Dans tout le problème, pour former l'équation d'un plan, on utilisera qu'un point M est dans le plan passant par trois points A , B , C si et seulement si

Exercice

Dans tout le problème, pour former l'équation d'un plan, on utilisera qu'un point M est dans le plan passant par trois points A , B , C si et seulement si

det( −−→

AM , − − → AB, −→

AC) = 0

ce déterminant étant exprimé à l'aide d'un système de coordonnées.

1. Avec les coordonnées données par l'énoncé, on peut écrire

équation de (A ⁰ BC) :

x − a −a −a

y 1 0

z 0 1

=0 ⇔ x + ay + az = a

équation de (AB ⁰ C) :

x b 0 y 1 0 z 0 1

=0 ⇔ x − by = 0

équation de (ABC ⁰ ) :

x 0 c y 1 0 z 0 1

=0 ⇔ x − cz = 0

Pour montrer que les trois plans ont un point d'intersection, on forme le système de trois équations aux inconnues x , y , z :



 

 

x+ay+ az =a

x−by =0

x− cz =0

Des deux dernières équations, on tire y et z en fonction de x et on remplace dans la première pour trouver x . On en déduit :

coordonnées de S : 1 s , 1

bs , 1 cs

2. Les calculs sont analogues pour les trois plans de cette question : équation de (AB ⁰ C ⁰ ) :

x b c y 1 0 z 0 1

=0 ⇔ x − by − cz = 0

équation de (A ⁰ BC ⁰ ) :

x − a −a c − a

y 1 0

z 0 1

=0 ⇔ x + ay + (a − c)z = a

équation de (A ⁰ B ⁰ C) :

x − a b − a −a

y 1 0

z 0 1

=0 ⇔ x + (a − b)y + az = a

Pour montrer que les trois plans ont un point d'intersection, on forme le système de trois équations que l'on résoud en mélangeant la méthode du pivot et les formules de Cramer :



 

 

x − by − cz =0 x + ay + (a − c)z =a x + (a − b)y + az =a

⇔



 

 

x − by − cz =0 (a + b)y + az =a ay + (a + c)z =a

⇔



 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 



x − by − cz = 0

y =

a a

a a + c

a + b a a a + c

z =

a + b a

a a

a + b a a a + c

⇔



 

 

 

 

 

 

x = 2abc ab + ac + bc y = ac

ab + ac + bc z = ab

ab + ac + bc

Comme d'autre part

s = 1 a + 1

b + 1

c = ab + ac + bc abc On obtient nalement :

coordonnées de S ⁰ : 2 s , 1

bs , 1 cs

Les droites (AA ⁰ ) et (SS ⁰ ) sont parallèles car les vecteurs −−→

AA ⁰ = a − → i et −−→

SS ⁰ = ¹ _s − →

i

sont colinéaires

3. L'équation du plan (A, B, C) est x = 0 . D'autre part −−→

SS ⁰ est porté par le premier vecteur de base. On en tire les coordonnées du point d'intersection :

coordonnées de T :

0, 1 bs , 1

cs

On a donc eectivement :

−−→ T S ⁰ = −−→

SS ⁰ = 1 s

−

→ i

Pour évaluer −−→

S ⁰ T ⁰ , calculons d'abord les coordonnées du point d'intersection T ⁰ de (SS ⁰ ) avec le plan (A ⁰ B ⁰ C ⁰ ) . L'équation de ce plan est :

x − a b − a c − a

y 1 0

z 0 1

= 0 ⇔ x + (a − b)y + (a − c)z = a

Les coordonnées des points de (SS ⁰ ) sont de la forme

λ, 1 bs , 1

cs

Le λ pour lequel le point est dans (A ⁰ B ⁰ C ⁰ ) vérie λ + a − b

bs + a − c

cs = a ⇔ λ = 2

s + a − a bs − a

cs = 2 s + a

s

s − 1 b − 1

c

= 3 s On en tire

coordonnées de T ⁰ : 3 s , 1

bs , 1 cs

puis nalement

−−→ S ⁰ T ⁰ = 1 s

−

→ i

Problème

Dans tout le corrigé, on désignera par − → e θ le vecteur dont les coordonnées sont (cos θ, sin θ) dans la base − →

i , − →

j attachée au repère xé.

C

O I(θ)

H(θ)

M(θ)

D

Fig. 1: Strophoïde droite

PARTIE I. Étude de la strophoïde droite

1. Les coordonnées du centre du cercle sont (−2a, 0) , son rayon est 2a . On en déduit l'équation cartésienne. On obtient l'expression en coordonnées polaires de cette équa- tion cartésienne en remplaçant x par ρ cos θ et y par ρ sin θ .

(x + 2a) ² + y ² = 4a ² ⇔ x ² + y ² + 4ax = 0 ⇔ ρ ² + 4aρ cos θ = 0 ⇔ ρ(ρ + 4a cos θ) = 0 Il est utile de remarquer que l'équation polaire du cercle privé de O est :

ρ + 4a cos θ = 0

2. Comme le point M (θ) est sur le cercle C et la droite passant par l'origine dirigée par

−

→ e θ , on obtient immédiatement :

M (θ) = O + ρ − → e θ = O − 4a cos θ − → e θ

De même, on forme l'équation cartésienne puis l'expression en coordonnées polaires de l'équation de la droite :

x = 2a ⇔ ρ cos θ = 2a On en déduit H (θ)

H(θ) = O + ρ − → e θ = O + 2a cos θ

−

→ e θ

puis le point I(θ) milieu des deux précédents.

I(θ) = O + a

cos θ − 2a cos θ − → e θ = O + a 1 − 2 cos ² θ cos θ

−

→ e θ = O − a cos 2θ cos θ

−

→ e θ

3. L'expression de r conduit à :

r(θ + 2π) = r(θ) I(θ + 2π) = I(θ) r(θ + π) = −r(θ) I(θ + π) = I(θ)

r(−θ) = r(θ) I(−θ) = s Ox (I(θ)) avec s Ox symétrie par rapport à Ox La fonction I étant π -périodique, on peut se limiter à [− ^π ₂ + ^π ₂ ] . L'image de [− ^π ₂ , 0]

s'obtient par symétrie par rapport à Ox à partir de l'image de [0, ^π ₂ ] . On étudiera la courbe sur E = [0, ^π ₂ ] .

4. Il est évident que, au voisinage de ^π ₂ , r(θ) sin(θ − π

2 ) = −r(θ) cos θ = a cos 2θ → −a

On en déduit x(I(θ)) = r(θ) cos θ → a . La courbe admet donc comme asymptote la droite d'équation x = a .

5. Le signe de r est donné dans le tableau suivant :

0 π

4

π 2 r(θ) −a − 0 + k

Ce tableau montre que pour θ entre 0 et ^π ₄ , le point I(θ) est dans le secteur angulaire symétrique de − → e θ par rapport au point O . La gure 1 présente le cercle C , la droite D et le support de I .

6. Notons (abusivement) x = x(I(θ)) et y = y(I(θ)) . On peut alors écrire : x = −a cos 2θ = a − 2a cos ² θ ⇒ cos ² θ = a − 2x

2a y = −a cos 2θ

cos θ sin θ = x tan θ ⇒ tan θ = y x 1 + tan ² θ = 1

cos ² θ ⇒ y x

²

= 2a

a − x − 1 = a + x a − x

On en déduit que le suppoort de la courbe paramétrée I est inclus dans la courbe d'équation cartésienne

(a − x)y ² = x ² (a + x)

D C

H(t)

J(t)

M (t)

Fig. 2: Cissoïde droite

PARTIE II. Étude de la cissoïde droite

1. L'équation cartésienne du cercle S est immédiate :

(x + a) ² + y ² = a ² ⇔ x ² + 2ax + y ² = 0

2. Pour calculer les coordonnées de M (t) et H (t) , on remplace y par tx dans les équations cartésiennes du cercle C et de la droite D . On obtient :

coordonnées de M (t) : ( −2a 1 + t ² , −2a

1 + t ² ) coordonnées de H(t) : (2a, 2at)

Les coordonnées de J(t) se calculent en prenant la moyenne des précédentes. Après calcul :

coordonnées de J (t) : ( at ² 1 + t ² , at ³

1 + t ² )

3. Le calcul de la dérivée de J (t) est plus commode en utilisant une forme vectorielle : J (t) = O + at ²

1 + t ² − →

i + t − → j

Comme souvent dans un calcul de dérivée, il est utile de factoriser le résultat. Il vient nalement :

−

→ J ⁰ (t) = at ² (1 + t ² ) ²

2 − →

i + t(3 + t ² ) − → j

D'après l'expression précédente, seul J (0) est un point stationnaire. Comme _x(t) ^y(t) = t tend vers 0 en 0 . La tangente est horizontale, avec un point de rebroussement de première espèce car le y(t) change de signe et pas le x(t) .

Soit t 0 6= 0 . Pour former la tangente en J (t 0 ) , on n'utilise que la direction de la vitesse sans le facteur scalaire. L'équation est un déterminant :

x − at ² ₀

1 + t ² ₀ 2 y − at ³ ₀

1 + t ² ₀ t 0 (3 + t ² ₀ )

= 0 ⇔

(1 + t ² ₀ )x − at ² ₀ 2 (1 + t ² ₀ )y − at ³ ₀ t ₀ (3 + t ² ₀ )

= 0

⇔ t 0 (3 + t ² ₀ )x − 2y = at ³ ₀

4. La fonction x est paire, la fonction y est impaire. On en déduit J(−t) = s Ox (J(t)) . La courbe est symétrique par rapport à l'axe des x . Dans l'intervalle [0, +∞[ , la fonction x est croissante de 0 à a , la fonction y est croissante de 0 à +∞ . La droite d'équation x = a est asymptote. La courbe est tracée en gure 2.

5. Pour obtenir l'équation cartésienne x = at ²

1 + t ² ⇒ t ² = x a − x y = at ³

1 + t ² ⇒ t = y x



 



 



⇒ y x

²

= x

a − x

Le support de J est inclus dans la courbe d'équation cartésienne y ² (a − x) = x ³

PARTIE III. Étude générale des cubiques circulaires

1. Les coordonnées de H (t) découlent des dénitions : (2a, 2at) .

Pour obtenir celles de M (t) , on forme d'abord l'équation cartésienne de C : x ² − 2x ₀ x + y ² − 2y ₀ y = 0

Dans laquelle on remplace y par tx puis on simplie par x : x − 2x ₀ t + xt ² − 2y ₀ t = 0 On en déduit l'expression de x en fonction de t puis :

Coordonnées de H (t) : (2 y ₀ t + x ₀

1 + t ² , 2t y ₀ t + x ₀ 1 + t ² ) Les coordonnées de K(t) sont les moyennes des deux précédentes :

Coordonnées de K(t) : ( y 0 t + x 0

1 + t ² + a, t

y 0 t + x 0

1 + t ² + a

)

2. Pour la courbe K(t) , les seules branches innies se produisent lorsque t tend vers +∞

ou −∞ . La droite d'équation x = a est asymptote à la courbe.

en + ∞ : x(K(t)) = at ² + y 0 t + x 0 + a

1 + t ² → a, y(t) = tx(t) → +∞

en − ∞ : x(K(t)) = at ² + y 0 t + x 0 + a

1 + t ² → a, y(t) = tx(t) → −∞

Pour M

0

dans cette zone : O est dans le support

la courbe a un point double ( O )

O n'est pas dans le support Pour M

₀

dans cette zone

la courbe a un point stationnaire ( O ) Pour M

0

sur la parabole

Fig. 3: Conditions sur M 0 .

3. D'après l'expression des coordonnées de K , le point O est dans le support de K si et seulement si ol existe un t réel tel que

x(t) = 0 ⇔ at ² + y ₀ t + x ₀ + a = 0

La condition est donc que le discriminant soit positif ou nul c'est à dire y ₀ ² − 4(x 0 + a)a ≥ 0 ⇔ y ₀ ² ≥ 4(x 0 + a)a

Le point M 0 doit donc se trouver "à l'extérieur (au sens large)" d'une certaine parabole (voir gure 3). Lorsque M 0 est à l'extérieur au sens strict, l'origine est atteinte pour deux valeurs distinctes de t c'est donc un point double. Lorsque M 0 est sur la parabole, l'origine n'est atteinte que pour une valeur de t .

4. On a déjà vu sous quelle condition l'origine était un point double. En fait, l'origine est le seul point double possible. En eet, pour un point K(t) de la courbe, y(K(t)) =

tx(K(t)) . Si K n'est pas l'origine, la seule valeur possible du paramètre t est ^y(K) _x(K) ce qui interdit à K d'être un point multiple. La courbe admet donc un point double si et seulement si l'origine appartient à la courbe (voir gure 3).

5. Pour une certaine fonction λ , la fonction K(t) est de la forme : K(t) = 0 + λ(t) − →

i + t − → j On en déduit :

− →

K ⁰ (t) = λ ⁰ (t) − → i + t − →

j

+ λ(t) − →

j = λ ⁰ (t) − →

i + (tλ ⁰ (t) + λ(t)) − → j Par conséquent, si K(t ₀ ) est stationnaire :

λ ⁰ (t ₀ ) = 0 tλ ⁰ (t 0 ) + λ(t 0 ) = 0

)

⇒ λ(t 0 ) = λ ⁰ (t 0 ) = 0

Le seul point stationnaire possible est donc l'origine. La condition annulant le λ ⁰ est la

même que celle annulant le discriminant de la question 3.. La courbe admet donc un

point stationnaire si et seulement si M 0 est sur la parabole (voir gure 3) et ce point

stationnaire est l'origine.