mu- nie de la topologie induite. On note N = (0, . . . , 0, 1) et S = (0, . . . , 0, −1) les pˆ oles nord et sud respectivement.

(1)

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2016–2017

Feuille 2 : sph` eres, tores, projectifs

Exercice 1. Sph` eres par projections st´ er´ eographiques. Soit S

ⁿ

la sph` ere unit´ e de R

ⁿ⁺¹

mu- nie de la topologie induite. On note N = (0, . . . , 0, 1) et S = (0, . . . , 0, −1) les pˆ oles nord et sud respectivement.

1. V´ erifier que les projections st´ er´ eographiques φ

N

et φ

S

par rapport aux pˆ oles nord et sud sont des hom´ eomorphismes de S

ⁿ

\ {N } et S

ⁿ

\ {S} respectivement sur R

ⁿ

.

Rappel. φ

_N

(resp. φ

_S

) est d´ efini par : pour tout x ∈ S

ⁿ

\ {N } (resp. S

ⁿ

\ {S}), (φ

_N

(x), 0) (resp.

(φ

_N

(x), 0)) est l’unique point d’intersection de la droite (N x) (resp. (Sx)) avec l’hyperplan R

ⁿ

× {0}.

2. Montrer que l’on d´ efinit ainsi deux cartes compatibles de S

ⁿ

, qui munissent la sph` ere d’une structure de vari´ et´ e diff´ erentiable.

3. V´ erifier que l’injection canonique i : S

ⁿ

→ R

ⁿ⁺¹

est de classe C

^∞

. Montrer qu’une application f : X → S

ⁿ

, o` u X est une vari´ et´ e, est de classe C

^∞

ssi i ◦ f l’est. Utiliser ce crit` ere pour construire une injection C

^∞

de S

^p

dans S

^p+n

.

4. V´ erifier que la structure de vari´ et´ e diff´ erentiable d´ efinie dans cet exercice co¨ıncide avec celle dont S

ⁿ

h´ erite en tant que sous-vari´ et´ e de R

ⁿ⁺¹

.

Exercice 2. Quelques r´ esultats th´ eoriques.

1. Soient M , N , et P des vari´ et´ es diff´ erentiables. Montrer que si f : M → N et g : N → P sont diff´ erentiables, alors g ◦ f : M → P l’est aussi.

2. Soit f : R

ⁿ

→ R

^p

une application diff´ erentiable et M une sous-vari´ et´ e de R

ⁿ

, munie de la structure diff´ erentiable induite. Montrer que f

_|M

: M → R

^p

est diff´ erentiable.

3. Soit f : U ⊂ R

ⁿ

→ R

^p

une application diff´ erentiable et M une sous-vari´ et´ e de R

^p

telle que f (U ) ⊂ M . Montrer que l’application induite ¯ f : x ∈ U 7→ f (x) ∈ M est diff´ erentiable.

Exercice 3. Quadriques. Dans R

ⁿ

× R

^p

, identifi´ e ` a R

^n+p

, on consid` ere la quadrique d’´ equation kxk

²

− kyk

²

= 1, (x, y) ∈ R

ⁿ

× R

^p

.

1. Montrer que c’est une sous-vari´ et´ e diff´ eomorphe ` a la sous-vari´ et´ eS

ⁿ⁻¹

× R

^p

. 2. Repr´ esenter les diff´ erents cas pour n + p = 3.

“Rappels” sur la topologie quotient. Etant donn´ ´ e un ensemble X et une relation d’´ equivalence

∼ sur X, on note p : X → X/ ∼ la projection canonique qui ` a tout ´ el´ ement x de X associe sa classe d’´ equivalence pour ∼. Si X est un espace topologique, on d´ efinit sur X/ ∼ la topologie quotient par : U est un ouvert de X/ ∼ si et seulement si p

⁻¹

(U ) est un ouvert de X. Pour cette topologie, la projection p est alors trivialement continue, et on v´ erifie imm´ ediatement qu’une application de X/ ∼ dans un espace topologique Y est continue ssi f ◦ p : X → Y l’est.

Exercice 4. Tore de dimension 1. Soit T

¹

= R / Z le tore de dimension 1, muni de la topologie quotient, et p la projection canonique de R sur T

¹

.

1. Montrer que T

¹

est connexe, s´ epar´ e et compact.

2. D´ efinir ` a partir de la restriction de p ` a ]0, 1[ et ]1/2, 3/2[ deux cartes compatibles de T

¹

, qui munissent T

¹

d’une structure de vari´ et´ e.

3. V´ erifier que la projection p est lisse et qu’une application f : T

¹

→ R est lisse ssi f ◦ p l’est.

4. Montrer que l’application x ∈ R 7→ e

^2iπx

∈ S

¹

induit un diff´ eomorphisme entre le tore et le cercle

unit´ e S

¹

⊂ R

²

.

(2)

Exercice 5. Tore de dimension n.

1. Reprendre les questions de l’exercice pr´ ec´ edent pour le tore de dimension n, T

ⁿ

= R

ⁿ

/ Z

ⁿ

. 2. Montrer, ` a l’aide de l’application

h : R

²

→ R

³

(θ, φ) 7→ ((2 + cos θ) cos φ, (2 + cos θ) sin φ, sin θ).

que R

²

/ Z

²

est diff´ eomorphe au tore de r´ evolution T ⊂ R

³

obtenu en faisant tourner autour de l’axe (Oz) le cercle C

₀

⊂ {y = 0} de centre (2, 0, 0) et de rayon 1. On pourra pour cela montrer que h est une immersion d’image T , qui induit une immersion bijective ¯ h : R

²

/ Z

²

→ T , et que cette derni` ere est en fait un diff´ eomorphisme.

Exercice 6. Espace projectif r´ eel. On d´ efinit l’espace projectif r´ eel R P

ⁿ

comme l’ensemble des droites vectorielles de R

ⁿ⁺¹

, muni de la topologie quotient. On note p : R

ⁿ⁺¹

\{0} → R P

ⁿ

la projection naturelle.

1. Montrer que RP

ⁿ

est connexe, s´ epar´ e et compact.

2. Pour i = 0, . . . , n, on consid` ere l’ensemble V

i

⊂ RP

ⁿ

des droites qui ne sont pas contenues dans l’hyperplan {x

_i

= 0} et on d´ efinit ϕ

_i

l’application V

_i

→ R

ⁿ

qui associe ` a une droite son intersection avec l’hyperplan affine {x

ⁱ

= 1} ' R

ⁿ

. V´ erifier que l’on d´ efinit ainsi des cartes compatibles qui recouvrent le projectif.

3. Montrer que la projection p est de classe C

^∞

et qu’une fonction f : R P

ⁿ

→ X (X vari´ et´ e) est de classe C

^∞

ssi f ◦ p l’est.

4. Montrer que l’inclusion i : S

ⁿ

→ R

ⁿ⁺¹

\{0} induit un hom´ eomorphisme entre R P

ⁿ

et S

ⁿ

/(x ∼ −x) muni de la topologie quotient.

5. Montrer qu’il existe une unique structure de vari´ et´ e diff´ erentiable sur S

ⁿ

/(x ∼ −x) telle que la projection S

ⁿ

→ S

ⁿ

/(x ∼ −x) soit un C

^∞

-diff´ eomorphisme local en tout point. Montrer que l’hom´ eomorphisme de la question pr´ ec´ edente est alors un diff´ eomorphisme.

Exercice 7. Projectifs de petite dimension.

1. Montrer que RP

¹

est diff´ eomorphe au cercle.

2. (Plongement de V´ eron` ese) Montrer que R P

²

se plonge dans R

⁶

via l’application d´ efinie sur S

²

(x, y, z) 7→ (x

²

, y

²

, z

²

, xy, yz, xz).

3. Quant ` a RP

³

... On montrera dans une feuille ult´ erieure qu’il est diff´ eomorphe ` a SO(3).

Exercice 8. Droites projectives. On appelle droite projective, tout partie de R P

ⁿ

image par la projection canonique p d’un sous espace de R

ⁿ⁺¹

de dimension 2.

1. Montrer qu’une droite projective est une sous-vari´ et´ e de RP

ⁿ

diff´ eomorphe ` a RP

¹

.

2. Montrer que le compl´ ementaire d’une droite projective dans RP

²

s’identifie ` a un plan affine de dimension 2. Que peut-on dire de l’intersection d’une autre droite projective avec ce plan?

3. Montrer que deux droites projectives du plan projectif R P

²

se coupent en exactement un point ou sont confondues.

Exercice 9. Espace projectif complexe. On d´ efinit l’espace projectif complexe C P

ⁿ

comme l’ensemble des droites vectorielles (complexes) de C

ⁿ⁺¹

, muni de la topologie quotient (C

ⁿ⁺¹

´ etant identifi´ e ` a ( R

²

)

ⁿ⁺¹

= R

²ⁿ⁺²

. On note p : C

ⁿ⁺¹

\ {0} → C P

ⁿ

la projection naturelle.

1. Donner une structure de vari´ et´ e diff´ erentielle ` a CP

ⁿ

.

2. Montrer que C P

¹

est diff´ eomorphe ` a la sph` ere S

²