Stanislas
Exercices
Intégrales à paramètre
Chapitre XII
2020-2021PSI
I. Convergence dominée
Exercice 1. [Mines] Soit, pour tout n∈N∗,un= Z +∞
1
e−xn dx. 1.Étudier la convergence de (un)n>1.
2.Étudier la convergence de la série de terme général un.
Exercice 2. [Centrale] Soit, pour tout n ∈ N∗, un = Z n
0
1− t
n n
ln(t)dt.
1.Justier l'existence de un. 2. Soit A =
Z +∞
0
e−tln(t)dt. Justier l'existence de A et montrer que
n→+∞lim un=A.
3.Soit pour n∈N∗,vn= ln(n)−
n
P
k=1 1
k. Montrer que lim
n→+∞vn=A. Exercice 3. [Centrale] Soit, pourn∈N,In=
Z 1 0
ln(1 +tn)dt. 1.Déterminer lim
n→+∞In. 2.Soit L=
Z 1 0
ln(1 +u)
u du. Justier l'existence de L.
3.Montrer que In∼n→+∞ Ln. 4.Monter queL=
+∞
P
n=1
(−1)n−1 n2 . Exercice 4. [Mines] On pose I =
Z 1
0
ln(1−t2) ln(t2) t2 dt. 1.Montrer que O est bien dénie.
2.Montrer que I =
+∞
P
n=1 2
n(2n−1)2 et en déduire la valeur de I.
Exercice 5. [Centrale] Pour tout n ∈ N, on pose In = Z +∞
0
arctan(n+x) (n+x)√
x dx.
1.Montrer que (In) est bien dénie.
2.Étudier la convergence de (In).
3.Déterminer un équivalent de(In) en +∞. Exercice 6. [CCP] Soit (an) une suite telle queP
an converge absolu- ment.
1.Déterminer le rayon de convergence de la série entièrePan
n!xn. On note, pour toutx∈R, on posef(x) =
+∞
P
n=0 an
n!xn. 2.Montrer que Z +∞
0
f(t) e−t dt=
+∞
X
n=0
an.
Exercice 7. (Développement en série entière) On admettra que Z +∞
0
e−t2 dt =
√π
2 . Soit x ∈]−1,1[. Montrer que √2xπ Z +∞
0
dt et2 −x =
+∞
X
n=1
xn
√n.
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Exercice 8. (Version faible du théorème de convergence dominée)Soient (fn)n∈N etg des fonctions continues surR∗+. On suppose que pour tout entier naturel n, |fn| 6 g, que (fn) converge uniformément vers f sur tout segment deR∗+ et que gest intégrable surR∗+.
Monter, sans utiliser le théorème de convergence dominée, que
n→+∞lim Z
R∗+
fn= Z
R∗+
f.
Exercice 9. [ÉNS] Soitf(x) = Z +∞
0
dt
p(x2+t2)(1 +t2). 1.Déterminer le domaine de dénition de f.
2.Calculer Z 1
0
√ dt
x2+t2 en utilisant un changement de variables.
3.Déterminer la limite de f en 0. Trouver un équivalent def en 0. 4.Faire de même en +∞.
II. Régularité des intégrales à paramètres
Exercice 10. [Centrale] On considère la fonction F : x 7→
Z +∞
0
e−xtsinh(t) t dt.
1.Déterminer l'ensemble de dénition de F. 2.Déterminer la limite de F en +∞.
3.Donner une expression simpliée deF(x). Exercice 11. [CCP] On pose f(t) =
Z +∞
0
e−x2cos(2tx)dx.
1.Montrer que f est dénie surR.
2.Montrer que f est de classeC1 et calculerf0. 3.Sachant que Z +∞
0
e−x2 dx=
√π
2 , calculer f.
Exercice 12. [St Cyr (partiel)] Pour tout x ∈ R+, on pose I(x) = Z π/2
0
arctan(xtan(t)) tan(t) dt.
1.Justier queI(x) est bien dénie pour tout x>0.
2.Tracer la courbe représentative deI pour x∈[0,10]. Exercice 13.SoitF(x) =
Z π
0
exsin(t)dt. Montrer queF est de classeC∞ surRet vérie une équation diérentielle linéaire du second ordre.
Exercice 14.On pose F(x) = Z 1
0
ln(1 +tx)dt. 1.Montrer que F est dénie surR.
2.Montrer que F est monotone.
3.Montrer que lim
x→+∞F(x) = 0 et lim
x→−∞F(x) = +∞. 4.Montrer que F est continue sur R.
Exercice 15.Soitf ∈C([0,1],R∗+)etI(y) = Z 1
0
f(x)ydx.
1. Soit g une fonction dénie sur un voisinage de 0 à valeurs dans R∗+, dérivable en0, vériantg(0) = 1. Déterminer lim
y→0g(y)1/y. 2.Montrer que I est une fonction dérivable surR?+. 3.En déduire que
y→0lim Z 1
0
f(x)ydx 1/y
= exp Z 1
0
ln(f(x))dx
.
Exercice 16. [Centrale] Soit (a, b) ∈ R∗+ et F(x) = Z +∞
0
e−at−e−bt
t cos(tx) dt. Donner le domaine de dénition et calculerF.
Exercice 17. (Transformée de FOURIER d’une gaussienne) On pose f(x) =
Z +∞
−∞
e−t2+itxdt.
1.Montrer que la fonction f est dénie surR.
2.Montrer quef est dérivable surRet que f0(x) = Z +∞
−∞
ite−t2+itxdt. 3.Montrer que f vérie l'équation diérentielle 2y0+xy= 0.
On pourra utiliser une intégration par parties.
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4.En déduire la valeur de f connaissantf(0) =√ π.
Exercice 18. (Transformée de FOURIER, ♥) [Centrale] Soit E l'espace vectoriel des fonctions f continues sur R telles que pour tout k entier naturel,t7→tkf(t) soit intégrable surR.
1.Montrer que la fonction t7→e−t2/2 appartient à E.
2.Soientf ∈E etg:x7→
Z
R
eitxf(t)dt. Montrer que g estC∞ surR.
3.On noteαk= Z
R
tkf(t)
dt. Montrer queg est développable en série entière sur un intervalle]−A, A[à préciser.
Exercice 19.On pose, pour toutx >−1,f(x) = Z 1
0
tx 1 +tdt. 1.Montrer que f est continue et dérivable.
2.Déterminer le développement en série entière de f sur]−1,1[. 3.Montrer que f(x) =
+∞
P
n=0 (−1)n n+x+1.
Exercice 20. [Mines] Soit f : x 7→
Z +∞
0
e−t2x
1 +t2 dt. On rappelle que Z +∞
0
e−t2 dt=
√π 2 .
1.Donner le domaine de dénition de f. 2.Montrer que f est dérivable sur R∗+.
3.Donner un équivalent simple de f0 au voisinage de+∞. 4.Calculerf −f0.
5. En déduire un développement asymptotique de f à deux termes au voisinage de+∞.
III. Avec Python
Exercice 21. [Centrale] Pour tout entier naturel n, on pose In = Z 1
0
dt (1 +t2)n.
1. Écrire une fonction permettant de calculer une valeur approchée de In et en déduire les valeurs deIn pour nentre1 et10.
2.Montrer que (In) converge et déterminer sa limite.
3.On pose sn=
n
P
k=1
Ik etSn=
n
P
k=1 Ik
k.
a)Tracer, à l'aide de Python, diérents pointsAn(n, sn)etBn(n, Sn). Conjecturer le comportement des suites(sn) et(Sn).
b)Déterminer la nature et, le cas échéant, la limite, des suites(sn) et (Sn).
4.Déterminer un équivalent de(In) et le vérier avec Python.
Mathématiciens
Fourier Joseph (21 mar. 1768 à Auxerre-16 mai 1830 à Paris).
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