1.1 Équation diérentielle linéaire

(1)

Équations diérentielles linéaires

1 Généralités

1.1 Équation diérentielle linéaire

x⁰(t) =a(t)x(t) +b(t)

ou, en résumé,x⁰=a(t) (x) +b(t);aest une application continue deIdans L(E)etb une application continue deIdansE.

1.2 Forme matricielle

Systèmes diérentiels linéaires :

X⁰(t) =A(t)X(t) +B(t)

IciAetB sont des applications continues deI dans ? Réponse

A(t)∈M_n(R);B(t)∈M_n,1(R).

1.3 Équation diérentielle homogène associée à une équa- tion diérentielle linéaire

x⁰(t) =a(t)x(t), ouX⁰(t) =A(t)X(t) Exemple

y⁰(t) =−z(t) z⁰(t) =y(t) Ici,X(t) =

y(t) z(t)

;X⁰(t) =A(t)X(t)avecA=?

SiX(t)décrit une trajectoire, que dire du vecteur vitesse ? Réponses

A(t) =

0 −1

1 0

. Le vecteur vitesse est normal à X(t).

1.4 Principe de superposition

Dans le cas oùB est une somme

B =B₁+...+B_p

pour obtenir une solutionX deX⁰(t) =A(t)X(t) +B(t), il sut d'ajouter des solutionsX₁, X₂...des équations

X⁰(t) =A(t)X(t) +Bj(t) Remarque

Il s'agit d'une équation linéaireu(x) =b,u∈L(E₁, E₂). Ici,E₁, E₂, u=?

Réponse

E1=C¹(I, E)et E2=C⁰(I, E).

u(X) =X⁰−AX

(4)

1.5 Problème de Cauchy

1.5.1 Dénition (1)

X⁰(t) =A(t)X(t) +B(t) X(t₀) =X₀

1.5.2 Mise sous forme intégrale d'un problème de Cauchy Le problème précédent est équivalent à l'équation intégrale :

(2) X(t) =X0+ ˆ t

t₀

A(u)X(u) +B(u) du Plus précisément :

X est une solution de classeC¹ surI de(1)si et seulement siX est une solution continue surI de(2).

1.6 Représentation d'une équation scalaire linéaire d'or- dre n par un système diérentiel linéaire

1.6.1 Equation scalaire linéaire d'ordre n (n≥1)

y⁽ⁿ⁾(t) +a_n−1(t).y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +...+a₀(t).y(t) =b(t) (1) Lesa_j etbsont des fonctions continues sur Ià valeurs dansRouC.

L'inconnuey est de classeCⁿ surI.

1.6.2 Représentation par un système diérentiel linéaire Supposons y solution de (1) ; soit X = y, y⁰, ...y⁽ⁿ⁻¹⁾^T

; alors, X est solution de

X⁰(t) =A(t)X(t) +B(t) avecA=? B=?

Réponse pourn= 4

A(t) =







0 1

−a0(t) −a1(t) −a2(t) −a3(t)







, B(t) =





 0 0 0 b(t)





 On reconnaît la transposée d'une matrice compagnon.

1.6.3 Réciproque

SiX = (x0, x1, ...x_n−1)^T est solution surIde X⁰(t) =A(t)X(t) +B(t) alorsy=x₀est solution surI de(1).

1.6.4 Problème de Cauchy pour une équation linéaire scalaire Ici, la condition initialeX(t0) =X0 s'écrit

y(t₀) =u₀, y⁰(t₀) =u₁, y⁰⁰(t₀) =u₂, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾(t₀) =u_n−1

2 Solutions d'une équation diérentielle linéaire

2.1 Théorème de Cauchy linéaire

Démonstration non exigible

Il y a existence et unicité de la solution surI du problème de Cauchy X⁰(t) =A(t)X(t) +B(t)

X(t₀) =X₀

(5)

Cas des équations scalaires d'ordre n

Analogue : il y a existence et unicité de la solution surI du problème de Cauchy

y⁽ⁿ⁾(t) +a_n−1(t).y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +...+a₀(t).y(t) =b(t) y(t0) =u0, y⁰(t0) =u1, y⁰⁰(t0) =u2, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0) =u_n−1

Attention

C'est le mêmet0 poury, y⁰, y⁰⁰, ...Contre-exemple : y⁰⁰(t) +y(t) = 0

y(0) = 0, y⁰ ^π₂

= 1

Attention

Le coecient dey⁽ⁿ⁾est 1. Ou une fonctiona_n continue et qui ne s'annule pas surI.

2.2 Cas des équations homogènes

Théorème

Pour l'équation homogèneX⁰(t) =A(t)X(t), l'ensembleSH des solutions est un sous-espace vectoriel deE^I.

Théorème

Pour toutt₀dansI, l'application

S_H → E

x → x(t₀)

est un isomorphisme d'espace vectoriel deS_H surE. En particulier, S_H est de dimensionn.

Théorème : cas des équations scalaires d'ordre n Pour toutt0dansI, l'application

SH → Kⁿ

y → y(t₀), ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾(t₀)

est un isomorphisme d'espace vectoriel deS_H sur Kⁿ. En particulier, S_H est de dimensionn.

2.3 Retour au cas général

L'ensemble des solutions est un sous-espace ane deE^I.

2.4 Une variante

M⁰(t) =A(t)M(t) +B(t) M(t₀) =C

Ici,A(t)est toujours carrée de taille n ;M₀,M(t)et B(t)ne sont plus des colonnes, mais des matrices, toujours à n lignes, mais à q colonnes.

Dans ce cas aussi il y a une solution unique ; le système est équivalent à qsystèmes

M_j⁰(t) =A(t)Mj(t) +Bj(t) M_j(t₀) =C_j

(6)

2.5 Ebauche de démonstration

On suppose queI est un segment : I= [a, b] ; on xet0∈Iet α∈E. SoitFl'ensemble des fonctions continues deIdansE=Rⁿ. On utilisera kk_∞dansE et dansF.

F= C⁰([a, b], E),kk_∞

On noteT l'application qui à X∈F associeY ∈F déni par

Y(t) =α+ ˆ t

t₀

A(u)X(u) +B(u) du On cherche à montrer queT possède un unique point xe.

Pour simplier les calculs, on choisit dansM_n(R)une norme telle que :

∀M ∈M_n(R),∀X ∈Rⁿ,kM.Xk ≤ kMk.kXk Par exemple,n.kk_∞.

On noteC= max

I kAk. T est lipschitzienne

T est lipschitzienne de rapportk=´

IkA(u)kdu; problème,T peut ne pas être contractante.

2.5.1 Unicité

SoitX0 et Y0 deux éléments deF ; on dénit deux suites (Xk)et (Yk)par Xk+1=T(Xk)etYk+1=T(Yk); on montre par récurrence surk que

∀k≥0,∀t∈I,kYk(t)−Xk(t)k ≤C^k|t−t0|^k

k! kY0−X0k_∞ Que conclure siX0et Y0 sont deux points xes deT ?

2.5.2 Existence

On dénit une suite parX₀∈F quelconque, etX_k+1=T(X_k). On étudie la diérenceX_k+1−X_k :

∀k≥0,∀t∈I,kXk+1(t)−Xk(t)k ≤C^k|t−t0|^k

k! kX1−X0k_∞ Qu'en déduire pour la suite(Xk)?

Réponse

La série PX_k+1 −X_k converge normalement sur I ; donc la suite (X_k) converge uniformément surI.

2.6 La méthode d'Euler

2.6.1 Principe

X⁰(t) =A(t)X(t) +B(t) X(0) =X₀

Fixonsh >0;X(h)≈X₀+h.T₀=X₁ ;X(2h)≈X₁+h.T₁=X₂. T₀=? T₁=?

Réponse

T0=A(0)X0+B(0);T1=A(h)X1+B(h).

(7)

2.6.2 Un exemple y⁰(t) =y(t)

y(0) = 1 ; yn ? Réponse

y_n= (1 +h)ⁿ ; pour xxé, atteint ennétapes : x=nh, y(x)≈yn= (1 +h)ⁿ=

1 +x n

ⁿ

Conclusion ?

3 Exponentielle d'un endomorphisme, d'une ma- trice

3.1 Rappels

3.1.1 Applications bilinéaires

SiE1, E2etF sont des espaces normés de dimensions nies, etBune application bilinéaire deE1×E2 dansF, alors :

∃c >0,∀x, y,kB(x, y)k ≤c.kxk.kyk 3.1.2 Produit matriciel

SoitE=M_n(K); d'après ce qui précède :

∃c >0,∀X, Y ∈E,kX.Yk ≤c.kXk.kYk

Exemple : pourkk_∞,c=? Réponse

c=nconvient.

3.1.3 Complément : c= 1

De plus, on peut choisir une norme dansE pour que c= 1. Par exemple, on choisit une norme quelconque dansMn,1(K), et dansE :

kMk= sup

kM.Xk

kXk / X∈Mn,1(K)− {0}

Cette norme surE vérie aussi :

∀M ∈Mn(R),∀X ∈Rⁿ,kM.Xk ≤ kMk.kXk

Autre exemple plus simple

M → kMk=nkMk_∞ est une norme surE=Mn(K)qui vérie

∀X, Y ∈E,kX.Yk ≤ kXk.kYk 3.1.4 Des exemples d'applications continues

Soit E un espace vectoriel de dimension nie ; soit B une base de E ; l'application

u→M_B(u)

est continue deL(E)dansMn(C), ainsi que sa réciproque.

SoitA, B∈Mn(C); les applications M →A.M

(8)

M →M.B

M →A.M.B sont continues deMn(C)dansMn(C).

3.2 Exponentielle de matrices

3.2.1 Dénition

SoitE un EVN de dimension nie ; soita∈L(E); on pose

exp (a) =e^a=

∞

X

k=0

a^k k!

Justication

La série converge absolument d'après :

a^k k!

≤ c^k−1.kak^k k!

et la règle de d'Alembert.

3.2.2 Cas d'une matrice

PourAmatrice carrée : exp (A) =e^A=P∞ k=0

A^k k!. 3.2.3 SiA=MB(a)

SoitB une base de E ; soita∈L(E); soit A=M_B(a); alors exp (A) =M_B(exp (a))

Démonstration On notesk(a) =Pk

j=0 a^j

j!...

3.2.4 exp P⁻¹.A.P exp P⁻¹.A.P

=P⁻¹.exp (A).P Démonstration

A nouveau à l'aide desk(A) =Pk j=0

A^j j!. 3.2.5 A.e^A=e^A.A

3.3 Continuité de exp

Théorème

exp est continue surL(E). Démonstration

On vérie que la série converge normalement sur toute partie bornée :

∀a∈B(0, R),

a^k k!

≤c^k−1.R^k k!

indépendant dea, et terme général d'une série de réels positifs convergente.

(9)

3.4 Théorème : exp (tA)

NotonseA:t→exp (tA);eA est de classeC^∞surR; e⁰_A(t) =A.eA(t) =eA(t).A

3.5 Spectre

SoitA∈M_n(C).

Si le spectre deAest(λ₁, ..., λ_n), alors le spectre deexp (A)est e^λ¹, ..., e^λⁿ. det e^A

? Réponse det e^A

= exp (trA). En particulier,e^Aest toujours inversible.

3.6 Exercice

SoitA∈Mn(C); montrer quee^A∈C[A]. 3.6.1 Cas oùA est nilpotente 3.6.2 Cas oùA est diagonale 3.6.3 Cas oùA est diagonalisable 3.6.4 Cas général

C[A]est un espace vectoriel de dimension nie, donc fermé dansMn(C); il contient les

sk(A) =

k

X

j=0

A^j j!

donc il contient la limite.

3.7 Exp est surjective de M

_n

( C ) sur GL

_n

( C )

Exercice

SoitB inversible ; on se ramène au cas où B =In+N avec N nilpotente (comment ?).

On pose alors

P =

n

X

k=1

(−1)^k−1X^k k

etA=P(N);e^A= expP(N) =Q(P(N)), avecQ=Pn k=0

X^k

k! ; pourquoi

?Il reste à étudierQ◦P ; on montre que

Q◦P = 1 +X+Xⁿ⁺¹R(X)

4 Systèmes diérentiels linéaires homogènes à coecients constants

4.1 Théorème

On étudie ici :

X⁰(t) =A.X(t) X(t0) =X0

Dans le cas oùt₀ = 0, on dispose d'une expression pour la solution unique surR:

X(t) =e^tA.X₀ Dans le cas général ? Résultat analogue pour

x⁰(t) =a(x(t)) x(t0) =x0 .

(10)

Réponse

X(t) =e^(t−t⁰^)A.X0

4.2 Théorème

Soita, b deux endomorphismes qui commutent ; alors exp (a+b) = exp (a)◦exp (b)

Analogue pour les matrices carrées.

4.2.1 Démonstration

Soitf(t) =e^t(A+B)etg(t) =e^tA.e^tB; on calcule leurs dérivées ;f etgsont deux solutions de

X⁰(t) = (A+B).X(t) X(0) =I_n 4.2.2 Cas particulier

SiB=−A: on constate queexp (−A)est l'inverse deexp (A).

4.3 Le cas de la dimension 2

4.3.1 Exemple 1

y⁰(t) =−a.z(t) z⁰(t) =a.y(t) On en déduity⁰⁰+a²y= 0, etz⁰⁰+a²z= 0; d'où

y(t) =α.cosat+β.sinat

Avecα=? β =? Réponse

α=y(0) ;β=−z(0). Matriciellement

X⁰(t) =A.X(t)

X(0) =X0 , avecA=

0 −a a 0

.

X(t) =

y(0) cosat−z(0) sinat y(0) sinat+z(0) cosat

= exp (tA).X(0)

Conclusion : e^tA=

cosat −sinat sinat cosat

.

Autre méthode pour calculere^tA ? CalculerA², puisA²ⁿ...

4.3.2 Exemple 2

y⁰= 2y+z z⁰= 3y+ 4z donc

X⁰ =AX avecA=

2 1 3 4

. On trouve une base de vecteurs propres : Pourλ= 1: U =

1

−1

, pourλ= 5: V = 1

3

.

(11)

On chercheX(t)sous la forme

X(t) =c₁(t)U +c₂(t)V L'équation s'écrit :

X⁰(t) =c⁰₁(t)U+c⁰₂(t)V =c1(t)U+ 5c2(t)V D'oùc⁰₁=c1, c⁰₂= 5c2 ; nalement :

x(t) =α.e^t+β.e^5t y(t) =−α.e^t+ 3β.e^5t 4.3.3 Réduction des matrices deM2(R) Exercice

SoitM ∈M2(R). Montrer queM est semblable dansM2(R)à une matrice d'une des trois formes suivantes :

- λ 0 0 µ

-

λ 1 0 λ

- a −b b a

, avecb6= 0. Démonstration

Dans le cas où M a une valeur propre λ = a+ib, avec b 6= 0, on écrit M Z=λZ avecZ=X+iY 6= 0.

On obtient

M X=aX−bY M Y =bX+aY Il reste à montrer que(X, Y)est libre :

- Z, Z

est libre carZ etZ sont vecteurs propres deM associés à deux valeurs propres distinctesλet λ.

- Z et Z sont combinaisons C−linéaires de X et Y, donc (X, Y) est C−libre.

-(X, Y)estC−libre, doncR−libre.

Une autre méthode

Il est facile de montrer queM est semblable à a −b b a

dansM₂(C); on peut ensuite montrer que deux matrices deM_n(R)semblables dansM_n(C) sont en fait semblables dansMn(R).

4.3.4 Application

Soita un endomorphisme ; pour étudier x⁰(t) = a(x(t)), on calcule dans une baseB adaptée.

4.3.5 Cas 1 A=

λ 0 0 µ

;exp (tA) =

e^λt 0 0 e^µt

. Tracé ?

4.3.6 Cas 2 A=

λ 1 0 λ

;exp (tA) =e^λt. 1 t

0 1

. Tracé ?

4.3.7 Cas 3 A=

a −b b a

;exp (tA) =e^at.

cosbt −sinbt sinbt cosbt

. Tracé ?

(12)

4.4 Exercice : étude asymptotique

On suppose queA possède une seule valeur propre : A=λIn+N. e^tA=e^λt.e^tN

Que dire dee^tN ?

C'est une fonction polynomiale.

4.4.1 Cas où Reλ <0. Dans ce cas :

t→+∞lim e^tA= 0

4.4.2 Cas où Reλ= 0. Dans ce cas :

t→+∞lim e^tA

= +∞

sauf siN = 0.

4.4.3 SiA possède plusieurs valeurs propres ? Aest semblable à une matrice diagonale par blocs...

4.5 Morphismes de groupes continus de ( R , +) dans (GL

_n

( R ) , ×)

Exercices

4.5.1 Endomorphismes de groupes continus de (R,+) Les seuls endomorphismes de groupes continusf de(R,+)sont les

fa:t→at

oùadécrit R.

Démonstration

SoitF une primitive def. De

(H) : ∀x, y∈R, f(x+y) =f(x) +f(y)

on déduit, en intégrant sur[0,1]par rapport ày :

∀x∈R, F(x+ 1)−F(x) =f(x) +F(1)−F(0)

Ceci montre que f est de classe C¹ sur R. On revient à (H) ; en dérivant par rapport ày :

∀x, y ∈R, f⁰(x+y) =f⁰(y) D'où

∀x∈R, f⁰(x) =f⁰(0) Conclusion ?

4.5.2 Morphismes de groupes C⁰ de (R,+) dans (GL_n(R),×) Les seuls morphismes de groupes continus f de (R,+) dans (GLn(R),×) sont les applications

fA:t→exp (tA) oùA décritMn(R).

(13)

Démonstration

On va d'abord montrer quef est nécessairement de classeC¹ ; soita >0; on part de

∀x, y∈R, f(x+y) =f(x)f(y) On xexet on intègre par rapport ày sur[0, a]:

∀x∈R, F(x+a)−F(x) =f(x).(F(a)−F(0)) Comment montrer quef est de classeC¹ surR?

Il sut de montrer l'existence deatel queF(a)−F(0)soit inversible ; pour cela, on utilise

a→0lim

F(a)−F(0)

a =f(0) =In

On peut ensuite dériver par rapport àx:

f⁰(x+y) =f⁰(x)f(y)

Conclusion ?

∀t∈R, f⁰(t) =f⁰(0)f(t) D'où :

∀t∈R, f(t) = exp (tA).f(0) = exp (tA) avecA=f⁰(0)∈M_n(R).

5 Equations diérentielles linéaires homogènes à coecients constants

y⁽ⁿ⁾(t) +a_n−1.y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +...+a0.y(t) = 0 (1) Lesak sont des complexes, etn≥1.

Notations

E=C^∞(R,C). D∈L(E)est l'endomorphisme de dérivation : D: E→E

y→y⁰

e_λ: R→C t→e^λt

P =Xⁿ+

n−1

X

k=0

ak.X^k

On sait qu'on peut ramener l'étude de(1) à celle d'un système diérentiel linéaire homogène à coecients constants. On va voir une autre approche.

SoitS l'ensemble des solutions de(1): S= kerP(D)

5.1 Utilisation du théorème de décomposition des noy- aux

P est scindé dansC:

P =

r

Y

j=1

(X−λj)^m^j

Donc

S=

r

M

j=1

ker (D−λj.Id)^m^j

(14)

5.2 Cas où P est scindé à racines simples

On est ramené à déterminerEλ= ker (D−λ.Id). Evidemment : Eλ= Vect (eλ)

Donc une base deS est

e_λ_j

1≤j≤n

Ce qui veut dire que les solutions s'écrivent

y:t→

n

X

j=1

cj.e^λ^j^t

où lescj ∈Csont des constantes.

5.3 Cas général

On est ramené à déterminer

F = ker (D−λ.Id)^m

Lemme

∀z∈E,(D−λ.Id) (z.eλ) =z⁰.eλ

Application

On cherche les éléments deF sous la formey=z.e_λ.

∀z∈E,(D−λ.Id)^m(z.eλ) = 0⇐⇒z^(m).eλ= 0

Conclusion : dans ce cas, une base deF est eλ, X.eλ, ..., X^m−1.eλ

6 Méthode de variation des constantes

6.1 Introduction

On cherche à résoudre l'équation

(E) : X⁰(t) =A(t)X(t) +B(t) dans le cas où on a résolu l'équation homogène.

On suppose donc connue une base deS_H : (X₁, ..., X_n); une telle base est quelquefois appelée système fondamental de solutions ; notons

R(t) = (X1(t), ..., Xn(t)) (la résolvante).

Une solutionX deSH s'écrit

X =c1X1+...cnXn

On cherche les solutions de(E)sous la forme

X(t) =c₁(t)X₁(t) +...c_n(t)X_n(t)

soitX(t) =R(t)C(t), avecC(t) = (c₁(t), ..., c_n(t))^T.

6.2 Justication

Est-on sûr que toute solutionX peut se mettre sous cette forme ?

(15)

Réponse

Oui, carR(t)étant inversible, on peut poser C(t) =R⁻¹(t)X(t)

etC ainsi dénie est de classeC¹.

6.3 Calcul

On obtientRC⁰=B, d'oùX(t) =R(t).

C0+´t

t₀R⁻¹(s)B(s) ds

6.4 Cas des systèmes à coecients constants

(E) : X⁰(t) =A.X(t) +B(t) Dans ce cas,R(t) =e^tA; d'où

X(t) =e^tA.

C0+ ˆ t

t0

e^−sAB(s) ds

7 Équations diérentielles scalaires du second ordre

7.1 L'équation

(E) : y⁰⁰(t) +a(t)y⁰(t) +b(t)y(t) =f(t) a, b, f sont continues surI ; le système diérentiel équivalent :

X⁰(t) =M(t)X(t) +F(t) avecX(t) =

y(t) y⁰(t)

,M(t) =

0 1

−b(t) −a(t)

,F(t) = 0

f(t)

.

7.2 La méthode de variation des constantes

On suppose connues deux solutions indépendantes de l'équation homogène, y₁ ety₂ ; on chercheX sous la formeX=RC ; d'où RC⁰=F ; ici,

R(t) =

y₁(t) y₂(t) y⁰₁(t) y₂⁰(t)

d'où la méthode à retenir : On cherchey sous la forme

y=c1.y1+c2.y2

avec

c⁰₁.y1+c⁰₂.y2= 0 c⁰₁.y₁⁰ +c⁰₂.y₂⁰ =f Le déterminant de ce système,

w=y1.y⁰₂−y₁⁰.y2

est appelé wronskien ; il ne s'annule pas surI. Remarque

Ces formules ne s'appliquent que si le coecient dey⁰⁰vaut1; sinon, il faut s'y ramener.

(16)

7.3 Exemple 1

Résoudre

y⁰⁰(x)−y(x) = 1

chx, y(0) = 0, y⁰(0) = 0

Réponse

y(x) =x.shx−chx.ln (chx)

7.4 Exemple 2

Soitf continue et bornée deRdansR; soit (E) :y⁰⁰−y=f ; montrer que (E)possède une unique solution bornée.

Réponse

−e^x 2

ˆ +∞

x

e^−uf(u) du−e^−x 2

ˆ x

−∞

e^uf(u) du

7.5 Wronskien

7.5.1 Dénition

Ici, l'équation est homogène

(E) : y⁰⁰(t) +a(t)y⁰(t) +b(t)y(t) = 0

Soity₁et y₂ deux solutions ; on appelle wronskien : w=y₁.y⁰₂−y₁⁰.y₂

Dans le cas où(y1, y2)est libre, c'est le déterminant de la résolvante.

C'est le déterminant du système à résoudre quand on utilise la méthode de variation des constantes.

7.5.2 Calcul

w⁰=−a.w d'où

w(t) =w(t0).exp

− ˆ t

t0

a(s) ds

7.5.3 Les zéros de w

Si(y₁, y₂)est liée,west nul ; sinon,w ne s'annule pas.

7.5.4 Cas oùa est nul Dans le cas de l'équation

y⁰⁰(t) +q(t).y(t) = 0

le wronskien est constant.

7.5.5 Cas où on connaît une solution Si on connaît une solutiony1,

w=y1.y⁰₂−y₁⁰.y2

est une EDL d'ordre 1 d'inconnue y2 qu'on peut en théorie utiliser pour résoudre complètement l'équation.

(17)

7.6 Exercice 1

(E) : y⁰⁰(t) +a(t)y⁰(t) +b(t)y(t) = 0

Montrer que siya une innité de zéros sur un segment J⊂I, alorsy= 0. Démonstration

Supposons l'existence dansJ d'une suite(sn)de zéros dey distincts.

J étant compact, (sn) possède une suite extraite (tn) = s_ϕ(n) qui converge vers un élémentc deJ. y étant continue :

y(c) = 0 De plus :

∀n≥0, y(t_n)−y(c) tn−c = 0 D'où

y⁰(c) = 0 Avec le théorème de Cauchy linéaire : y= 0.

7.7 Exercice 2

(E) : y⁰⁰(t) +a(t)y⁰(t) +b(t)y(t) = 0. Montrer que si deux solutionsuet vont un zéro communt0,(u, v)est liée.

Réponse

On peut utiliser le wronskien, ou appliquer le théorème du rang à y→y(t0)

7.8 Exercice 3

(E) : y⁰⁰(t) +a(t)y⁰(t) +b(t)y(t) = 0. Désormais, K = R. On suppose (u, v)libre.

Montrer qu'entre deux zéros de uconsécutifs, v a exactement un zéro.

(Utiliserw).

7.9 Exercice 4

On supposeu⁰⁰+p.u= 0,v⁰⁰+q.v= 0, avecpetqcontinues surI, etp≤q; soita < bdeux zéros consécutifs deu; alors,va au moins un zéro sur]a, b]. Démonstration

une s'annule pas sur]a, b[ ; étant continue, elle est de signe constant, par exempleu >0sur]a, b[.

On montre alors que

u⁰(a)>0, u⁰(b)<0

Soitw=uv⁰−u⁰v ; on trouve que

w⁰= (p−q)uv Supposons par l'absurde quev >0 sur]a, b]; alors :

w⁰≤0 sur[a, b]

w(a)≤0 w(b)>0 Contradiction.

(18)

7.10 Exercice 5

On supposey⁰⁰+p.y= 0, avecpcontinue surR⁺, etlim

+∞p= 1.

Siy n'est pas nulle, montrer qu'elle a une suite de zéros (tn)vériant limn tn+1−tn =π

Démonstration, 1e partie Fixonsε >0; xonsc >0tel que :

∀t≥c, p(t)≤q=ω²= π

π−ε 2

Soita < bdeux zéros consécutifs de u=y dans J = [c,+∞[, s'ils existent.

On peut appliquer l'exercice précédent. On choisit v(t) = sinω(t−a)

On sait quevs'annule sur]a, b], d'où b−a≥ π

ω =π−ε Démonstration, 2e partie

Fixonsε >0; xonsc >0tel que :

∀t≥c, p(t)≥ω²= π

π+ε 2

=q

Soit a un zéro de u = y dans J = [c,+∞[. On peut appliquer l'exercice précédent. Ici, les rôles depet qsont inversés.

On choisit

v(t) = sinω(t−a) etble zéro suivant dev :

b−a= π

ω =π+ε On sait queus'annule sur]a, b]...

7.11 Exercice 6

(E) :y⁰⁰+p.y= 0. On supposepcontinue et intégrable surR⁺. Montrer que les solutions ne sont pas toutes bornées.

7.12 Exercice 7

(E) : y⁰⁰+p.y = 0. On suppose pcontinue, positive, et non intégrable sur R⁺.

Montrer que toute solution a une innité de zéros.

Indications

Supposons par l'absurde l'existence d'une solutiony n'ayant qu'un nombre ni de zéros.

Alors il existea >0 tel que surJ = [a,+∞[,y ne change pas de signe.

Par exemple :

∀x∈J = [a,+∞[, y(x)<0 Ory⁰⁰=−py, etp≥0, donc

∀x∈J = [a,+∞[, y⁰⁰(x)≥0

(19)

Autrement dity est convexe surJ.

On sait que dans ce cas la courbe est au dessus de toute tangente :

∀b∈J,∀t∈J, y(t)≥y(b) + (t−b)y⁰(b) Donc :

∀b∈J,∀t∈J, y(b) + (t−b)y⁰(b)≤y(t)≤0 Pourbxé, avect→+∞, on constate quey⁰(b)≤0:

y est donc décroissante surJ. Donc

∀t∈J, y(t)≤y(a)<0 Donc surJ :

y⁰⁰=−p.y≥ −y(a).p

Orpn'est pas intégrable, doncy⁰⁰ n'est pas intégrable, donc : lim+∞y⁰ = +∞

et on est enn arrivé à une contradiction.

7.13 Exercice 8

(E) :y⁰⁰+p.y= 0. On supposepcontinue et négative surI. Montrer que toute solution non nulle a au plus un zéro.

Par l'absurde Avec z=y²

7.14 Exercice 9

(E) :y⁰⁰+p.y= 0. On supposepcontinue et négative surI; soita < bdans I; soit α, βdeux réels.

Montrer qu'il existe une solution uniqueytelle quey(a) =αety(b) =β.

7.15 Exercice 10

(E) :y⁰⁰+ (1 +q).y= 0 On supposeqcontinue et intégrable surI=R⁺.

Soity ∈S\ {0}. On admet l'existence der >0 etθ, fonctionsC¹ surI, telles que

y=r.cosθ, y⁰ =−r.sinθ

7.15.1 Montrer que

r⁰=q.r.cosθ.sinθetθ⁰= 1 +q.cos²θ 7.15.2 En déduire que

ra une limite nier₀>0, etθ(t) =t−t₀+o(1).

1.1 Équation diérentielle linéaire

Équations diérentielles linéaires

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1 Généralités