Doc généré n° 1 : Chapitre n°13
Objectifs :
C13.a - Niv1 - Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non.
C13.b - Niv1 - Savoir déterminer les représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan, et leur positions relatives.
Activité d’approche n°1
On étend à l’espace la notion de vecteur étudiée dans le plan. Un vecteur est donc défini par sa direction, son sens et sa norme, et les propriétés des vecteurs du plan sont aussi étendues aux vecteurs de l’espace (relation de Chasles, colinéarité, propriétés algébriques...)
On considère la figure ci-contre où ABCDEFGH est un cube et O est le centre du carré CGHD .
1) Citer trois vecteurs égaux.
…...
2) Exprimer le vecteur ⃗ HO en fonction de ⃗ HD et ⃗ HG .
…...
…...
…...
3) Placer le point M défini par ⃗ EM = 1
3 ⃗ EA + 3
2 ⃗ ED
4) Citer un plan contenant M .
…...
5) Placer le point N défini par ⃗ DN = 1
2 ⃗ DB – 1
4 ⃗ DA . 6) Citer un plan contenant le point N .
…...
7) Conjecturer une caractérisation vectorielle de l'appartenance d'un point à un plan défini par trois points non alignés.
…...
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...…
FIN activité 1
Cours n°1
I) Vecteurs dans l'espace
Les propriétés vues dans le plan s'étendent sans exception à l'espace (colinéarité, etc.)
Définition n°1 : vecteurs colinéaires
Deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que …...
Propriété n°1 : caractérisation vectorielle d'une droite
Soient A et B deux points de l'espace. La droite (AB) est l'ensemble des points M de l'espace tels que ⃗ AB et …... soient …...
⃗ AB est alors un v... d... de (AB) .
Exemple n°1
ABCDEFGH est un parallélépipède et K le point de l'espace tel que ⃗ BK = 1
3 ⃗ BD + 1 3
⃗ BE .
1. Démontrer que ⃗ AB + ⃗ AD + ⃗ AE =3 ⃗ AK .
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2. En utilisant le fait que ABCD et ACGE sont des parallélogrammes, et la relation précédente, démontrer que A , K et G sont alignés.
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Définition n°2 : vecteurs coplanaires
Trois vecteurs ⃗ u , ⃗ v et w ⃗ sont coplanaires si et seulement si leurs représentants de même origine A ont des extrémités B , C et D qui appartiennent
…... que A.
Propriété n°2 : caractérisation vectorielle d'un plan
Soient A , B et C trois points non alignés de l'espace. Le plan (ABC) est l'ensemble des points M de l'espace tels que ⃗ AM =... , α et β étant deux nombres réels quelconques.
Démonstration
1) Si M appartient au plan (ABC) , alors il vérifie la relation
⃗ AM =... , α et β étant deux nombres réels quelconques : Les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AC ne sont pas colinéaires, donc (A ; ⃗ AB , ⃗ AC ) est un repère du plan (ABC).
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2) Si M vérifie la relation ⃗ AM =... , α et β étant deux nombres réels quelconques, alors M appartient au plan (ABC) :
On pose N tel que ⃗ AN = α ⃗ AB .
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Corollaire de la propriété n°2 :
Soient trois vecteurs ⃗ u , ⃗ v et w ⃗ tels que ⃗ u et ⃗ v ne soient pas colinéaires.
Alors ⃗ u , ⃗ v et w ⃗ sont coplanaires uniquement si il existe α et β tels que
…...
Exemple n°2
Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu de [AB], E et F deux points définis par ⃗ AE = 2 3
et ⃗ AF = 2
3 ⃗ AD , G le point tel que BCGD est un parallélogramme.
1. Exprimer les vecteurs ⃗ IE , ⃗ IF et ⃗ IG en fonction de ⃗ AB , ⃗ AC et ⃗ AD .
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2. Prouver que I , E , G et F sont coplanaires.
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FIN DU COURS N°1
Premier se tester du cours n°1 : Se tester n°1 C13_1 (/5)
1 : Débutant - 2 : Sait faire avec de l’aide - 3 : Sait faire.
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 2 3 : C13.a - Niv1 - Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°9
f est une fonction. Donner la dérivée de [ f ( x ) ]
n:
………..
Fin du savoir n°9
(Se tester du cours n°1 Ex.1 (5 pts)) - Exercice n°1
Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu de [AB], E et F deux points définis par ⃗ AE = 1
8 ⃗ AC et
⃗ AF = 1
−5 ⃗ AD , G le point tel que BCGD est un parallélogramme.
1.
[2]Exprimer les vecteurs ⃗ IE , ⃗ IF et ⃗ IG en fonction de ⃗ AB , ⃗ AC et ⃗ AD .
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2.
[3]I, E, G et F sont-ils coplanaires ?
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Indices et résultats
1
ex
er: 1. ⃗ IE = - 1
2 ⃗ AB + 1
9 ⃗ AC ; ⃗ IF = - 1
2 ⃗ AB + 1
−6 ⃗ AD ; ⃗ IG = - 3
2 ⃗ AB + ⃗ AC + ⃗ AD
2. Oui.
Fin Premier se tester du cours n°1
Interrogation n°1
Objectif : C13.a_Niv1 : Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non.
(Cours n°1) - Exercice n°2
Ex.17 p.245
(Cours n°1) - Exercice n°3
Ex.20 p.245
(Cours n°1) - Exercice n°4
Ex.83 p.249
Résultats des exercices du cours n°1 :
1
erEx.(Ex.17 p.245) : 1.a. Les vecteurs ⃗ AB , ⃗ JK , ⃗ BG , ⃗ GB , ⃗ AH et ⃗ HA . 1.b.
Les vecteurs ⃗ JK , ⃗ HA et ⃗ GB . 2. ⃗ AI = 1
2 ⃗ AB + ⃗ AE .
2
èmeex (Ex.20 p.245) : 1. ⃗ AN = ⃗ AB + ⃗ BN = ⃗ AB + ⃗ AC . 2. ⃗ AM = ⃗ AN + ⃗ AD
3. A,N,M et D sont coplanaires.
3
èmeex (Ex.83 p.249) : 1. ⃗ BA ¿ + ⃗ BD = 2 ⃗ BK 2. ⃗ BF ¿ – 2 ⃗ BK =3 ⃗ KJ 3. ⃗ BF +
⃗ BK = 3 ⃗ BJ , donc ⃗ BK , ⃗ BJ et ⃗ BF sont coplanaires.
4
èmeex (Ex.24 et 26 p.245) : ex24 : ⃗ AB (12 ;-2 ;-6) – ex26 : 1. ⃗ AB (1;2;3) et
⃗ AC (3;6;9) 2. ⃗ AC =3 ⃗ AB ...
Cours n°2
II) Repérage dans l'espace Propriété n°3
Si O est un point de l'espace et ⃗ i , ⃗ j et ⃗ k trois vecteurs non coplanaires, alors, tout point M de l'espace vérifie ⃗ OM =x ⃗ i +y ⃗ j +z ⃗ k . (On parle d’une famille ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k
génératrice de l’espace)
Démonstration (principe)
Existence : On projette M sur le plan (O, ⃗ i , ⃗ j ) parallèlement à ⃗ k .
Unicité : On montre que deux triplets (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') correspondants à ⃗ OM imposent x = x' , y=y' et z=z' par unicité des coordonnées du vecteur nul.
Définition n°3 : abscisse, ordonnée et cote.
Soit O un point de l'espace et ⃗ i , ⃗ j et ⃗ k trois vecteurs non coplanaires. Soit M un point quelconque de l'espace.
Alors les nombres réels x , y , et z tel que ⃗ OM =x ⃗ i +y ⃗ j +z ⃗ k sont les coordonnées de
M dans le repère (O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k ) .
x s'appelle …..., y s'appelle …... et z s'appelle
…...
Propriété n°4
coordonnées d'un vecteur – coordonnées du milieu – distance
Dans un repère (O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k ) de l'espace, soient A(x
A;y
A;z
A) et B(x
B;y
B;z
B) deux points quelconques, ⃗ u ( x y z ) et ⃗ v ( x ' y ' z ' ) deux vecteurs quelconques, et k un réel quelconque.
Alors
1) ⃗ AB ¿ a pour coordonnées ( ... ... ... ... ... ... )
2) ⃗ u ¿ +⃗ v a pour coordonnées ( ... ... ... ... ... ... )
3) k⃗ u a pour coordonnées ( ... ... ... )
4) Le milieu de [AB] a pour coordonnées ( ...+ ...
... ; ...+...
... ; ... +...
... ).
5) La distance AB vaut √ ( ...−... )
2... .
Exemple n°3
Soit un repère (O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k ) de l'espace. Les points A(1;2;0) , B(-1;1;1) , C(1;4;1) et
D(3 ;-1;3) sont-ils coplanaires ?
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FIN DU COURS N°2
Premier se tester du cours n°2 : Se tester n°2 - C13_2 (/5)
1 : Débutant - 2 : Sait faire avec de l’aide - 3 : Sait faire.
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 2 3 : C13.a - Niv1 - Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°20
Compléter :
lim
x→0e
x−1
x = …………
Fin du savoir n°20
(Se tester du cours n°2 Ex.1 (5 pts)) - Exercice n°5
Soit un repère (O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k ) de l'espace. Les points A(1;2;0), B(-1;1;1), C(1;4;1) et D(6;2;-2,25) sont-ils coplanaires ?
[vect:2;resol:2;c:1]...
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Indices et résultats 1
er
ex : Non.
Fin Premier se tester du cours n°2
Deuxième se tester du cours n°2 : Se tester n°2 - C13_2 (/5)
1 : Débutant - 2 : Sait faire avec de l’aide - 3 : Sait faire.
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 2 3 : C13.a - Niv1 - Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°11
f est une fonction. Donner la dérivée de f ( ax + b ) :
………..
Fin du savoir n°11
(Se tester du cours n°2 Ex.1 (5 pts)) - Exercice n°6
Soit un repère (O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k ) de l'espace. Les points A(1;2;0), B(-1;1;1), C(1;4;1) et D(3;2;-1,5) sont-ils coplanaires ?
[vect:2;resol:2;c:1]...
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Indices et résultats 1
er
ex : Non.
Fin Deuxième se tester du cours n°2 Interrogation n°1
Objectif : C13.a_Niv1 : Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non.
(Cours n°2) - Exercice n°7
Ex.24 et 26 p.245
(Cours n°2) - Exercice n°8
Ex.27 et 28 p.245
(Cours n°2) - Exercice n°9
Ex.97 p.250
(Cours n°2) - Exercice n°10
Ex.98 p.250
(Cours n°2) - Exercice n°11
Ex.108 p.251
(Cours n°2) - Exercice n°12
Ex.103 p.250
(Cours n°2) - Exercice n°13
Ex.104 p.251
Résultats ou indices des exercices du cours n°2 :
1
erex : ex24 : ⃗ AB (12 ;-2 ;-6) – ex26 : 1. ⃗ AB (1;2;3) et ⃗ AC (3;6;9) 2. ⃗ AC =3
⃗ AB ...
2
emeex : (Ex.27 et 28 p.245) : ex27 : I(4 ;-2;2) ex28 : AB = √ 3 .
3
èmeex : (Ex.97 p.250) : 1. L(3;3 ;-2) et K(4;5 ;-5). 2. ⃗ GK (3;6 ;-9) et ⃗ GL (2;4 ;- 6) ...
4
èmeex : (Ex.98 p.250) : 1. E( 3
2 ; – 7 2 ; 9
2 ) et F( 11 2 ; 23
2 ; – 21
2 ). 2. x
E+ x
F2 =
7
2 = x
C+ x
D2 ; y
E+ y
F2 =4= y
C+ y
D2 et
z
E+ z
F2 = -3 = z
C+ z
D2
5
èmeex : (Ex.108 p.251) : 1. ⃗ u ¿ , ⃗ v et w ⃗ ne sont pas coplanaires. 2. ⃗ t =2⃗ u – 3⃗ v + ⃗ w .
6
èmeex : (Ex.103 p.250) : 1. ⃗ AB ¿ (2 ;-1 ;-1) et ⃗ AC (1;4;1). ⃗ AB et ⃗ AC ne sont pas colinéaires.
7
èmeex : (Ex.104 p.251) : AB = √ 26 et AC = √ 26 . 2. ABC est isocèle en A .
Activité d’approche n°2
Partie A
(O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k ) est un repère de l'espace, A et B sont deux points de coordonnées respectives (4 ;-1;2) et (-1;2;2) .
1. Calculer les coordonnées du vecteur ⃗ AB .
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...…
2. Rappeler à quelle condition sur les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AM un point M appartient à la droite (AB) .
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...…
3. En déduire un système de trois égalités de paramètre k qui 'caractérise' la droite
(AB) .
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Partie B
C est un point de coordonnées (1;1;1) . 1. Calculer les coordonnées du vecteur ⃗ AC .
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...…
2. Rappeler à quelle condition sur les vecteurs ⃗ AB , ⃗ AC et ⃗ AM un point M
appartient au plan (ABC) .
...
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...
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...
...…
3. En déduire un système de trois égalités de paramètres k et k' qui 'caractérise' le plan (ABC) .
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FIN activité 2
Cours n°3
III) Représentation paramétrique de droites et de plans.
Propriété n°5 : représentation paramétrique d'une droite
Dans un repère (O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k ) de l'espace, soit
la droite (d) passant par A (x
A; y
A; z
A) et de vecteur directeur ⃗ u ( x y z
uuu) .
Alors M ( x
M; y
M ;z
M) est un point de (d) si et seulement s'il existe un réel k tel que :
{ ...=...
...=...
...=...
Ce système d'équations s'appelle une représentation paramétrique de la droite
(d) passant par A et de vecteur directeur ⃗ u
Démonstration (principe)
Voir activité n°2, en généralisant.
Exemple n°4
Déterminer la représentation paramétrique de la droite passant par A(-1;4;1) et
B(2;3;0) .
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Propriété n°6 : représentation paramétrique du plan
Dans un repère (O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k ) de l'espace, soit
le plan (P) passant par A (x
A; y
A; z
A) et de vecteurs directeurs ⃗ u ( x y z
uuu) et ⃗ v ( x y zvvv) .
Alors M ( x
M; y
M ;z
M) est un point de (P) si et seulement s'il existe deux réels k et k' tel que :
{ ...=...
...=...
...=...
Ce système d'équations s'appelle une représentation paramétrique du plan (P)
passant par A et de vecteurs directeurs ⃗ u et ⃗ v .
Exemple n°5
Déterminer la représentation paramétrique du plan passant par A(-1;4;1), B(2;3;0)
et C(1;3 ;-1) .
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...…
Exemple n°6
Étudier les positions relatives du plan (P) et de la droite (d) , puis du plan (P) et de la droite (d') . On donnera leur intersection éventuelle.
Représentation paramétrique de (P) :
{ x=1−2 y=−2+ z =3− t t + −t ' t 3 t '
avec t ∈ R et t' ∈ R
Représentation paramétrique de (d) :
{ y=5−2 x=2+ z=1+ 2 4 t t t
avec t ∈ R
Représentation paramétrique de (d') :
{ y=−2 z=1 x= 4−t +3t +t
avec t ∈ R
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FIN DU COURS N°3
Premier setester du Cours n°3 : Se tester n°3 -
C13_3 (/8)
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 2 3 : C13.b- Niv1 - Savoir déterminer les représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan, et leur positions relatives.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°22
Compléter :
Le conjugué de z= a+ib est :
………..
Fin du savoir n°22
(
Se tester du cours n°3 Ex.1 (2 pts)) - Exercice n°14
[2:v:1;s:1]
Déterminer la représentation paramétrique de la droite (d) passant par : A(-1;4;1) et B(9;3;6).
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(
Se tester du cours n°3 Ex.2 (3 pts)) - Exercice n°15
[3:v:2;s:1]
Déterminer la représentation paramétrique du plan (P) passant par : C(-2;3;1), D(5;4;0) et E(6;5;-8).
...
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...
(
Se tester du cours n°3 Ex.3 (3 pts)) - Exercice n°16
[3]
Déterminer, s'il existe, le point d'intersection de la droite (d) de l’exercice n°1 et du plan (P) de l’exercice n°2 :
...…
...
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Indices et résultats
Ex.1 : { x=10t y=−t z=5 t + +4 −1 1 , t ∈ ℝ .
Ex.2 : { z=− x=7 y=1 k k k−9 +8 +2 k ’−2 k ’ k ’ +3 +1 , k ℝ , k’ ℝ .
Ex.3 :
x= 141 319 , y=
1256 319 , z=
419 319 .
Fin Premier setester du Cours n°3
Deuxième setester du Cours n°3 : Se tester n°3 - C13_3 (/8)
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 2 3 : C13.b- Niv1 - Savoir déterminer les représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan, et leur positions relatives.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°13
Quel est le signe de e
x?
………..
Quel est le sens de variation de e
x?
………..
Fin du savoir n°13
(
Se tester du cours n°3 Ex.1 (2 pts)) - Exercice n°17
[2:v:1;s:1]
Déterminer la représentation paramétrique de la droite (d) passant par : A(-1;4;1) et B(2;5;2).
...
...
...
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...
...
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...
...
...
...
...
...
(
Se tester du cours n°3 Ex.2 (3 pts)) - Exercice n°18
[3:v:2;s:1]
Déterminer la représentation paramétrique du plan (P) passant par : C(-2;3;1), D(4;5;0) et E(5;6;-9).
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
...
...
(
Se tester du cours n°3 Ex.3 (3 pts)) - Exercice n°19
[3]
Déterminer, s'il existe, le point d'intersection de la droite (d) de l’exercice n°1 et du plan (P) de l’exercice n°2 :
...…
...
...
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...
...
...
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...
...
Indices et résultats
Ex.1 : { x=3 y=1t z =1 t t −1 + + 1 4 , t ∈ ℝ .
Ex.2 : { z=− x=6 y= 2 k−10 k k +7 + 3 k ’−2 k ’ k ’+ +3 1 , k ℝ , k’ ℝ .
Ex.3 :
x= − 143
87 , y=
344 87 , z=
83 87 .
Fin Deuxième setester du Cours n°3 Interrogation n°3
Objectif : C13.b_Niv1 : Savoir déterminer les représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan, et leur positions relatives.
(Cours n°3) - Exercice n°20
Ex.31 p.245
(Cours n°3) - Exercice n°21
Ex.34 p.245
(Cours n°3) - Exercice n°22
Ex.36 p.245
(Cours n°3) - Exercice n°23
Ex.120 p.251
(Cours n°3) - Exercice n°24
Ex.124 p.252
(Cours n°3) - Exercice n°25
Sujet D p.259
(Cours n°3) - Exercice n°26
Sujet E p.260
(Cours n°3) - Exercice n°27
Ex.164 p.263
Indices et résultats des exercices du cours n°3 :
1
er
ex (Ex.31 p.245) : { x=−1+ z= y =3+ 2−7 4 t t t t réel quelconque.
2
ème
ex (Ex.34 p.245) : 1. ⃗ u (2;3 ;-1) 2. A(5;8;2) 3. t=3 et B(7;11;1)
3
ème
ex (Ex.36 p.245) : 1. A(2;5;3) 2. y
B= 0.
4
ème
ex (Ex.120 p.251) : 1. ⃗ AB (1;2;3) et ⃗ AC (3;4;5) ne sont pas colinéaires. 2.
{ x=−1+ y=1+ z=1+ 3 2t t t + + +3 5t ' 4 t ' t ' avec t ∈ℝ et t ' ∈ℝ .
5
ème
ex (Ex.124 p.252) : La droite (AB) et le plan sont sécants en Ω( 1 2 ;2;0) . 6
ème
ex (Sujet D p.259) : 1. { y=−2− x=−1+ z =−1−t 2 3 t t t ∈ℝ 2. ⃗ u (-1;2;1) est un vecteur
directeur de Δ' . … Δ et Δ' ne sont pas coplanaires. 3.a. C , D et E définissent un plan car ⃗ CD et ⃗ CE ne sont pas …. 3.b. Résoudre ⃗ AB = a ⃗ CD + b ⃗ CE … 3.c. Δ
est parallèle au plan p.
7
ème
ex (Sujet E p.260) : 1.a. ⃗ u
1¿ (1;3;0) et ⃗ u
2(2;1 ;-1) . 1.b. (d
1) et (d
2) ne sont pas coplanaires. 2.a. On pose ⃗ v
1= ⃗ A
1S . Les vecteurs ⃗ u
1, ⃗ v
1et ⃗ u
2ne sont pas coplanaires, donc la droite (d
2) est sécante au plan p
1. 2.b. On pose ⃗ v
2= ⃗ A
2S
.Les vecteurs ⃗ u
1, ⃗ v
2et ⃗ u
2ne sont pas coplanaires, donc la droite (d
1) est sécante au plan p
2. 2.c. (R) doit être la droite d'intersection de p
1et p
2. 8
ème
ex (Ex.164 p.263) : 2.a. IKJL est un parallélogramme. 3.b. (AB) et (MK) sont
parallèles.
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...……….
