et compl´ ements sur l’´ equation de Markoff

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2010-2011 Module MM020

Th´ eorie des Nombres - TD5 Approximation diophantienne

et compl´ ements sur l’´ equation de Markoff

Exercice 1 : Soit n ∈ N. On cherche `a montrer le r´esultat suivant dˆu `a Hurwitz : si l’´equation x²+y²+z²=nxyz a une solution (x, y, z) en entiers non nuls, alors (n= 3 et PGCD(x, y, z) = 1) ou (n= 1 et PGCD(x, y, z) = 3).

On suppose donc que l’´equation x²+y²+z² =nxyz a une solution (x, y, z) en entiers non nuls.

a) On ordonne les solutions de l’´equation dans l’ordre lexicographique. Rappeler la d´efinition de cette relation d’ordre et montrer qu’il existe une solution `a coordonn´ees enti`eres positives qui soit minimale. On la note (x0, y0, z0).

b) Montrer que 1≤x₀ ≤y₀ ≤z₀. c) Montrer que siy₀ = 1, alorsn= 3.

d) Montrer que siy₀ ≥2, alors (x₀, y₀, nx₀y₀−z₀) est solution etn≤3.

e) Montrer que n6= 2.

f) Conclure.

g) ´Ecrire une bijection explicite entre l’ensemble des solutions de l’´equation pourn= 1 et l’ensemble des solutions de l’´equation pour n= 3.

Exercice 2 : L’objectif de cet exercice est de d´emontrer le r´esultat suivant dˆu `a Hurwitz : pour tout θ∈R,θest irrationnel si et seulement si il existe une infinit´e de ^p_q ∈Q tels que 0<

θ− ^p_q

< ^√1

5q². a) Montrer l’implication “s’il existe une infinit´e de ^p_q convenables, alorsθ est irrationnel”.

b) Soitθ ∈R\Q. Montrer qu’il existe une infinit´e de couples (^p_q,^r_s) de fractions irr´eductibles tels

que p

q < θ < r

s etqr−ps= 1. c) Soientθ, p, q, r, scomme dans la question pr´ec´edente. Montrer que

min

q²

θ− p q

, s²

r s−θ

< 1 2. [Indication : on pourra montrer que δ:= min

n q²

θ−^p_q

, s^{2 r}_s−θo

v´erifie ^s_q +^q_s ≤ ¹_δ.]

d) Soient θ, p, q, r, scomme dans les questions pr´ec´edentes. On pose u=p+r etv=q+s.

i) Montrer que ^p_q < ^u_v < ^r_s, queuq−pv= 1 et querv−su= 1.

ii) On note := min n

q²

θ−^p_q

, s^{2 r}_s−θ , v²

θ−^u_v o

. En s’inspirant de la question c), montrer que ^s_q +^q_s ≤ ¹ et ^v_q +^q_v ≤ ¹.

iii) En ´etudiant la fonction t7→t+¹_t, en d´eduire que ^v_q et ^s_q sont dans l’intervalle compris entre les deux racines du polynˆome X²−¹X+ 1.

iv) En d´eduire que

= min

q²

θ−p q

, s²

r s−θ

, v²

θ−u

v

< 1

√ 5. 1

e) Conclure.

f) Montrer que ce r´esultat est optimal pour θ =φ := ¹⁺

√5

2 ; plus pr´ecis´ement, montrer que pour tout ^p_q ∈Q,

φ−p q

> 1

√5q²+^√1

5

.

[Indication : on pourra supposer que φ−^p_q

< ^√_5q¹₂ et ´evaluer le polynˆome X² −X−1 en X = ^p_q.]

Exercice 3 : Pour tout x ∈ R\Q, on d´efinit γ(x) comme la borne sup´erieure des r´eels γ >0 tels qu’il existe une infinit´e de ^p_q ∈Qv´erifiant

x−^p_q

≤ _γq¹2. a) Montrer que pour tout x∈R\Q,γ(x)≥√

5.

b) Montrer que γ(φ) =√ 5.

c) On pose G₀:= 0 et G₁:= 1, et par r´ecurrence,G_n:= 2Gn−1+Gn−2 pourn≥2.

i) Montrer que pour toutn≥1, G²_n−2G_nGn−1−G²_n−1 = (−1)ⁿ⁻¹. ii) Montrer que la suite (_G^G_n−1ⁿ ) converge et calculer sa limite.

iii) Montrer qu’il existe une suite (^p_qⁿ

n) de rationnels deux-`a-deux distincts tels que

n→∞lim q_n q_n√

2−p_n = 1

2√ 2. iv) Montrer que γ(√

2) = 2√ 2.

[Indication : on pourra s’inspirer de la question f) de l’exercice 2.]

Exercice 4 : Soit q(x, y) = ax² +bxy +cy² une forme quadratique `a coefficients r´eels. On note D := b²−4ac son discriminant. L’objectif est de montrer que si a > 0 et D < 0 (i.e. q est d´efinie positive), alors il existe (x, y)∈Z²\ {(0,0)}tel que

0< q(x, y)≤ r|D|

3 .

a) ´Ecrire explicitement la d´ecomposition de Gauss de q, `a savoirq(x, y) =α(x⁰)²+β(y⁰)². b) Montrer que la quantit´e inf_(x,y)∈Z²_\{(0,0)}q(x, y) est atteinte en un point (ξ, η)∈Z² non nul.

c) Montrer que ξ etη sont premiers entre eux.

d) Construire M ∈ SL₂(Z) tel que si on pose (x, y) = (X, Y)M, alors q(x, y) = Q(X, Y) = q(ξ, η)X²+BXY +CY². Quel est le discriminant deQ?

e) ´Ecrire la r´eduction de Gauss de la forme quadratiqueQ(X, Y).

f) En d´eduire le r´esultat.

[Indication : on pourra calculer Q(X0,1) avec X0 ∈Ztel que

X0+_2q(ξ,η)^B ≤ ¹₂.]

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