...

Exemple n°12 :

En utilisant (eⁱ^θ)³ = eⁱ³^θ , exprimer cos 3 en fonction de cos ^{et de}sin ^.

…...

...

13/22

(17)

(18)

14/22 -

...

Se Tester n°4 - C9_4 (/16)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C9.d 1 Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre

imaginaire.

Calculer sous forme algébrique :

1. eⁱ^π⁴

:...

...

2. e^{i –}

2π

3

:...

...

3. eⁱ^π⁶

:...

...

4. e^{i –}

π

2

:...

...

5. eⁱ^π³

:...

...

6. eⁱ

3π

4

:...

...

7. eⁱ^π²

:...

...

8. e^{i –}

π

3

:...

...

14/22

(19)

15/22 - 9. eⁱ^π

:...

...

10. e^{i –}

5π

6

:...

...

11. e^{i –}

π

6

:...

...

12. eⁱ²^π

:...

...

13. e^{i –}

π

4

:...

...

14. e⁻ⁱ^π

:...

...

15. eⁱ

5π

6

:...

...

16. eⁱ

2π

3

:...

...

17. e^{i –}

3π

4

:...

...

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique : 1. z1 = 2eⁱ^π:

…...

...

2. z2 = _√3eⁱ^π⁴ :

…...

...

Écrire les nombres complexes suivants sous forme exponentielle : 1. z3 = 2i :

…...

...

15/22

(20)

16/22 -

...

2. z4 = _√9 – 1 :

…...

...

Soit z=3eⁱ^π³ . Démontrer que z⁴⁸ est un nombre réel et déterminer son signe.

…...

...

…...

...

Exprimer cos(3) en fonction de cos³^{et de}sin³^.

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

C10.c_Niv1 : avoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.

Ex.49 p.212 16/22

(21)

(22)

17/22 -

Exercice n°13***

Sujet A p.225 Exercice n°14***

Sujet C p.225 Exercice n°15***

Ex.187 p.227 Exercice n°16***

Ex.196 p.229

17/22

(23)

(24)

(25)

(26)

18/22 -

18/22

(27)

19/22 -

Résultats ou indices

Ex.1 (23 p.211) :

^;^z=

^2.^ABC est un triangle rextangle isocèle en A.

Ex.8 (150 p.217) : 2. ABC est un triangle équilatéral.

Ex.9 (151 p.217) : 4. OAB est un triangle rectangle isocèle en O. Ex.10 (34 p.211) : Dans le désordre : e⁻ⁱ^π³ eⁱ^π eⁱ

2π

3

Ex.11 (35 p.211) : a. 1 et π

3 b. 1 et −2π

3 . Ex.12 (49 p.212) : Z= ²^x

x²+y² –i ²^y

x²+y²

Ex.13*** (Sujet A p.225) : 1. z1=1+i ; z2=i ; z3= –¹

2 +1

2 i ; z4= –¹

2 .3.n9 (à prouver par le calcul).4. triangle rectangle isocèle en An+1.

Ex.14*** (Sujet C p.225) : 1.a. |z₁| = _√2 ; _|z₂| = √2 et arg(z1)= – π

4 , arg(z2)= π

4 1.b. 4 – 2i et 2 –2i. 2.a. zB=1 –i et zC=2 – 2i. 2.d. Le quotient vaut i . IAC est rectangle isocèle en I. 2.e. –2 – 4i. 2.f. 4 –2i

8 = √²+√2 2

19/22

(28)

20/22 -

Ex.16*** (196 p.229) : 1.a. P(–1)=0 1.b. a = – 4 et b=7 1.c. S = { –1 ; 2 – i_√3 ; 2 + i_√3

} 2.b. AB=AC=BC=2_√3 .2.c.π

2 2.d. GAC est rectangle en C. 3.A(–1;0),C(2 ;–_√3 ) et

G(–3;0) 4.c.(D) est la perpendiculaire à (GC) passant par A.

20/22

(29)

21/22 -

21/22

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...……….

Prénom et classe :...………

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* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

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* TRAVAIL PERSONNEL (2 travaux min.+résum.de cours, sf exception ou mot daté et signé)

- Chap n°… , Activité n°…, : Question n° : … / … / … - Chap n°… , Cours n°… : Exemple n° : … / … / … - Résumé du Cours n° : ...

- Chap n°… , Se tester du Cours n°… Ex. n° : … / … / - Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

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22/22 -

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