Chapitre 04 – Fonction exponentielle - activité 1/2 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 04 – Fonction exponentielle Activité
I. Introduction
Un noyau radioactif, instable se désintègre (càd qu’il se transforme spontanément après une durée indéterminée en un noyau plus stable). S’il est impossible de prévoir la date de désintégration d’un noyau donné, on constate cependant en considérant à un instant t un échantillon macroscopique d’un grand nombre de noyaux que la variation du nombre de ces noyaux par seconde est proportionnelle au nombre de noyaux présents à l’instant t dans l’échantillon.
On appelle N0 le nombre initial de noyaux et N(t) le nombre de noyaux restants (non désintégrés) à l’instant t.
Supposons que l’expérience commence à un instant t alors ┐h>0, N(t+h) est le nombre de noyaux présents à la date t+h.
On note ∆h la variation du temps entre les dates t et t+h, on a donc ∆t=t+h−t=h.
La variation du nombre de noyaux entre les dates t et t+h est donc N(t+h)−N(t) qu’on nomme ∆N.
La variation du nombre de noyaux par seconde est proportionnelle au nombre d’atomes présent au début de l’expérience. Cela signifie qu’il existe un réel k tel que ∆N
∆t =kN(t).
Remarque : ∆N<0 car N(t+h)<N(t) donc k<0. Les physiciens préférant travailler avec des constantes positives, on pose k=-λ avec (λ>0) et on a donc ∆N
∆t =-λN(t) (λ est appelée constante de désintégration radioactive, elle est caractéristique de noyau considéré).
Sachant que ∆N
∆t = N(t+h)−N(t)
h , si l’expérience ne dure qu’un temps extrêmement court, on a lim
h↔0
N(t+h)−N(t)
h =-λN(t) c'est-à-dire N′(t)=-λN(t) (ce que les physiciens noteront dN
dt =-λN(t)).
Ceci signifie que N est une fonction proportionnelle à sa dérivée.
Pour déterminer N, il faut donc savoir résoudre une équation mettant en jeu une fonction f et sa dérivée càd savoir résoudre l’équation différentielle y′=ky.
C’est le but de ce chapitre. Dans un premier temps, nous allons chercher à savoir s’il existe des fonctions dérivables sur Ë, solutions de
y′=y y(0)=1.
En fin de chapitre, la généralisation aux équations différentielles y′=ky nous permettra de revenir sur cette activité et de déterminer la fonction N.
Chapitre 04 – Fonction exponentielle - activité 2/2 II. Activité
Dans cette activité, on suppose qu’il existe une unique fonction f dérivable sur Ë telle que pour tout réel x, f ′(x)=f(x) et f(0)=1.
Le but de cette activité est d’émettre une conjecture, en utilisant la méthode d’Euler, quant à l’allure de la représentation graphique de la fonction f dont nous ne connaissons pas l’expression algébrique.
Nous savons que f(0)=1 donc nous connaissons un point de Cf , c’est le point M0(0;1).
On se propose de construire une représentation graphique approchée de Cf sur l’intervalle [0;3].
1. Avec un pas de 0,5 :
a. Soit a un réel appartenant à l’intervalle I=[0;3], montrer que quel que soit h suffisamment petit et tel que a+h☻I : f(a+h)ó(1+h)f(a).
b. En utilisant a=0 et h=0,5, calculer une valeur approchée de f(0,5).
c. Calculer de deux façons différentes une valeur approchée de f(1) (une en utilisant f(0) et l’autre en utilisant la valeur approchée de f(0,5) trouvée à la question précédente)
Remarque : nous verrons plus tard qu’une valeur approchée à 10-2 près de f(1) est 2,72.
Quelle semble être la méthode la plus adaptée pour déterminer une valeur approchée de f(1) ? 2. Avec un pas égal à 0,1 :
On va donc construire une suite de points Mn
(
xn;yn)
proches des points Pn(
xn;f( )
xn)
.a. Comment définir la suite
( )
xn 0ÂnÂ30 pour obtenir 31 points dont les abscisses parcourent régulièrement l’intervalle I ?b. Vérifier que la suite
( )
yn 0ÂnÂ30 définie pour tout entier n☻[0;29] par
y0=1 yn+1=1,1yn
est une suite telle que pour tout n tel que 0ÂnÂ30, ynóf
( )
xn .c. On considère donc les suites
( )
xn et( )
yn telles que :
xn+1=xn+0,1 et x0=0
yn+1=1,1yn et y0=1 pour 0Ân<30.
Déterminer les expressions de xn et yn en fonction de n.
d. Ouvrir une feuille de calcul d’un tableur (de préférence excel).
Dans les cellules A1, B1 et C1, écrire respectivement n, x(n) et y(n).
Quelles valeurs doit-on entrer dans les cellules A2, B2 et C2 ? Quelles formules doit-on écrire dans les cellules A3 B3 et C3 ? Recopier ces formules jusqu’à la ligne 32.
Sélectionner les cellules B2:C32, choisir dans l’assistant graphique, nuage de points, nuage de points reliés par une courbe.
e. Faire un clic droit sur un des points obtenus et choisir ajouter une courbe de tendance.
Essayer chacune des courbes de tendance proposées.
Quelle est celle qui semble être la plus appropriée ? 3. Reprendre la question 2, avec un pas de 0,01.
