Une bien ´etrange caract´erisation de l’ad´equation compl`ete dans les domaines de Scott

Une bien ´ etrange caract´ erisation de l’ad´ equation compl` ete dans les domaines de Scott

Flavien BREUVART

PPS, Paris Denis Diderot

15 F´evrier 2013

Adéquation complète

D´efinition (Ad´equation compl`ete) :

Il y a ad´equation compl`ete lorsqu’il y a identit´e entre la congruence d´enotationnelle (induite par le mod`ele sur le langage) et la

congruence contextuelle (induite par la clˆoture contextuelle de l’observation) :

[[M]] = [[N]] ⇔M ≡₀ N

Dans le cas particulier duλ-calculus non-typ´e (avec la r´eduction `a une forme normal de tˆete comme observation) :

´Equivalence contextuelle : On dit queM ≡_o N lorsque :

∀C(|.|),C(|M|)⇓ ⇔C(|N|)⇓

Adéquation complète

D´efinition (Ad´equation compl`ete) :

Il y a ad´equation compl`ete lorsqu’il y a identit´e entre la congruence d´enotationnelle (induite par le mod`ele sur le langage) et la

congruence contextuelle (induite par la clˆoture contextuelle de l’observation) :

[[M]] = [[N]] ⇔M ≡₀ N

Dans le cas particulier duλ-calculus non-typ´e (avec la r´eduction `a une forme normal de tˆete comme observation) :

´Equivalence contextuelle : On dit queM ≡_o N lorsque :

∀C(|.|),C(|M|)⇓ ⇔C(|N|)⇓

Divers résultats d’adéquation complète

[Abramskyet.al.2000]

[Abramsky et McCusker 2007]

[Abramskyet. al.1998]

[Hyland et Ong 2000]

[Wadsworth 1976]

[Hyland 1976]

[Plotkin 1977]

[Laird 1997]

[Laird 2003] [Paolini 2003]

[Cartwrightet.al.1994]

[Milner 1977]

[Harmer et McCusker 1997]

[Bucciarelliet.al.2011]

Caractérisation de Milner pour PCF

Th´eor`eme [Milner 1977] :

Il y a un unique domaine continu extentionnel et pleinement ad´equat pour PCF.

Cette caract´erisation est d´eg´en´er´ee puisqu’elle d´emontre un r´esultat d’unicit´e.

Proposition :

Tout mod`ele bien point´e et d´efinissable est pleinement ad´equat pour PCF.

Autres travaux sur la d´efinissabilit´e : [Curien 2007]

Caractérisation de Milner pour PCF

Th´eor`eme [Milner 1977] :

Il y a un unique domaine continu extentionnel et pleinement ad´equat pour PCF.

Cette caract´erisation est d´eg´en´er´ee puisqu’elle d´emontre un r´esultat d’unicit´e.

Proposition :

Tout mod`ele bien point´e et d´efinissable est pleinement ad´equat pour PCF.

Autres travaux sur la d´efinissabilit´e : [Curien 2007]

Caractérisation de Milner pour PCF

Th´eor`eme [Milner 1977] :

Il y a un unique domaine continu extentionnel et pleinement ad´equat pour PCF.

Cette caract´erisation est d´eg´en´er´ee puisqu’elle d´emontre un r´esultat d’unicit´e.

Proposition :

Tout mod`ele bien point´e et d´efinissable est pleinement ad´equat pour PCF.

Autres travaux sur la d´efinissabilit´e : [Curien 2007]

Caractérisation de Milner pour PCF

Th´eor`eme [Milner 1977] :

Il y a un unique domaine continu extentionnel et pleinement ad´equat pour PCF.

Cette caract´erisation est d´eg´en´er´ee puisqu’elle d´emontre un r´esultat d’unicit´e.

Proposition :

Tout mod`ele bien point´e et d´efinissable est pleinement ad´equat pour PCF.

Autres travaux sur la d´efinissabilit´e : [Curien 2007]

Et le λ -calcul pure ?

D´efinition (mod`ele duλ-calcul) :

Un mod`ele duλ-calcul est un objet d’une cat´egorie cart´esienne close respectant :

D⇒D D

abs

D⇒D app

Et tel queapp◦abs=id_M

Proposition :

Tout mod`ele pleinement ad´equat du λ-calcul pure est extensionel (c.`a.d respecte l’eta ´equivalence) :

abs◦app=id_M

Et le λ -calcul pure ?

Th´eor`eme (Manzonetto) :

Tout mod`ele bien stratifi´e est pleinement ad´equat.

intuition de la bonne stratification : p^k+1(a)•b =p^k(a•p^k(b))

p⁰(a)•b =p⁰(a•⊥) id =_

k

p^k

Condition non n´ec´essaire.

Th´eor`eme (Caract´erisation) :

Un K-mod`ele est pleinement ad´equat si et seulement si il est sensible et hyperimmune.

Et le λ -calcul pure ?

Th´eor`eme (Manzonetto) :

Tout mod`ele bien stratifi´e est pleinement ad´equat.

intuition de la bonne stratification : p^k+1(a)•b =p^k(a•p^k(b))

p⁰(a)•b =p⁰(a•⊥) id =_

k

p^k

Condition non n´ec´essaire.

Th´eor`eme (Caract´erisation) :

Un K-mod`ele est pleinement ad´equat si et seulement si il est sensible et hyperimmune.

Et le λ -calcul pure ?

Th´eor`eme (Manzonetto) :

Tout mod`ele bien stratifi´e est pleinement ad´equat.

intuition de la bonne stratification : p^k+1(a)•b =p^k(a•p^k(b))

p⁰(a)•b =p⁰(a•⊥) id =_

k

p^k Condition non n´ec´essaire.

Th´eor`eme (Caract´erisation) :

Un K-mod`ele est pleinement ad´equat si et seulement si il est sensible et hyperimmune.

Et le λ -calcul pure ?

Th´eor`eme (Manzonetto) :

Tout mod`ele bien stratifi´e est pleinement ad´equat.

intuition de la bonne stratification : p^k+1(a)•b =p^k(a•p^k(b))

p⁰(a)•b =p⁰(a•⊥) id =_

k

p^k

Condition non n´ec´essaire.

Th´eor`eme (Caract´erisation) :

Un K-mod`ele est pleinement ad´equat si et seulement si il est sensible et hyperimmune.

Définition de K-modèles

Cat´egorie :

On se place dans la cat´egorie des treillis complets premiers alg´ebriques et des fonctions continues.

D´efinition (K-trame) :

Une K-trame extentionnelle est un pr´eordre (D,≤) munie d’une bijectioni :P_f(D)×D →D telle que :

• P_f(D) est muni de l’ordre v,d´efini par : avb⇔ ∀α∈a,∃β ∈b, α≤β

• i(a, α)≤i(b, β) ⇔ awb ∧ α≤β

D´efinition (K-mod`ele) :

Un K-mod`ele extentionnel est l’ensemble des segments initiaux d’une K-trame.

Définition de K-modèles

Cat´egorie :

On se place dans la cat´egorie des treillis complets premiers alg´ebriques et des fonctions continues.

D´efinition (K-trame) :

Une K-trame extentionnelle est un pr´eordre (D,≤) munie d’une bijectioni :P_f(D)×D →D telle que :

• P_f(D) est muni de l’ordre v,d´efini par : avb⇔ ∀α∈a,∃β ∈b, α≤β

• i(a, α)≤i(b, β) ⇔ awb ∧ α≤β

D´efinition (K-mod`ele) :

Un K-mod`ele extentionnel est l’ensemble des segments initiaux d’une K-trame.

Définition de K-modèles

Cat´egorie :

On se place dans la cat´egorie des treillis complets premiers alg´ebriques et des fonctions continues.

D´efinition (K-trame) :

Une K-trame extentionnelle est un pr´eordre (D,≤) munie d’une bijectioni :P_f(D)×D →D telle que :

• P_f(D) est muni de l’ordre v,d´efini par : avb⇔ ∀α∈a,∃β ∈b, α≤β

• i(a, α)≤i(b, β) ⇔ awb ∧ α≤β

D´efinition (K-mod`ele) :

Un K-mod`ele extentionnel est l’ensemble des segments initiaux d’une K-trame.

Définition de K-modèles

Cat´egorie :

On se place dans la cat´egorie des treillis complets premiers alg´ebriques et des fonctions continues.

D´efinition (K-trame) :

Une K-trame extentionnelle est un pr´eordre (D,≤) munie d’une bijectioni :A_f(D)×D →D telle que :

• A_f(D) est muni de l’ordre v,d´efini par : avb⇔ ∀α∈a,∃β ∈b, α≤β

• i(a, α)≤i(b, β) ⇔ awb ∧ α≤β

D´efinition (K-mod`ele) :

Un K-mod`ele extentionnel est l’ensemble des segments initiaux d’une K-trame.

Définition de K-modèles

Cat´egorie :

On se place dans la cat´egorie des treillis complets premiers alg´ebriques et des fonctions continues.

D´efinition (K-trame) :

Une K-trame extentionnelle est un pr´eordre (D,≤) munie d’une bijection →:A_f(D)×D →D telle que :

• A_f(D) est muni de l’ordre v,d´efini par : avb⇔ ∀α∈a,∃β ∈b, α≤β

• (a→α)≤(b→β) ⇔ awb ∧ α≤β

D´efinition (K-mod`ele) :

Un K-mod`ele extentionnel est l’ensemble des segments initiaux d’une K-trame.

Exemples ( D

)

Scott’sD∞ :

D0={∗}

Dn+1=Dn∪(A_f(Dn)×D_n)− {(∅,∗)}

D∞=[

n

Dn

(a, α) = (a→α) sia6=∅ or α6=∗

∗ = (∅ → ∗)

Proposition :

D∞ est pleinement ad´equat pour le λ-calcul.

Exemples ( D

)

Scott’sD∞ :

D0={∗}

Dn+1=Dn∪(A_f(Dn)×D_n)− {(∅,∗)}

D∞=[

n

Dn

(a, α) = (a→α) sia6=∅ or α6=∗

∗ = (∅ → ∗)

Proposition :

D∞ est pleinement ad´equat pour le λ-calcul.

Exemples ( D

)

Scott’sD∞ :

D0={∗}

Dn+1=Dn∪(A_f(Dn)×D_n)−{(∅,∗)}

D∞=[

n

Dn

(a, α) = (a→α) sia6=∅ or α6=∗

∗= (∅ → ∗)

Proposition :

D∞ est pleinement ad´equat pour le λ-calcul.

Exemples ( D

)

Scott’sD∞ :

D0={∗}

Dn+1=Dn∪(A_f(Dn)×D_n)− {(∅,∗)}

D∞=[

n

Dn

(a, α) = (a→α) sia6=∅ or α6=∗

∗= (∅ → ∗)

Proposition :

D∞ est pleinement ad´equat pour le λ-calcul.

Exemples ( D

)

Scott’sD∞ :

D0={∗}

Dn+1=Dn∪(A_f(Dn)×D_n)− {(∅,∗)}

D∞=[

n

Dn

(a, α) = (a→α) sia6=∅ or α6=∗

∗= (∅ → ∗)

Proposition :

D∞ est pleinement ad´equat pour leλ-calcul.

Exemples (bien stratifiés)

K-mod`eles bien stratifi´es :

SoitAun ensemble non vide et σ une permutation de A: U₀^A,σ=A

U_n+1^A,σ =D_n∪(A_f(U_n^A,σ)×U_n^A,σ)− {(∅, µ)|µ∈A}

U_∞^A,σ=[

n

U_n^A,σ

(a, α) = (a→α) sia6=∅ or α6∈A∗

σ(µ)= (∅ →µ) pourµ∈A

Proposition :

LesU∞^A,σ sont pleinement ad´equat pour leλ-calcul.

Exemples (bien stratifiés)

K-mod`eles bien stratifi´es :

SoitAun ensemble non vide et σ une permutation de A: U₀^A,σ=A

U_n+1^A,σ =D_n∪(A_f(U_n^A,σ)×U_n^A,σ)− {(∅, µ)|µ∈A}

U_∞^A,σ=[

n

U_n^A,σ

(a, α) = (a→α) sia6=∅ or α6∈A∗

σ(µ)= (∅ →µ) pourµ∈A

Proposition :

LesU∞^A,σ sont pleinement ad´equat pour leλ-calcul.

Exemples ( P

)

Park’sP∞ :

P₀={∗}

Pn+1=Pn∪(A_f(Pn)×P_n)− {{∗},∗}

P∞=[

n

P_n

(a, α) = (a→α) si a6={∗}orα6=∗

∗= ({∗} → ∗)

Proposition :

P∞ n’est pas pleinement ad´equat pour leλ-calcul.

Exemples ( P

)

Park’sP∞ :

P₀={∗}

Pn+1=Pn∪(A_f(Pn)×P_n)− {{∗},∗}

P∞=[

n

P_n

(a, α) = (a→α) si a6={∗}orα6=∗

∗= ({∗} → ∗)

Proposition :

P∞ n’est pas pleinement ad´equat pour leλ-calcul.

Contre-exemple ( P

)

Ω= (λx.x)(λx.x) Ω⁰ =λy.Ω

x :∗ `x :∗ x:∗ `x:∗ x:∗ `xx :∗

`(λx.xx) :∗

x :∗ `x:∗ x :∗ `x :∗ x :∗ `xx :∗

`(λx.xx) :∗

`Ω :∗

Contre-exemple ( P

)

Ω= (λx.x)(λx.x) Ω⁰ =λy.Ω

x :∗ `x :∗ x:∗ `x :∗ x:∗ `xx :∗

`(λx.xx) :∗

x:∗ `x:∗ x :∗ `x :∗ x :∗ `xx :∗

`(λx.xx) :∗

`Ω :∗

Exemple ( E

)

E_⊥^> :

E₀ ={⊥,>}

En+1=Dn∪(A_f(En)×E_n)− {(∅,>),({>},⊥)}

E_⊥^>=[

n

E_n

(a, α) = (a→α) si (a, α)∈E_⊥^>

>=(∅ → >)

⊥= ({>} → ⊥)

Proposition :

E_⊥^> est pleinement ad´equat pour le λ-calcul.

Exemple ( E

)

E_⊥^> :

E₀ ={⊥,>}

En+1=Dn∪(A_f(En)×E_n)− {(∅,>),({>},⊥)}

E_⊥^>=[

n

E_n

(a, α) = (a→α) si (a, α)∈E_⊥^>

>=(∅ → >)

⊥= ({>} → ⊥)

Proposition :

E_⊥^> est pleinement ad´equat pour le λ-calcul.

Exemple (Norm)

Norm :

N₀={p,q}

N_n+1=N_n∪(A_f(N_n)×N_n− {({p},q),({q},p)}

N∞=[

n

N_n

(a, α) = (a→α) si (a, α)∈N∞

q = ({p} →q) p = ({q} →p)

Proposition :

N∞ n’est pas pleinement ad´equat pour leλ-calcul.

Exemple (Norm)

Norm :

N₀={p,q}

N_n+1=N_n∪(A_f(N_n)×N_n− {({p},q),({q},p)}

N∞=[

n

N_n

(a, α) = (a→α) si (a, α)∈N∞

q = ({p} →q) p = ({q} →p)

Proposition :

N∞ n’est pas pleinement ad´equat pour leλ-calcul.

Contre-exemple (Norm)

A=Y(λuex.e (u x))

A: {p} →p A p: p (λex.e (Ax))p: p

(λx.p(Ax)) : p (λx.p (A x)) : {q} →p

(λx.p (A x))q: p p (A q) : p

A q: q

Contre-exemple (Norm)

A=Y(λuex.e (u x))

A: {p} →p

A p: p (λex.e (Ax))p: p

(λx.p(Ax)) : p (λx.p (A x)) : {q} →p

(λx.p (A x))q: p p (A q) : p

A q: q

Contre-exemple (Norm)

A=Y(λuex.e (u x))

A: {p} →p A p: p

(λex.e (Ax))p: p (λx.p(Ax)) : p (λx.p (A x)) : {q} →p

(λx.p (A x))q: p p (A q) : p

A q: q

Contre-exemple (Norm)

A=Y(λuex.e (u x))

A: {p} →p A p: p (λex.e (Ax))p: p

(λx.p(Ax)) : p (λx.p (A x)) : {q} →p

(λx.p (A x))q: p p (A q) : p

A q: q

Contre-exemple (Norm)

A=Y(λuex.e (u x))

A: {p} →p A p: p (λex.e (Ax))p: p

(λx.p(Ax)) : p

(λx.p (A x)) : {q} →p (λx.p (A x))q: p

p (A q) : p A q: q

Contre-exemple (Norm)

A=Y(λuex.e (u x))

A: {p} →p A p: p (λex.e (Ax))p: p

(λx.p(Ax)) : p (λx.p (A x)) : {q} →p

(λx.p (A x))q: p p (A q) : p

A q: q

Contre-exemple (Norm)

A=Y(λuex.e (u x))

A: {p} →p A p: p (λex.e (Ax))p: p

(λx.p(Ax)) : p (λx.p (A x)) : {q} →p

(λx.p (A x))q: p

p (A q) : p A q: q

Contre-exemple (Norm)

A=Y(λuex.e (u x))

A: {p} →p A p: p (λex.e (Ax))p: p

(λx.p(Ax)) : p (λx.p (A x)) : {q} →p

(λx.p (A x))q: p p (A q) : p

A q: q

Contre-exemple (Norm)

A=Y(λuex.e (u x))

A: {p} →p A p: p (λex.e (Ax))p: p

(λx.p(Ax)) : p (λx.p (A x)) : {q} →p

(λx.p (A x))q: p p (A q) : p

A q: q

Exemple ( H

)

H_∞^f :

Soitf :N→N:

H₀^f ={∗} ∪ {αⁿ_j|n≥0, 1≤j ≤f(n)}

H_n+1^f =H_n^f ∪(A_f(H_n^f)×H_n^f)− {(∅, αⁿ_j)|j 6=f(n)}∪{({αⁿ⁺¹₁ },∗)}

H_∞^f =[

n

H_n

(a, α) = (a→α) si (a, α)∈H_∞^f αⁿ_j = (∅ →αⁿ_j+1) 1≤j <f(n) αⁿ_f(n) = ({αⁿ⁺¹₁ } → ∗)

Proposition :

l’ad´equation compl`ete pour leλ-calcul de U_∞^f d´epend des propri´et´es de calculabilit´e de f.

Exemple ( H

)

H_∞^f :

Soitf :N→N:

H₀^f ={∗} ∪ {αⁿ_j|n≥0, 1≤j ≤f(n)}

H_n+1^f =H_n^f ∪(A_f(H_n^f)×H_n^f)− {(∅, αⁿ_j)|j 6=f(n)}∪{({αⁿ⁺¹₁ },∗)}

H_∞^f =[

n

H_n

(a, α) = (a→α) si (a, α)∈H_∞^f

αⁿ₁ = (¯∅^f(n)−1 → {αⁿ⁺¹₁ } → ∗)

Proposition :

l’ad´equation compl`ete pour leλ-calcul de U_∞^f d´epend des propri´et´es de calculabilit´e de f.

Exemple ( H

)

H_∞^f :

Soitf :N→N:

H₀^f ={∗} ∪ {αⁿ_j|n≥0, 1≤j ≤f(n)}

H_n+1^f =H_n^f ∪(A_f(H_n^f)×H_n^f)− {(∅, αⁿ_j)|j 6=f(n)}∪{({αⁿ⁺¹₁ },∗)}

H_∞^f =[

n

H_n

(a, α) = (a→α) si (a, α)∈H_∞^f

αⁿ₁ = (¯∅^f(n)−1 → {αⁿ⁺¹₁ } → ∗)

Proposition :

l’ad´equation compl`ete pour leλ-calcul de U_∞^f d´epend des propri´et´es de calculabilit´e de f.

Hyperimmune

Mod`ele hyperimmune

Un K-mod`ele est hyperimmune lorsque pour toute fonction f :N→N, si :

• il existe (α_i)_i≥0 tel queαn=a1→ · · · →a_f(n)→α⁰_n

• αn+1 ∈afn

alorsf est hyperimmune, c’est `a dire qu’elle n’est born´ee par aucune fonction calculable.

Th´eor`eme (Caract´erisation) :

Un K-mod`ele est pleinement ad´equat si et seulement si il est sensible et hyperimmune.

Hyperimmune

Mod`ele hyperimmune

Un K-mod`ele est hyperimmune lorsque pour toute fonction f :N→N, si :

• il existe (α_i)_i≥0 tel queαn=a1→ · · · →a_f(n)→α⁰_n

• αn+1 ∈afn

alorsf est hyperimmune, c’est `a dire qu’elle n’est born´ee par aucune fonction calculable.

Th´eor`eme (Caract´erisation) :

Un K-mod`ele est pleinement ad´equat si et seulement si il est sensible et hyperimmune.

Hyperimmunité et complétion

Proposition :

La completion pr´eserve l’hyperimmunit´e, c.`a.d qu’un compl´et´e est hyperimmune si et seulement si le K-mod`ele partiel l’est.

Corollaire :

La completion d’un K-mod`ele partiel finit est hyperimmune ssi il existe un pr´eordre sur la K-trame partielle telle que :

• (a→α)α

• (a→α)β lorsque β∈a

Exemples (bien stratifiés)

K-mod`eles bien stratifi´es :

SoitAun ensemble non vide et σ une permutation de A: U₀^A,σ=A

U_n+1^A,σ =D_n∪(A_f(U_n^A,σ)×U_n^A,σ)− {(∅, µ)|µ∈A}

U_∞^A,σ=[

n

U_n^A,σ

(a, α) = (a→α) sia6=∅ or α6∈A∗

σ(µ)= (∅ →µ) pourµ∈A

U∞^A,σ (et donc D∞) est hyperimmune avec µµ⁰ pour tout µ, µ⁰ ∈A

Exemples ( P

)

Park’sP∞ :

P0={∗}

Pn+1=Pn∪(A_f(Pn)×P_n)− {{∗},∗}

P∞=[

n

Pn

(a, α) = (a→α) si a6={∗}orα6=∗

∗= ({∗} → ∗)

P∞ n’est pas hyperimmune avecf(n) = 1 et α_n=∗ pour tout n

Exemple ( E

)

E_⊥^> :

E₀ ={⊥,>}

En+1=Dn∪(A_f(En)×E_n)− {(∅,>),({>},⊥)}

E_⊥^>=[

n

E_n

(a, α) = (a→α) si (a, α)∈E_⊥^>

>=(∅ → >)

⊥= ({>} → ⊥)

E_⊥^> est hyperimmune avec > ≺ ⊥

Exemple (Norm)

Norm :

N0={p,q}

N_n+1=N_n∪(A_f(N_n)×N_n− {({p},q),({q},p)}

N∞=[

n

Nn

(a, α) = (a→α) si (a, α)∈N∞

q = ({p} →q) p = ({q} →p)

N∞ n’est pas hyperimmune avec f(n) = 1, α_2n=p et α2n+1 =q pour tout n

Exemple ( H

)

H_∞^f :

Soitf :N→N:

H₀^f ={∗} ∪ {αⁿ_j|n≥0, 1≤j ≤f(n)}

H_n+1^f =H_n^f ∪(A_f(H_n^f)×H_n^f)− {(∅, αⁿ_j)|j 6=f(n)}∪{({αⁿ⁺¹₁ },∗)}

H_∞^f =[

n

H_n

(a, α) = (a→α) si (a, α)∈H_∞^f

αⁿ₁ = (¯∅^f(n)−1 → {αⁿ⁺¹₁ } → ∗)

Proposition :

H_∞^f est hyperimmune si et seulement sif est hyperimmune.

Exemple ( H

)

H_∞^f :

Soitf :N→N:

H₀^f ={∗} ∪ {αⁿ_j|n≥0, 1≤j ≤f(n)}

H_n+1^f =H_n^f ∪(A_f(H_n^f)×H_n^f)− {(∅, αⁿ_j)|j 6=f(n)}∪{({αⁿ⁺¹₁ },∗)}

H_∞^f =[

n

H_n

(a, α) = (a→α) si (a, α)∈H_∞^f

αⁿ₁ = (¯∅^f(n)−1 → {αⁿ⁺¹₁ } → ∗)

Proposition :

H_∞^f est hyperimmune si et seulement sif est hyperimmune.

Que se passe-t-il ?

1=a¹₁ → · · ·a¹_f(1)−1 →a¹_f(1)→ · · ·

∈

α₂=a¹₂→ · · · →a²_f(2)→ · · ·

∈

α3=a¹₃→ · · · →a³_f(3)→ · · · . ..

Contre-exemple pour f non hyperimmune

A=Y (λuex₁....x_k.e (u x₁)· · ·(u x_k))

G n=λvex1...x_f(n).e (v x1)· · ·(v x_f(n))

A_n→^∗G n A_n+1

Contre-exemple pour f non hyperimmune

A=Y (λuex₁....x_k.e (u x₁)· · ·(u x_k))

G n=λvex1...x_f(n).e (v x1)· · ·(v x_f(n))

A_n→^∗G n A_n+1

Contre-exemple pour f non hyperimmune

A≡_η Y (λu.(λvex₁....x_k.e (v x₁)· · ·(v x_k))u)

G n=λvex1...x_f(n).e (v x1)· · ·(v x_f(n))

A_n→^∗G n A_n+1

Contre-exemple pour f non hyperimmune

A_n=Y (λuk.Gk (u (Sk))) n

G n=λvex1...x_f(n).e (v x1)· · ·(v x_f(n))

A_n→^∗G n A_n+1

Contre-exemple pour f non hyperimmune

A_n=Y (λuk.Gk (u (Sk))) n

G n=λvex1...x_f(n).e (v x1)· · ·(v x_f(n))

A_n→^∗G n A_n+1

Pourquoi ?

• D´eg´en´eration des domaines de Scott ?

[Ehrhard 2012]

• Une d´eg´en´eration de notre notion de mod`eles ?

• Une cons´equence de l’expressivit´e de la classe de mod`eles ? Il y aurait 2^ω th´eories entre H et H^∗...

Pourquoi ?

• D´eg´en´eration des domaines de Scott ? [Ehrhard 2012]

• Une d´eg´en´eration de notre notion de mod`eles ?

• Une cons´equence de l’expressivit´e de la classe de mod`eles ? Il y aurait 2^ω th´eories entre H et H^∗...

Pourquoi ?

• D´eg´en´eration des domaines de Scott ? [Ehrhard 2012]

• Une d´eg´en´eration de notre notion de mod`eles ?

• Une cons´equence de l’expressivit´e de la classe de mod`eles ? Il y aurait 2^ω th´eories entre H et H^∗...

Pourquoi ?

• D´eg´en´eration des domaines de Scott ? [Ehrhard 2012]

• Une d´eg´en´eration de notre notion de mod`eles ?

• Une cons´equence de l’expressivit´e de la classe de mod`eles ? Il y aurait 2^ω th´eories entre H et H^∗...