M33 Compl´ ements d’int´ egration, S3 2011-2012 Devoir Surveill´ e, 14 janvier 2012
Dur´ ee 2 heures
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Le barˆ eme est donn´ e ` a titre indicatif Exercice 1. [5 pts] Soit
ϕ(x) =
Z 2π 0
cos(x sin t) cos t dt.
(i) [2 pts] Donner une expression en forme d’int´ egrale de ϕ 0 (x) et de ϕ 00 (x).
Justifier vos calculs et citer explicitement le th´ eor` eme principal utilis´ e.
(ii) [3 pts] Donner une expression en forme d’int´ egrale de ϕ (2n) (x) et de ϕ (2n+1) (x), pour tout n ∈ N, en justifiant ` a nouveau vos calculs. Calculer explicitement ϕ (k) (0), pour tout k ∈ N.
Exercice 2. [5 pts]
(i) [3 pts] D´ eterminer si l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee suivante est convergente:
Z +∞
0
sin x x dx.
(ii) [2 pts] D´ eterminer les valeurs de x ∈ R pour lesquelles l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee suivante est convergente:
Z +∞
−∞
√ 1 1 + t 2
1
1 + (tx) 2 dt.
Attention: Il n’est pas demand´ e de calculer ces int´ egrales, mais de justifier en d´ etail ses conclusions, en ´ enon¸cant notamment les th´ eor` emes utilis´ es.
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Exercice 3. [5 pts] On consid` ere l’int´ egrale double suivante:
I =
Z Z
D
( q x 2 + y 2 − 1) dxdy, o` u D est la r´ egion du plan d´ etermin´ ee par x 2 + y 2 < x.
(i) [1 pt] Montrer que, en coordonn´ ees polaires, le domaine D est d´ efini par les in´ egalit´ es
0 < ρ < cos ϕ, ϕ ∈] − π 2 , π
2 [.
(ii) [2 pts] Dessiner le domaine D. Indication: On peut utiliser indiff´ eremment, et selon sa propre pr´ ef´ erence, la caract´ erisation de D en termes de coor- donn´ ees cart´ esiennes ou polaires.
(iii) [2 pts] Calculer I .
Exercice 4. [3 pts] On consid` ere l’int´ egrale double suivante:
Z 1 1/4
Z
1y
