Université Paris-Dauphine Licence de Mathématiques Appliqués
Intégrale de Lebesgue et Probabilités Année 201819
TD3
I - Intégrales à paramètre
Exercice 1. Déterminer la limite des suites (In)n≥1 suivantes :
(i) In= Z 1
0
ne−x
nx+ 1dx (ii) In =
+∞
X
k=1
n+k nk3/2+k3
(iii) In = Z
R
nex2 +π
ne2x2 + 4x4dx (iv) In= Z
]0,+∞[
sinx x2
x1/n
1 +x1/ndx (v) In= Z +∞
0
sin(nxn) nxn+1/2 dx.
Exercice 2.
a) Montrer que : Z +∞
0
sinx
ex−1 dx=X
n≥1
1 n2+ 1.
b) Soit f : R → R une fonction borélienne telle que pour tout a ∈ R, la fonction x 7→
eaxf(x)est intégrable. Montrer que pour toutz ∈C,Z
R
ezxf(x)dx=X
n≥0
zn n!
Z
R
xnf(x)dx.
Exercice 3. Soit ϕla fonction dénie sur ]0,+∞[ par : ϕ(t) = Z +∞
0
e−xt1−cosx x dx. a) Montrer que ϕest continue sur ]0,+∞[.
b) Montrer que ϕest dérivable sur ]0,+∞[ et calculer explicitement sa dérivée.
c) Calculer la limite de ϕ(t)quand t→+∞. En déduire la valeur de ϕ(t). Exercice 4. Soit Γla fonction dénie sur R∗+ par
Γ(t) = Z +∞
0
xt−1e−xdx.
a) Montrer que Γ est de classe C∞ surR∗+. b) Montrer que, pour toutn ∈N∗, Γ(n+ 1) =n!.
c) Montrer que, pour toutt >0, Γ(t+ 1) =√ t tte−t
Z +∞
−√ t
1 + y
√t t
e−
√ty
dy.
d) Montrer que, pour tout y≥ 0, la fonction t 7→tln
1 + √yt
−y√
t est décroissante sur ]0,+∞[ et que pour tout y∈
−√ t,0
,tln
1 + √yt
−y√
t≤ −y22.
1
e) Montrer que
t→+∞lim Z 0
−√ t
1 + y
√t t
e−
√tydy= lim
t→+∞
Z +∞
0
1 + y
√t t
e−
√tydy = Z +∞
0
e−y2/2dy.
f) En admettant que R+∞
0 e−y2/2dy =pπ
2, en déduire la formule de Stirling : Γ(t+ 1) ∼
+∞
√2πt tte−t.
II - Changement de variable
Exercice 5.
On note (Rn,k · k) l'espace euclidien usuel de dimension n et B(0, r) = {x ∈ Rn, ||x|| < r}
la boule euclidienne de rayon r >0. On va calculer le volume V1 de la boule unité B(0,1) en jouant avec la fonction Γ. On rappelle que pour s >0, Γ(s) = R+∞
0 ts−1e−tdt. a) Montrer que R
Rne−kxk2dλn(x) =πn2. b) Montrer que
Z
Rn
e−kxk2dλn(x) = Z +∞
0
λn({x∈Rn: e−kxk2 > t})dt .
c) En utilisant l'homogénéité de la fonction volume, déduire de la formule ci-dessus que Z
Rn
e−kxk2dλn(x) =V1 Z 1
0
(−lnt)n2dt . d) En déduire que V1 = π
n2
Γ(n2+1).
e) Montrer que pours >1, on aΓ(s) = (s−1)Γ(s−1). En déduire par récurrence la valeur de Γ n2 + 1
, pour tout entier naturel n, puis le volume V1 de la boule unité :
V1 =
πk
k! si n = 2k (k ∈N),
2k+1πk
1·3·5· · ·(2k+ 1) si n = 2k+ 1 (k∈N).
Exercice 6.
Soit ∆et Ddeux ouverts de Rd etϕ: ∆→D un C1-diéomorphisme de jacobien Jϕ. a) Montrer que Jϕ est intégrable sur ∆si et seulement si λd(D)<+∞.
b) Montrer que Jϕ est borné sur ∆ si et seulement si il existe c > 0 tel que, pour tout ouvert Ω⊂∆, λd(ϕ(Ω))≤cλd(Ω).
Exercice 7.
Soit∆ =]0,1[2×]−π, π[etϕ:R3 →R3l'application dénie parϕ(u, v, w) = (u, uvcosw, vsinw). 2
a) Montrer que ϕest un C1 diéomorphisme de ∆sur son image.
b) Calculerλ3(ϕ(∆)).
Exercice 8.
a) Montrer que l'application ϕ dénie sur R2 par ϕ(u, v) = (u2 + v2,2uv) est un C1- diéomorphisme de ∆ ={(u, v)∈R2;u > v >0}sur D={(x, y)∈R2;x > y >0}. b) En déduire la valeur de R
(R+)2|u4−v4|e−(u+v)2dudv. Exercice 9.
a) Montrer que l'application
ψ : ]0,1[×]0, π[×]0,2π[→R3,(r, θ, φ)7→(rsinθcosφ, rsinθsinφ, rcosθ)
est un C1 diéomorphisme de ]0,1[×]0, π[×]0,2π[ sur son image, que l'on déterminera précisément.
b) Calculer le volume de la boule B(0, R) de centre(0,0,0) et de rayon 0≤R≤1 deR3. c) Calculer la valeur de
Z
B(0,1)
1
px2+y2+z2 dxdydz.
d) Calculer le volume d'une calotte, c'est-à-dire de l'intersection de la boule unité B(0,1) avec le demi-espace rcosθ > apour 0< a <1.
Exercice 10. Calculer le volume de la boule euclidienne de rayon r deRn.
III - Espaces L
pExercice 11. Pour quelle(s) valeur(s) de p les fonction suivantes dénies de (R, B(R)) dans (R, B(R)) sont-elles dans l'espace Lp?
a) x7→1Q(x) b) x7→x1[0,1](x)
c) x7→ arctanx x1]0,+∞](x) d) x7→P
n
√1
n1[n,n+1[(x) Exercice 12. Soit α∈R et soient fα etgα les fonctions dénies par
fa(x) = 1
xα1[−1;1](x), gα(x) = 1
xα1[1;+∞[(x) et hα(x) = 1 xα. a) A quelle condition sur α etp, fα∈Lp?
b) Même question pour gα. c) Et pourhα?
d) Montrer que si p < q, il n'y a pas d'inclusion entre Lp(R)etLq(R). 3
Exercice 13. Pour n ∈N, on considère les fonctions surR fn(x) =n1]n,n+1[(x)
Monter que (fn) converge p.p. vers la fonction nulle et étudier la convergence de la suite (fn) dans Lp(R).
Exercice 14. Soit α, β >0. Pour n∈N, on considère les fonctions sur R fn(x) = nα(1−nβ|x−n−β|)+.
a) Faire un dessin et montrer quefn
−→p.p 0.
b) Donner une condition nécessaire et susante surα, β, p pour que fn→0 dans Lp. Exercice 15. On considère l'espace mesuré (Rd,B, λ) où λ est la mesure de Lebesgue.
a) Si A⊆Rd etε >0, on considère fAε la fonction dénie par fAε(x) = (1−d(x, A)/ε)+.
Montrer que fAε est ε-Lipschitzienne, que 0 ≤ fAε ≤ 1 et que fAε = 1 surA, fAε = 0 sur {x:d(x, A)≥ε}.
b) SoitO un ouvert de mesure nie et K un compact tel que K ⊆O. Montrer qu'il existe une fonction Lipschitzienne à support compact g telle que 1K ≤g ≤1O.
c) Soitp∈[1,+∞[ et ε >0. En déduire que si A est un Borélien de mesure nie, il existe une fonction Lipschitzienne à support compact g telle quek1A−gkp ≤ε.
Indication : utiliser la régularité de λ.
d) Si f ∈ Lp et ε >0, montrer qu'il existe une fonction Lipschitzienne à support compact g telle que kf−gkp ≤ε.
Indication : commencer par une fonction étagée positive, puis une fonction mesurable positive et enn une fonction de Lp.
Exercice 16. [Inégalités de Hölder et de Minkowski] Soit (X,A, µ)un espace mesuré et p, q ∈ ]0,1[ deux exposants conjugués : 1p +1q = 1. Considère deux fonctions mesurables f, g.
a) Démontrer l'inégalité de Hölder Z
|f g|dµ≤ Z
|f|pdµ 1pZ
|f|qdµ 1q
en utilisant l'inégalité de Jensen.
Indication : considérer la mesure µφ où φ = |f|p/R
|f|pdµ (lorsqu'elle est bien dénie) et la fonction h=|g|/|f|p−11f6=0.
b) Démontrer l'inégalité de Youngab≤ app+bqq poura, b≥0et en déduire une autre preuve de l'inégalité de Hölder.
Indication : considérer d'abord le cas où R
|f|pdµ=R
|g|qdµ= 1. c) Démontrer l'inégalité de Minkowski
Z
|f+g|pdµ 1p
≤ Z
|f|pdµ 1p
+ Z
|g|pdµ p1
en utilisant l'inégalité de Hölder.
Indication : se ramener au cas f, g ≥0 et écrire (f+g)p =f(f +g)p−1+g(f +g)p−1.
4
