I - Intégrales à paramètre

Université Paris-Dauphine Licence de Mathématiques Appliqués

Intégrale de Lebesgue et Probabilités Année 201819

TD3

I - Intégrales à paramètre

Exercice 1. Déterminer la limite des suites (I_n)n≥1 suivantes :

(i) I_n= Z 1

0

ne^−x

nx+ 1dx (ii) I_n =

+∞

X

k=1

n+k nk^3/2+k³

(iii) I_n = Z

R

ne^x2 +π

ne^2x2 + 4x⁴dx (iv) I_n= Z

]0,+∞[

sinx x²

x^1/n

1 +x^1/ndx (v) I_n= Z +∞

0

sin(nxⁿ) nx^n+1/2 dx.

Exercice 2.

a) Montrer que : Z +∞

0

sinx

e^x−1 dx=X

n≥1

1 n²+ 1.

b) Soit f : R → R une fonction borélienne telle que pour tout a ∈ R, la fonction x 7→

e^axf(x)est intégrable. Montrer que pour toutz ∈C,Z

R

e^zxf(x)dx=X

n≥0

zⁿ n!

Z

R

xⁿf(x)dx.

Exercice 3. Soit ϕla fonction dénie sur ]0,+∞[ par : ϕ(t) = Z +∞

0

e^−xt1−cosx x dx. a) Montrer que ϕest continue sur ]0,+∞[.

b) Montrer que ϕest dérivable sur ]0,+∞[ et calculer explicitement sa dérivée.

c) Calculer la limite de ϕ(t)quand t→+∞. En déduire la valeur de ϕ(t). Exercice 4. Soit Γla fonction dénie sur R^∗+ par

Γ(t) = Z +∞

0

x^t−1e^−xdx.

a) Montrer que Γ est de classe C^∞ surR^∗+. b) Montrer que, pour toutn ∈N^∗, Γ(n+ 1) =n!.

c) Montrer que, pour toutt >0, Γ(t+ 1) =√ t t^te^−t

Z +∞

−√ t

1 + y

√t t

e⁻

√ty

dy.

d) Montrer que, pour tout y≥ 0, la fonction t 7→tln

1 + ^√y_t

−y√

t est décroissante sur ]0,+∞[ et que pour tout y∈

−√ t,0

,tln

1 + ^√y_t

−y√

t≤ −^y₂².

1

e) Montrer que

t→+∞lim Z 0

−√ t

1 + y

√t t

e⁻

√tydy= lim

t→+∞

Z +∞

0

1 + y

√t t

e⁻

√tydy = Z +∞

0

e^−y2/2dy.

f) En admettant que R+∞

0 e^−y2/2dy =p_π

2, en déduire la formule de Stirling : Γ(t+ 1) ∼

+∞

√2πt t^te^−t.

II - Changement de variable

Exercice 5.

On note (Rⁿ,k · k) l'espace euclidien usuel de dimension n et B(0, r) = {x ∈ Rⁿ, ||x|| < r}

la boule euclidienne de rayon r >0. On va calculer le volume V₁ de la boule unité B(0,1) en jouant avec la fonction Γ. On rappelle que pour s >0, Γ(s) = R+∞

0 t^s−1e^−tdt. a) Montrer que R

Rⁿe^−kxk2dλ_n(x) =πⁿ². b) Montrer que

Z

Rⁿ

e^−kxk2dλ_n(x) = Z +∞

0

λ_n({x∈Rⁿ: e^−kxk2 > t})dt .

c) En utilisant l'homogénéité de la fonction volume, déduire de la formule ci-dessus que Z

Rⁿ

e^−kxk2dλ_n(x) =V₁ Z 1

0

(−lnt)ⁿ²dt . d) En déduire que V₁ = ^π

n2

Γ(ⁿ₂+1).

e) Montrer que pours >1, on aΓ(s) = (s−1)Γ(s−1). En déduire par récurrence la valeur de Γ ⁿ₂ + 1

, pour tout entier naturel n, puis le volume V1 de la boule unité :

V1 =









 π^k

k! si n = 2k (k ∈N),

2^k+1π^k

1·3·5· · ·(2k+ 1) si n = 2k+ 1 (k∈N).

Exercice 6.

Soit ∆et Ddeux ouverts de R^d etϕ: ∆→D un C¹-diéomorphisme de jacobien J_ϕ. a) Montrer que J_ϕ est intégrable sur ∆si et seulement si λ_d(D)<+∞.

b) Montrer que J_ϕ est borné sur ∆ si et seulement si il existe c > 0 tel que, pour tout ouvert Ω⊂∆, λ_d(ϕ(Ω))≤cλ_d(Ω).

Exercice 7.

Soit∆ =]0,1[²×]−π, π[etϕ:R³ →R³l'application dénie parϕ(u, v, w) = (u, uvcosw, vsinw). 2

a) Montrer que ϕest un C¹ diéomorphisme de ∆sur son image.

b) Calculerλ₃(ϕ(∆)).

Exercice 8.

a) Montrer que l'application ϕ dénie sur R² par ϕ(u, v) = (u² + v²,2uv) est un C¹- diéomorphisme de ∆ ={(u, v)∈R²;u > v >0}sur D={(x, y)∈R²;x > y >0}. b) En déduire la valeur de R

(R+)²|u⁴−v⁴|e^−(u+v)2dudv. Exercice 9.

a) Montrer que l'application

ψ : ]0,1[×]0, π[×]0,2π[→R³,(r, θ, φ)7→(rsinθcosφ, rsinθsinφ, rcosθ)

est un C¹ diéomorphisme de ]0,1[×]0, π[×]0,2π[ sur son image, que l'on déterminera précisément.

b) Calculer le volume de la boule B(0, R) de centre(0,0,0) et de rayon 0≤R≤1 deR³. c) Calculer la valeur de

Z

B(0,1)

1

px²+y²+z² dxdydz.

d) Calculer le volume d'une calotte, c'est-à-dire de l'intersection de la boule unité B(0,1) avec le demi-espace rcosθ > apour 0< a <1.

Exercice 10. Calculer le volume de la boule euclidienne de rayon r deRⁿ.

III - Espaces L

Exercice 11. Pour quelle(s) valeur(s) de p les fonction suivantes dénies de (R, B(R)) dans (R, B(R)) sont-elles dans l'espace L^p?

a) x7→1Q(x) b) x7→x1[0,1](x)

c) x7→ ^arctan_x ^x1]0,+∞](x) d) x7→P

n

√1

n1[n,n+1[(x) Exercice 12. Soit α∈R et soient f_α etg_α les fonctions dénies par

f_a(x) = 1

x^α1^[−1;1](x), g_α(x) = 1

x^α1^[1;+∞[(x) et h_α(x) = 1 x^α. a) A quelle condition sur α etp, f_α∈L^p?

b) Même question pour g_α. c) Et pourhα?

d) Montrer que si p < q, il n'y a pas d'inclusion entre L^p(R)etL^q(R). 3

Exercice 13. Pour n ∈N, on considère les fonctions surR f_n(x) =n1_]n,n+1[(x)

Monter que (fn) converge p.p. vers la fonction nulle et étudier la convergence de la suite (fn) dans L^p(R).

Exercice 14. Soit α, β >0. Pour n∈N, on considère les fonctions sur R f_n(x) = n^α(1−n^β|x−n^−β|)⁺.

a) Faire un dessin et montrer quefn

−→p.p 0.

b) Donner une condition nécessaire et susante surα, β, p pour que fn→0 dans L^p. Exercice 15. On considère l'espace mesuré (R^d,B, λ) où λ est la mesure de Lebesgue.

a) Si A⊆R^d etε >0, on considère f_A^ε la fonction dénie par f_A^ε(x) = (1−d(x, A)/ε)⁺.

Montrer que f_A^ε est ε-Lipschitzienne, que 0 ≤ f_A^ε ≤ 1 et que f_A^ε = 1 surA, f_A^ε = 0 sur {x:d(x, A)≥ε}.

b) SoitO un ouvert de mesure nie et K un compact tel que K ⊆O. Montrer qu'il existe une fonction Lipschitzienne à support compact g telle que 1K ≤g ≤1O.

c) Soitp∈[1,+∞[ et ε >0. En déduire que si A est un Borélien de mesure nie, il existe une fonction Lipschitzienne à support compact g telle quek1A−gk_p ≤ε.

Indication : utiliser la régularité de λ.

d) Si f ∈ L^p et ε >0, montrer qu'il existe une fonction Lipschitzienne à support compact g telle que kf−gk_p ≤ε.

Indication : commencer par une fonction étagée positive, puis une fonction mesurable positive et enn une fonction de L^p.

Exercice 16. [Inégalités de Hölder et de Minkowski] Soit (X,A, µ)un espace mesuré et p, q ∈ ]0,1[ deux exposants conjugués : ¹_p +¹_q = 1. Considère deux fonctions mesurables f, g.

a) Démontrer l'inégalité de Hölder Z

|f g|dµ≤ Z

|f|^pdµ ¹_pZ

|f|^qdµ ¹_q

en utilisant l'inégalité de Jensen.

Indication : considérer la mesure µ_φ où φ = |f|^p/R

|f|^pdµ (lorsqu'elle est bien dénie) et la fonction h=|g|/|f|^p−11f6=0.

b) Démontrer l'inégalité de Youngab≤ ^a_p^p+^b_q^q poura, b≥0et en déduire une autre preuve de l'inégalité de Hölder.

Indication : considérer d'abord le cas où R

|f|^pdµ=R

|g|^qdµ= 1. c) Démontrer l'inégalité de Minkowski

Z

|f+g|^pdµ ¹_p

≤ Z

|f|^pdµ ¹_p

+ Z

|g|^pdµ _p¹

en utilisant l'inégalité de Hölder.

Indication : se ramener au cas f, g ≥0 et écrire (f+g)^p =f(f +g)^p−1+g(f +g)^p−1.

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