Chapitre n°5 : Fonction exponentielle
Objectifs :
Démonstration : démontrer qu'il existe une unique fonction tq f ' =f et f(0)=1 [existence admise, unicité à démontrer]
1. Connaître le sens de variation, et la représentation graphique.
Démonstration : démontrer que lim
x→+∞ex= + ∞ et que lim
x→−∞ex= 0.
2. Connaître et exploiter lim
x→+∞
ex
x = + ∞ et lim
x→−∞xex = 0.
3. Utiliser la relation f ' =f pour transformer une relation.
Activité d'approche n°1 : Approche de la fonction exponentielle
Histoire des sciences
Leonhard EULER (1707-1783) est un mathématicien suisse à qui nous devons beaucoup de notations mathématiques utilisées de nos jours :
- il fut le premier à écrire f(x) pour désigner l’image de x par la fonction f ;
- il nota i le nombre imaginaire utilisé dans le chapitre des nombres complexes ; - il introduisit la lettre e pour la base de la fonction exponentielle ;
- il utilisa la lettre pour désigner une somme.
- …
Il est l’un des plus grands et des plus complets mathématiciens du XVIIe siècle. Il fit de nombreuses découvertes en analyse, en calcul infinitésimale, en théorie des graphes, en mécanique, en dynamique des fluides, en optique, en astronomie …
Soit f une fonction dérivable sur IR vérifiant f(0) = 1 et, pour tout réel x, f '(x)=f(x).
Le but de cette activité est de représenter une fonction f qui satisfasse à ces deux conditions, en utilisant une suite.
Soit h un nombre réel très petit. On pose : x0=0 et, pour tout n entier naturel, xn+1=xn+h.
y0=f (0) et, pour tout n entier naturel, yn=f (xn).
1. Peut-on calculer y1 ?
...
2. Démontrer que lim
h→0
yn+1−yn h =yn .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. On interprète la relation précédente de la façon suivante : pour h suffisamment petit, yn+1−yn
h ≈yn. En déduire une relation qui permette de calculer une valeur approchée de yn+1 à partir de yn.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
4. Reproduire la page de tableur ci-contre.
5. Quelle formule faut-il écrire en B3 pour obtenir x1 ?
…...
Recopier cette formule jusqu'en B21.
6. Entrer la valeur de y0 en C2. Quelle formule faut-il écrire en C3 pour obtenir une approximation de y1 ?
…...
Recopier cette formule jusqu'en C21.
7. Modifier la valeur de h en D4 et vérifier que cela modifie les valeurs des approximations de yn.
8. En prenant h=0,001, calculer une approximation de f (1) : …...
Cours n°1
Chapitre n°5 : Fonction exponentielle
I) Définition de la fonction exponentielle
Propriété n°1 (Unicité et existence de la fonction exponentielle)
Il existe une unique fonction f, définie et dérivable sur R , telle que f '=f et f(0)=1 Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et est notée exp.
On a donc : pour tout réel x, exp'(x)=exp(x) et exp'(0)=1
Démonstration (R.O.C.) :
● L'existence est admise.
● Démonstration de l'unicité :
→ On montre d'abord que f ne s'annule pas sur IR : On définit : (x)=f(x)×f(–x).
Alors '(x) = …...
Donc '(x) = ….
Donc (x) est constante.
Or (0) =…...=...car f(0)=....
Donc (x) = …... (1)
Supposons qu'il existe a tel que f(a)=0 (2).
Alors (a) = …... = …... ce qui est en contradiction avec (1) . Donc (2) est impossible.
→ Unicité :
Soit g une autre fonction telle que g '=g et g(0)=1.
Calculons
(
gf)
' :...
...
...
...
...
...
...
...
Donc
(
gf)
(x)=...Or
(
gf)
(0)=...Donc : …...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°2
1. La fonction exponentielle est positive sur IR 2. La fonction exponentielle est croissante sur IR
Démonstration :
D'après la démonstration précédente, f ne s'a... . De plus, f (0) = …... Donc f est …... sur IR .
De plus, comme f ' = f , f ' est aussi …... sur IR .
Donc f est …... sur IR.
II) Propriétés de la fonction exponentielle
Propriété n°3
Pour tout réel x, exp(−x)= ...
...
Démonstration :
On définit : (x)=f(x)×f(–x).
D'après la démonstration précédente, (x) est constante et vaut 1. D'où la propriété.
Propriété n°4
Pour tous réels a et b, exp(a + b)=...
Démonstration :
On définit : g(x)=exp(x+b) exp(b) On calcule la dérivée de g :
...
...
...
...
...
...
g'(x)=... et g(0)=... donc g
est ... ... ...
D'où :...
...
...
...
...
...
Exemple n°1 :
Simplifier exp(x+2) expx :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°2 :
Étudier les variations de f (x)=exp(x)+2x :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°1 Ex.1 p.114 Exercice n°2
Ex.4 p.114
Cours n°2
Propriété n°5
Pour tous réels a et b, exp(a – b)= ...
...
Démonstration
Conséquence des propriétés n°3 et 4
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°6
exp(na)=...
Démonstration (par récurrence) :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°3
Simplifier exp(3x−2) exp(2x)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
...
...
...
Exercice n°3 Ex.21 p.114 Exercice n°4
Ex.63 p.115
Cours n°3
III) Notation e x
Définition n°1
L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e, c'est à dire exp(1)=e Pour tout nombre entier n, on a exp(n) = exp(n×1) = [exp(1)]n = en
On étend cette définition aux nombres réels :
Définition n°2
Pour tout nombre réel x, l'image de x par la fonction exponentielle se note ex Les propriétés, déjà démontrées, s'écrivent avec cette notation :
Propriété n°7
Soient x, a et b trois nombres réels et n un entier relatif.
1. (ex)'=.... 2. e0=.... 3. ea+b=.... 4. e−a=...
... et ea−b=...
...
5. ena=....
Exemple n°4 :
Simplifier les expressions suivantes : a. ex×e-
x...
....
b. (e2x)2×(e−x)3
…...
c. e3x×e4x e2x−1
…...
Exemple n°5 :
Démontrer, pour tout nombre réel x, que ex
1+ex= 1 1+e−x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°5 Ex.67 p.116 Exercice n°6
Ex.70 p.116
Cours n°4
IV) Limites de la fonction exponentielle Propriété n°8
1. lim
x→+∞ex=..... et 2. lim
x→−∞ex=... Démonstration (R.O.C) :
1. Démonstration de lim
x→+∞ex=... :
Soit f(x) = ex – x. f est définie, continue, et dérivable sur IR .
Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :
...
...
...
...
En déduire que, pour x ∈ [0;+ ∞[ , ex >x :
...
...
...
...
Conclure :
…...
...
2. Démonstration de lim
x→−∞ex=...
lim
x→−∞ex= lim
x→−∞
1
e−x= lim
x→+∞
1
ex=..... Propriété n°9
1. lim
x→+∞
ex
x =.... , 2. lim
x→−∞ xex=... 3. lim
x→0
ex−1
x =...4. lim
x→+∞
x
ex=.... Démonstration :
1. Démonstration de lim
x→+∞
ex
x =.... : Soit f(x) = ex – x2
2 .
Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :
...
...
...
...
En déduire que, pour x ∈ [0;+ ∞[ , ex> x2
2
...
...
...
...
Conclure :
…...
...
…...
...
…...
...
2. Démonstration de lim
x→−∞ xex=...
xex = x e−x = –
...
...
...
...
...
...
3. Démonstration de lim
x→0
ex−1 x =...
Le nombre dérivé en 0 de la fonction x → ex vaut …... et
...
...
Propriété n°10 (tableau de variation et représentation graphique)
x – ∞ + ∞
f '(x) ...
f(x)
…..
…..
Exemple n°6
Calculer les limites en –∞ et en +∞ de la fonction f définie sur IR par f (x)=ex – x + 1.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°7
Calculer lim
x→+∞
ex x−1=...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°8
Calculer lim
x→+∞
ex−1 ex+1=...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°9
Calculer lim
x→0+
ex−1 x2 =...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°7 Ex.6 p.114 Exercice n°8
Ex.9 p.114 Exercice n°9
Ex.19 p.114 Exercice n°10
Ex.35 p.115 Exercice n°11
Ex.43 p.115 Exercice n°12*
Ex.61 p.116 Exercice n°13*
Ex.96 p.117 Exercice n°14*
Ex.107 p.118 Exercice n°15***
Ex.173 p.131
Cours n°5
V) Equations et inéquations comportant la fonction exponentielle.
Propriété n°11
1. Soient a et b deux expressions. Alors l'équation ea= ebest équivalente à l'équation …...
2. Soient a et b deux expressions. Alors l'inéquation ea<eb est équivalente à l'inéquation …...
Démonstration :
La fonction exponentielle est …...
Exemple n°9
Résoudre e–x+7=ex+3 :
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°10
Résoudre e2–x=1:
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°11
Résoudre e2x +2ex – 3= 0. :
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°12
Résoudre e2x 1
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°16 Ex.23 p.114 Exercice n°17
Ex.29 p.115 Exercice n°18
Ex.80 p.116 Exercice n°19
Ex.87 p.117
Cours n°6
VI) Exponentielle de fonctions
Propriété n°12 (admise)
Soit u une fonction définie, continue et dérivable sur I.
La fonction eu(x) est dérivable sur I et sa dérivée est …...
Exemple n°13
Calculer la dérivée de f(x) = e-x.
...
...
...
...
...
...
Exemple n°14
Calculer la dérivée de f(x) = ex²+x.
...
...
...
...
...
...
Exemple n°15
Calculer la dérivée de f(t) = (3 – t)et².
...
...
...
...
...
...
Exercice n°20 Ex.47 p.115 Exercice n°21
Ex.52 p.115 Exercice n°22
Ex.117 p.118 Exercice n°23*
Ex.121 p.118 Exercice n°24**
Ex.130 p.119 Exercice n°25***
Sujet B p.127 Exercice n°26***
Sujet C p.127
Résultats ou indices
Ex.1 (1 p.114) : a.V b.F
Ex.2 (4 p.114) : 1. f '(x)=exp(x) 2. f '(x)=exp(x)+2 Ex.3 (21 p.114) : 1. 0 2. 0
Ex.4 (63 p.115) : 1. croissante sur ]1 -
√
2 ; 1 +√
2 [ décroissante ailleurs. 2.décroissante sur ]1 -
√
3 ; 1 +√
3 [, croissante ailleurs.Ex.5 (67 p.116) : 1. e7 2. e2x 3. ex.
Ex.6 (70 p.116) : multiplier numérateur et dénominateur par e-x...
Ex.7 (6 p.114) : f '(x)= 2 exp(x)(x –1) x2
Ex.8 (9 p.114) : 1. croissante sur R. 2. croissante sur R.
Ex.9 (19 p.114) : 1. e2 2. e4 3. e4x 4. e2. Ex.10 (35 p.115) : 1. –∞ ; +∞ 2. –∞ ; +∞
Ex.11 (43 p.115) : 1. croissante sur R. 2. croissante sur ]–∞;1] et décroissante [1 ;+∞]
Ex.12 (61 p.116) : 1. décroissante sur R 2. croissante sur R.
Ex.13 (96 p.117) : 1. –∞ et +∞ 2. –2 et 1. 3. –∞ et 0. 4. –∞ et +∞
Ex.14 (107 p.118) : 1. décroissante sur ]–∞;-1] et croissante sur ]-1;+∞] 2.
lim
x→−∞
f (x)=−1 et lim
x→−∞
f (x)=+∞ 2.
Ex.15 (173 p.131) : P.A. 1. croissante sur R. lim
x→−∞
g(x)=−∞
lim
x→+∞
g(x)=+∞ 2. croissante sur R. lim
x→−∞
g(x)=−∞ lim
x→+∞
g(x)=+∞ . -1,28<α<-1,27. 3. g(x)<0 sur ]–∞;α] et g(x)>0 ailleurs. P.B.1. f est décroissante sur ]–
∞;α] et f est croissante ailleurs. 2. PH= 1 3 . Ex.16 (23 p.114) : 1. 1
3 2. - 1 4 Ex.17 (29 p.115) : 1. [2;+∞] 2. ]0;+∞]
Ex.18 (80 p.116) : 1. 1 et 4 2. 0 3. pas de solution. 4. -1 Ex.19 (87 p.117) : 1. -4 et 1 2. 0
Ex.20 (47 p.115) : 1. +∞ et 0 2. 0 et +∞
Ex.21 (52 p.115) : 1. f '(x)=(2x –x2)e-x 2. f '(x)= 2 e2x (e2x+1)2 Ex.22 (117 p.118) : a.0 b. +∞.
Ex.23 (121 p.118) : 3,+∞,0,2,0,+∞
Ex.24 (130 p.119) : 1. croissante sur R. 2.a. par recurrence. 2.b. par recurrence 2.c. croissante et majorée par 3 , donc elle converge.
Ex.25 (B p.127) : P.A.1. décroissante sur ]–∞;-2] et croissante sur ]-2 ;+∞[.
lim
x→+∞
f (x)=0 et lim
x→+∞
f (x)=+∞ 2.
P.B.1.a. affine. b. (-1;0) et (0;1).
ils appartiennent à ck.
2. ck+1 est au dessus de ck sur ]–∞;-1] et sur ]0 ;+∞]. ck+1 est en dessous de ck sur [-1;0] 3.a. f'k(x) est du signe de kx + k +1.
3.b. Si k>0, fk est décroissante sur ] – ∞ ; −k−1
k ] et fk est croissante sur
] −k−1
k ; +∞[. Si k<0, fk est croissante sur ] – ∞ ; −k−1
k ] et fk est décroissante sur ]
−k−1
k ; +∞[.
Ex.26 (C p.127) : P.A.1. ex= 1
x . 2.a. strictement croissante sur R. 2.b.
lim
x→−∞
f (x)=−∞ et lim
x→+∞
f (x)=+∞ … 2.c. α [∈ 1
2 ;1] 2.d. f(x)<0 sur [0 ;α].
P.B.1. f(x)=0. 2. g(α)=α. 3. g est croissante sur [0 ;α]. P.C.1. récurrence. 2. la suite est croissante et majorée par α, donc convergente. 3. Correctif : il faut calculer u4 à 10–6 près à la question b., pas à la question a. b. u4 ≈ 0,567143.
