Spécialité 1ère – Chapitre 9 Page 1
Chapitre IX : LA FONCTION EXPONENTIELLE
I - Définition
Théorème-définition 1 :
Il existe une unique fonction ݂, dérivable sur ℝ, de dérivée ݂’ égale à ݂, et telle que ݂(0) = 1. Cette fonction est appelée fonction exponentielle.
Remarque 1 :
L’existence d’une telle fonction est admise. L’unicité est démontrée à la page 182 du livre.
Notation : La fonction exponentielle est notée exp : exp : ℝ → ℝ
ݔ ↦ exp (ݔ)
On obtient alors les égalités : exp(0) = 1 et pour tout ݔ réel, (exp(ݔ))′ = exp(ݔ) II - Propriétés algébriques et notation
1) Relation fonctionnelle Propriété 1 :
Pour tous réels ݔ et ݕ on a : exp(ݔ + ݕ) = exp (ݔ) × exp (ݕ)
Démo : Tout d’abord, nous avons démontré (page 182 du livre) que exp(ݔ) ne s’annule pas, nous pouvons donc définir la fonction ݃ :
݃(ݔ) =exp(ݔ + ݕ)
exp(ݔ) où ݕ est un réel quelconque fixé.
La fonction ݃ est dérivable sur ℝ comme quotient de fonctions dérivables et :
݃ᇱ(ݔ) =(exp(ݔ + ݕ))ᇱ× exp(ݔ) − exp(ݔ + ݕ) × (exp(ݔ))ᇱ (exp(ݔ))ଶ
=exp(ݔ + ݕ) × exp(ݔ) − exp(ݔ + ݕ) × exp(ݔ)
(exp(ݔ))ଶ = 0
Ainsi ݃ est une fonction constante.
Or, ݃(0) =exp(0 + ݕ)
exp(0) =exp(ݕ)
1 = exp(ݕ) On en déduit que, tous réels ݔ et ݕ on a : exp(ݔ + ݕ)
exp(ݔ) = exp(ݕ) ⇔ exp(ݔ + ݕ) = exp (ݔ) × exp (ݕ) Propriété 2 : Conséquences
Pour tous réels ݔ et ݕ et tout entier naturel ݊ on a : 1) exp(−ݔ) = 1
exp (ݔ) ⇔ exp(−ݔ) × exp(ݔ) = 1 2) exp(ݔ − ݕ) =exp (ݔ)
exp (ݕ)
Spécialité 1ère – Chapitre 9 Page 2 Démo :
1) D’après la propriété 1 :
Pour tous réels ݔ et ݕ on a : exp(ݔ) × exp(ݕ) = exp(ݔ + ݕ)
En remplaçant ݕ par −ݔ : exp(ݔ) × exp(−ݔ) = exp(ݔ − ݔ) = exp(0) = 1 Et donc : exp(−ݔ) = 1
exp (ݔ) 2) Pour tous réels ݔ et ݕ on a :
exp(ݔ − ݕ) = exp൫ݔ + (−ݕ)൯ = exp(ݔ) × exp(−ݕ) d’après la propriété 1 Or exp(−ݕ) = 1
exp (ݕ) dᇱaprès 1) Donc : exp(ݔ − ݕ) = exp(ݔ) × 1
exp (ݕ) = exp (ݔ) exp (ݕ) 2) Lien avec les suites géométriques
Propriété 3 : Soit un réel ܽ et (ݑ) la suite de terme générale exp(݊ܽ) où ݊ est un entier naturel.
1) La suite (ݑ) est une suite géométrique de raison exp (ܽ) et de premier terme ݑ = 1. 2) Pour tout entier naturel ݊, exp(݊ܽ) = (exp(ܽ))
Démo :
1) ݑାଵ = exp൫(݊ + 1)ܽ൯ = exp(݊ܽ + ܽ) = exp(݊ܽ) × exp(ܽ) = ݑ × exp(ܽ) ݑ = exp(0 × ܽ) = exp(0) = 1
La suite (ݑ) est bien une suite géométrique de raison ݍ = exp (ܽ) et de premier terme ݑ = 1. 2) Pour tout entier naturel ݊, ݑ = ݑ× ݍ = 1 × (exp(ܽ)) = (exp(ܽ))
On en déduit que exp(݊ܽ) = (exp(ܽ)) 3) Notation « puissance »
Définition 2 :
L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e : on a alors exp(1) = e.
Remarque 3 :
1) A l’aide de la calculatrice, on obtient e ≈ 2,718 …
2) La propriété 3 avec ܽ = 1 nous permet d’écrire que, pour tout entier naturel ݊ : exp(݊) = exp(݊ × 1) = ሾexp (1)ሿ = e
De plus, la fonction exponentielle possède les mêmes propriétés que les fonctions puissances, on utilisera donc la notation : pour tout réel ݔ, exp(ݔ) = e௫
Réécriture, avec cette nouvelle notation, des propriétés déjà rencontrées : Propriété 4 :
1) Pour tout ݔ réel : (e௫)′ = e௫ 2) e = 1 et eଵ = e Pour tous réels ݔ et ݕ et tout entier relatif ݊ on a :
3) eି௫ = 1
e௫ 4) e௫ି௬ =e௫
e௬ 5) e௫= ሾe௫ሿ
Spécialité 1ère – Chapitre 9 Page 3 III - Étude de la fonction exponentielle
1) Signe et variations
Propriété 5 : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ. Démo :
Démontrons que : pour tout réel ݔ, ݁௫ > 0
Raisonnons par l’absurde en supposant le contraire de cette propriété : Supposons qu’il existe une réel ܽ tel que ݁ ≤ 0
(en fait ݁ < 0 car ne sᇱannule pas)
݁ = ݁ଶ×ଶ = ቀ݁ଶቁଶ > 0
Ceci contredit ce qui a été supposé : ce qui a été supposé est donc faux.
En conclusion : pour tout réel ݔ, ݁௫ > 0 Propriété 6 :
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Démo : C’est une conséquence directe de la définition 1 et de la propriété 5 : (e௫)ᇱ= e௫> 0 donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Conséquences pratiques pour les résolutions d’équations et d’inéquations : Propriété 7 :
Pour tous réels ݔ et ݕ, on a :
e௫ = e௬ ⇔ ݔ = ݕ et e௫ < e௬ ⇔ ݔ < ݕ
2) Représentation graphique
Remarque 4 :
1) Au point d’abscisse 0, la tangente à la courbe a pour équation ݕ = ݔ + 1 2) Au point d’abscisse 1, la tangente à la courbe a pour équation ݕ = eݔ
ݔ −∞
+∞
݂
ᇱ
(ݔ) = eݔ+
݂(ݔ) = eݔ
Spécialité 1ère – Chapitre 9 Page 4 IV - Fonctions ࢞ ↦ ࢋ࢞ et ࢞ ↦ ࢋି࢞
Définition 3 :
Les fonctions définies sur ℝ par ݂(ݔ) = e௫ et ݃(ݔ) = eି௫où ݇ est un réel strictement positif sont appelées fonctions exponentielles.
Propriété 8 :
Les fonctions définies sur ℝ par ݂(ݔ) = e௫ et ݃(ݔ) = eି௫où ݇ est un réel strictement positif sont dérivables et :
Pour tout réel ݔ, ݂ᇱ(ݔ) = ݇ × ݁௫ et ݃ᇱ(ݔ) = −݇ × ݁ି௫
Conséquence directe : Propriété 9 :
Soit ݇ un réel strictement positif.
La fonction définie sur ℝ par ݂(ݔ) = e௫est strictement croissante sur ℝ.
La fonction définie sur ℝ par ݃(ݔ) = eି௫est strictement décroissante sur ℝ.
