Intégrales à paramètre

Stanislas

Exercices

Intégrales à paramètre

Chapitre XII

2020-2021PSI

I. Convergence dominée

Exercice 1. [Mines] Soit, pour tout n∈N^∗,un= Z +∞

1

e^−xn dx. 1.Étudier la convergence de (u_n)_n>1.

2.Étudier la convergence de la série de terme général un.

Exercice 2. [Centrale] Soit, pour tout n ∈ N^∗, u_n = Z n

0

1− t

n n

ln(t)dt.

1.Justier l'existence de un. 2. Soit A =

Z +∞

0

e^−tln(t)dt. Justier l'existence de A et montrer que

n→+∞lim un=A.

3.Soit pour n∈N^∗,vn= ln(n)−

n

P

k=1 1

k. Montrer que lim

n→+∞vn=A. Exercice 3. [Centrale] Soit, pourn∈N,I_n=

Z 1 0

ln(1 +tⁿ)dt. 1.Déterminer lim

n→+∞In. 2.Soit L=

Z 1 0

ln(1 +u)

u du. Justier l'existence de L.

3.Montrer que I_n∼_n→+∞ ^L_n. 4.Monter queL=

+∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n² . Exercice 4. [Mines] On pose I =

Z ₁

0

ln(1−t²) ln(t²) t² dt. 1.Montrer que O est bien dénie.

2.Montrer que I =

+∞

P

n=1 2

n(2n−1)² et en déduire la valeur de I.

Exercice 5. [Centrale] Pour tout n ∈ N, on pose I_n = Z +∞

0

arctan(n+x) (n+x)√

x dx.

1.Montrer que (I_n) est bien dénie.

2.Étudier la convergence de (I_n).

3.Déterminer un équivalent de(In) en +∞. Exercice 6. [CCP] Soit (a_n) une suite telle queP

a_n converge absolu- ment.

1.Déterminer le rayon de convergence de la série entièreP_an

n!xⁿ. On note, pour toutx∈R, on posef(x) =

+∞

P

n=0 an

n!xⁿ. 2.Montrer que Z +∞

0

f(t) e^−t dt=

+∞

X

n=0

a_n.

Exercice 7. (Développement en série entière) On admettra que Z +∞

0

e^−t2 dt =

√π

2 . Soit x ∈]−1,1[. Montrer que ^√2x_π Z +∞

0

dt e^t2 −x =

+∞

X

n=1

xⁿ

√n.

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Exercice 8. (Version faible du théorème de convergence dominée)Soient (f_n)n∈N etg des fonctions continues surR^∗₊. On suppose que pour tout entier naturel n, |f_n| 6 g, que (fn) converge uniformément vers f sur tout segment deR^∗+ et que gest intégrable surR^∗+.

Monter, sans utiliser le théorème de convergence dominée, que

n→+∞lim Z

R^∗+

f_n= Z

R^∗+

f.

Exercice 9. [ÉNS] Soitf(x) = Z +∞

0

dt

p(x²+t²)(1 +t²). 1.Déterminer le domaine de dénition de f.

2.Calculer Z 1

0

√ dt

x²+t² en utilisant un changement de variables.

3.Déterminer la limite de f en 0. Trouver un équivalent def en 0. 4.Faire de même en +∞.

II. Régularité des intégrales à paramètres

Exercice 10. [Centrale] On considère la fonction F : x 7→

Z +∞

0

e^−xtsinh(t) t dt.

1.Déterminer l'ensemble de dénition de F. 2.Déterminer la limite de F en +∞.

3.Donner une expression simpliée deF(x). Exercice 11. [CCP] On pose f(t) =

Z +∞

0

e^−x2cos(2tx)dx.

1.Montrer que f est dénie surR.

2.Montrer que f est de classeC¹ et calculerf⁰. 3.Sachant que Z +∞

0

e^−x2 dx=

√π

2 , calculer f.

Exercice 12. [St Cyr (partiel)] Pour tout x ∈ R+, on pose I(x) = Z π/2

0

arctan(xtan(t)) tan(t) dt.

1.Justier queI(x) est bien dénie pour tout x>0.

2.Tracer la courbe représentative deI pour x∈[0,10]. Exercice 13.SoitF(x) =

Z π

0

e^xsin(t)dt. Montrer queF est de classeC^∞ surRet vérie une équation diérentielle linéaire du second ordre.

Exercice 14.On pose F(x) = Z 1

0

ln(1 +t^x)dt. 1.Montrer que F est dénie surR.

2.Montrer que F est monotone.

3.Montrer que lim

x→+∞F(x) = 0 et lim

x→−∞F(x) = +∞. 4.Montrer que F est continue sur R.

Exercice 15.Soitf ∈C([0,1],R^∗₊)etI(y) = Z 1

0

f(x)^ydx.

1. Soit g une fonction dénie sur un voisinage de 0 à valeurs dans R^∗+, dérivable en0, vériantg(0) = 1. Déterminer lim

y→0g(y)^1/y. 2.Montrer que I est une fonction dérivable surR^?₊. 3.En déduire que

y→0lim Z 1

0

f(x)^ydx 1/y

= exp Z 1

0

ln(f(x))dx

.

Exercice 16. [Centrale] Soit (a, b) ∈ R^∗+ et F(x) = Z +∞

0

e^−at−e^−bt

t cos(tx) dt. Donner le domaine de dénition et calculerF.

Exercice 17. (Transformée de FOURIER d’une gaussienne) On pose f(x) =

Z +∞

−∞

e^−t2+itxdt.

1.Montrer que la fonction f est dénie surR.

2.Montrer quef est dérivable surRet que f⁰(x) = Z +∞

−∞

ite^−t2+itxdt. 3.Montrer que f vérie l'équation diérentielle 2y⁰+xy= 0.

On pourra utiliser une intégration par parties.

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4.En déduire la valeur de f connaissantf(0) =√ π.

Exercice 18. (Transformée de FOURIER, ♥) _[Centrale] Soit E l'espace vectoriel des fonctions f continues sur R telles que pour tout k entier naturel,t7→t^kf(t) soit intégrable surR.

1.Montrer que la fonction t7→e^−t2/2 appartient à E.

2.Soientf ∈E etg:x7→

Z

R

e^itxf(t)dt. Montrer que g estC^∞ surR.

3.On noteα_k= Z

R

t^kf(t)

dt. Montrer queg est développable en série entière sur un intervalle]−A, A[à préciser.

Exercice 19.On pose, pour toutx >−1,f(x) = Z 1

0

t^x 1 +tdt. 1.Montrer que f est continue et dérivable.

2.Déterminer le développement en série entière de f sur]−1,1[. 3.Montrer que f(x) =

+∞

P

n=0 (−1)ⁿ n+x+1.

Exercice 20. [Mines] Soit f : x 7→

Z +∞

0

e^−t2x

1 +t² dt. On rappelle que Z +∞

0

e^−t2 dt=

√π 2 .

1.Donner le domaine de dénition de f. 2.Montrer que f est dérivable sur R^∗+.

3.Donner un équivalent simple de f⁰ au voisinage de+∞. 4.Calculerf −f⁰.

5. En déduire un développement asymptotique de f à deux termes au voisinage de+∞.

III. Avec Python

Exercice 21. [Centrale] Pour tout entier naturel n, on pose In = Z 1

0

dt (1 +t²)ⁿ.

1. Écrire une fonction permettant de calculer une valeur approchée de I_n et en déduire les valeurs deI_n pour nentre1 et10.

2.Montrer que (In) converge et déterminer sa limite.

3.On pose sn=

n

P

k=1

Ik etSn=

n

P

k=1 Ik

k.

a)Tracer, à l'aide de Python, diérents pointsA_n(n, s_n)etB_n(n, S_n). Conjecturer le comportement des suites(s_n) et(S_n).

b)Déterminer la nature et, le cas échéant, la limite, des suites(sn) et (S_n).

4.Déterminer un équivalent de(I_n) et le vérier avec Python.

Mathématiciens

Fourier Joseph (21 mar. 1768 à Auxerre-16 mai 1830 à Paris).

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