Pour tout n ∈ N, considérons l'équation diérentielle linéaire d'ordre 1 sur I =]0, +∞[

MPSI A - B Année 2016-2017. DS commun 1 le 25/11/16 24 novembre 2017

Problème 1

Pour tout n ∈ N, considérons l'équation diérentielle linéaire d'ordre 1 sur I =]0, +∞[

suivante :

xy ⁰ + ny = 1

1 + x ² (E n ) Pour tout n ∈ N ^∗ , dénissons la fonction F n par :

∀x ≥ 0, F n (x) = Z x

0

t ⁿ⁻¹ 1 + t ² dt

1. Soit n ∈ N. Résoudre l'équation diérentielle linéaire homogène (H n ) associée à (E n ) : xy ⁰ + ny = 0 (H _n )

2. a. Déterminer des réels a, b, c tels que :

∀x > 0, 1

x(1 + x ² ) = a

x + bx + c 1 + x ² b. Résoudre (E 0 ) .

3. Pour n ∈ N ^∗ , exprimer l'ensemble des solutions de (E _n ) en fonction de F _n . 4. a. Montrer que

∀x ≥ 0, F n (x) = x ⁿ

n(1 + x ² ) + 2 n

Z x

0

t ⁿ⁺¹ (1 + t ² ) ² dt b. Montrer que

∀x ≥ 0, 0 ≤ Z x

0

t ⁿ⁺¹

(1 + t ² ) ² dt ≤ x ⁿ⁺²

c. En déduire qu'il existe une unique solution de (E n ) qui admet une limite nie en 0 (à préciser). Cette solution est notée z n . Exprimer z n en fonction de F n et de x ⁿ . Montrer que

∀x > 0, z _n (x) = Z 1

0

u ⁿ⁻¹ 1 + x ² u ² du

5. Soit z une solution de (E n ) et Z une primitive de z . Montrer qu'il existe un réel C tel que Z soit solution de l'équation diérentielle d'inconnue y

xy ⁰ + (n − 1)y = arctan(x) + C

Soit Z _n la primitive de z _n de limite nulle en 0 (justier son existence), montrer que Z n (1) = _n−1 ^{1 π} ₄ − z n (1) .

Problème 2

L'objet de ce problème est de calculer la limite de certaines suites formées à partir de sommes d'inverses d'entiers aectés de signes

¹

.

Soit i ∈ J 0, 3 K et n ∈ N ^∗ , on note : I i =

Z 1

0

t ⁱ

1 + t ² dt S i,n =

n−1

X

k=0

1

4k + i + 1 − 1 4k + i + 3

1. Calcul d'intégrales.

a. Calculer I ₀ , I ₁ , I ₂ , I ₃ . b. Calculer

K = Z 1

0

dt

1 − t + t ² , L = Z 1

0

1 + t + t ² 1 + t ³ dt Pour le calcul de L , il est utile de factoriser le dénominateur.

2. Soit i ∈ J 0, 3 K, t ∈ [0, 1] et n ∈ N ^∗ . En multipliant par t ² + 1 , trouver une autre expression pour

n−1

X

k=0

t ^4k+i − t ^4k+i+2

3. Soit i ∈ J 0, 3 K et n ∈ N ^∗ . Montrer que S i,n =

Z 1

0

t ⁱ − t ⁴ⁿ⁺ⁱ 1 + t ² dt

4. Montrer que la suite R 1

0 t

^m

1+t

²

dt

m∈

N

converge vers 0 . Que peut-on en déduire pour les suites (S i,n ) _n∈

N^∗

pour i ∈ J 0, 3 K ? 5. Pour n ∈ N ^∗ , on note

u _n =

2n

X

p=1

(−1) ^p+1

p , v _n =

n−1

X

k=0

1 (k + ¹ ₄ )(k + ³ ₄ )

a. Exprimer u _n à l'aide d'un S _i,n pour un certain i . En déduire la limite de (u _n ) _n∈

N^∗

. b. Exprimer v _n à l'aide d'un S _i,n pour un certain i . En déduire la limite de (v _n ) _n∈

N^∗

.

1

D'après BECEAS 2016 [m16i21e]

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Benoît SaleurS1604E

MPSI A - B Année 2016-2017. DS commun 1 le 25/11/16 24 novembre 2017

6. Pour n ∈ N ^∗ , on considère

∀t ∈ R , F _n (t) =

6n−1

X

k=0

(−1) ^b

^k3

^c t ^k , T _n =

6n−1

X

k=0

(−1) ^b

^k3

^c k + 1

a. Quel est l'ensemble des b ^k ₃ c pour k ∈ J 0, 6n J ? Quels sont les entiers p pour lesquels il existe des k ∈ J 0, 6n J vériant b ^k ₃ c = 2p ? Pour un tel p , préciser ces entiers k . b. Montrer que

∀t ∈ R , F n (t) = 1 + t + t ²

1 + t ³ (1 − t ⁶ⁿ ) c. Montrer la convergence et préciser la limite de (T n ) _n∈N

∗

.

Problème 3

Ce problème porte sur une fonction à valeurs complexes z dénie par

∀t ∈ [0, +∞[, t 7→ z(t) = Z t

0

e ^iθ(u) du

où θ est une fonction de classe C ¹ dans [0, +∞[ .

Partie I.

Dans cette partie : θ = arctan . On dénit aussi les fonctions x et y par :

∀t ≥ 0 : x(t) = Re(z(t)), y(t) = Im(z(t)) 1. Bijections réciproques en trigonométrie hyperbolique.

a. Montrer que la fonction

( R → R x 7→ ln(x + p

1 + x ² )

est la bijection réciproque de sh . On la note argsh . Préciser sa dérivée.

b. Montrer que la fonction

( [1, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ ln(x + p x ² − 1)

est la bijection réciproque de ch . On la note argch . Préciser sa dérivée.

2. Soit u > 0 , préciser un argument de 1 + iu . En déduire la forme algébrique de e ^iθ(u) . 3. Pour t > 0 , calculer x(t) et y(t) .

4. Pour t > 0 , exprimer t en fonction de x(t) puis y(t) en fonction de x(t) . Que peut-on en déduire pour la trajectoire de z (c'est à dire l'ensemble des points dont l'axe est un z(t) ) ? Dessiner cette trajectoire.

Partie II.

Dans cette partie, on suppose que θ est de classe C ² et que θ ⁰ est strictement croissante avec θ ⁰ (0) > 0 . On note λ = θ ⁰ (0) et on veut montrer que

∀t > 0, |z(t)| ≤ 4 λ

On pourra utiliser le résultat suivant : si f est une fonction à valeurs complexes continue dans un segment [a, b] ,

Z b

a

f (t) dt

≤ Z b

a

|f(t)| dt

1. Montrer que

z(t) = Z t

0

θ ⁰⁰ (u)

iθ ⁰ (u) ² e ^iθ(u) du + e ^iθ(t)

iθ ⁰ (t) − e ^iθ(0) iθ ⁰ (0) 2. Montrer que :

e ^iθ(t)

iθ ⁰ (t) − e ^iθ(0) iθ ⁰ (0)

≤ 2 λ 3. Montrer que :

Z t

0

θ ⁰⁰ (u)

iθ ⁰ (u) ² e ^iθ(u) du

≤ Z t

0

θ ⁰⁰ (u) θ ⁰ (u) ² du 4. En déduire l'inégalité annoncée au début.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai Benoît SaleurS1604E