MPSI B DS 01 29 juin 2019
Équations dierentielles
Exercice 1
Dans cet exercice, la présentation de l'organisation des calculs intermédiaires est un élément important du barême.
1. Préciser l'ensemble des solutions de l'équation diérentielle 3y 00 (t) + 4y 0 (t) + y(t) = e −t sin t Trouver la solution particulière z vériant z(0) = 1 , z 0 (0) = 0 . 2. Former l'ensemble des solutions de
y 00 (t) + 2y 0 (t) + y(t) = te t cos t
Exercice 2
Dans tout l'exercice, les solutions cherchées sont des fonctions à valeurs réelles. Cela n'interdit pas la considération de fonctions à valeurs complexes comme intermédiaire de calcul.
On étudie l'équation fonctionnelle
y 00 (x) + y(−x) = x + cos x (1)
1. Soit y 1 et y 2 deux solutions de l'équation
y 00 (x) + y(−x) = 0
et λ un réel quelconque ; y 1 + y 2 et λy 1 sont ils encore solutions de la même équation ? 2. Résoudre les équations suivantes en précisant pour chacune l'ensemble des solutions
paires et impaires.
y 00 (x) + y(x) = cos x (2)
y 00 (x) − y(x) = x (3)
3. question de cours
Soit f une fonction dénie dans R, montrer qu'il existe un unique couple de fonctions (u, v) telles que u soit paire, v soit impaire et f = u + v . On prendra soin de rédiger séparément les argumentations assurant l'existence et l'unicité. On dit que u est la partie paire et v la partie impaire de f .
4. Soit f une solution de (1), u sa partie paire et v sa partie impaire. Former une équation diérentielle dont u est solution, former une équation diérentielle dont v est solution.
5. Préciser l'ensemble des solutions de (1).
Équations trigonométriques
1. Résoudre
cos x + cos 2x + cos 3x = 0 2. Résoudre
3 tan x = 2 cos x (on pourra former une relation vériée par sin x )
Géométrie
Exercice 1
On désigne par x, y les fonctions coordonnées relatives à un repère orthonormé (O, − → i , − →
j ) d'un plan P.
Soit Γ 1 l'ensemble des points M du plan tels que x(M )y(M ) = k k désignant un réel strictement positif xé.
1. Écrire l'équation de la hauteur issue de A d'un triangle (A, B, C ) .
Le résultat sera exprimé à l'aide d'un déterminant faisant intervenir les coordonnées des points A, B, C .
2. On considère trois points A, B, C de Γ deux à deux distincts dont les abscisses sont notées a, b, c respectivement.
Déterminer les coordonnées (λ, µ) de l'orthocentre H du triangle (A, B, C) . Vérier que H appartient à Γ .
Exercice 2
Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé (O, − → i , − →
j ) . On utilise la représen- tation complexe usuelle des points de ce plan. Pour chaque réel t , on note 2 D(t) l'ensemble des points d'axes
e it + λe i(t−
π2)
1
d'après E4A 2001 Maths 2
2
d'après E3A 2001 Maths 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai S0402EMPSI B DS 01 29 juin 2019
où λ décrit l'ensemble des réels strictement positifs. On remarquera l'égalité D(t + 2π) = D(t) .
1. Déterminer la nature des ensembles D(t) et représenter graphiquement ces D(t) pour t ∈ {− 5π
6 , − π 2 , − π
4 , π 6 , π
3 , 2π 3 , 5π
6 }
2. Soit r un réel supérieur ou égal à 1 et θ un réel. Déterminer les couples (λ, t) vériant les relations
1 − λi = re i(θ−t) λ ≥ 0 (on pourra chercher à déterminer λ et θ − t ).
3. Soit M un point d'axe re iθ avec r ≥ 1 . Déduire la question précédente que M appartient à un seul D(t) . Préciser la valeur de t en fonction de r et de θ .
4. Faire une gure dans le cas
re iθ = 2i 5. Montrer que le vecteur d'axe
1 + i p
r 2 − 1e iθ
est orthogonal à l'ensemble D(t) trouvé à la question précédente.
6. On considère une fonction θ dénie dans un intervalle I contenu dans [1, +∞[ . Cette fonction dénit une courbe paramétrée
r → M (r) où M (r) est le point d'axe re iθ
a. Calculer la dérivée de r → re iθ . Le vecteur dont l'axe est la valeur en r de cette dérivée est noté − →
m 0 (r) .
b. Montrer que pour tout r dans I , M (r) appartient à une seule droite D(t) et que si cette droite est orthogonale à − →
m 0 (r) alors rθ 0 (r) = p
r 2 − 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
