FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019
1. (Egeomel20.tex) Dans un plan euclidien orient´e muni d’un rep`ere orthonorm´e dont les fonctions coordonn´ees sont not´eesxety, on consid`ere les droites d’´equations
4x+ 3y+ 1 = 0 y+ 1 = 0
Former les ´equations des bissectrices de ces droites.
2. (Eexo177.tex) Les fonctions coordonn´ees dans des rep`eres (O,−→
i ,−→
j) et (O,−→ I ,−→
J) sont not´ees (x, y) et (X, Y). On suppose
x = X+ 2Y y = X+Y Exprimer−→
I et−→
J en fonction de−→ i et−→
j
3. (Egeomel16.tex) Une droite D admet pour syst`eme d’´equations :
( 3y−2z+ 5 = 0
−3x+z+ 2 = 0
D´eterminer un pointA(dans le planz= 0) et un vecteur
−
→u tels queD=A+ Vect(−→u).
4. (Egeomel5.tex) Donner l’´equation du plan de l’espace pas- sant par les points A, B, C dont on connait les coor- donn´ees :
A: (1,1,1), B : (1,0,1), C: (0,1,2)
5. (Eexo247.tex) Donner, sous la forme d’un quotient de d´eterminants, le couple solution du syst`eme de Cramer
ax+by = u cx+dy = v
6. (Egeomel15.tex) Soit −→u et −→v deux vecteurs non nuls dans un espace euclidien orient´e (dimension 3) etθleur ´ecart angulaire. Former les relations entre k−→uk, k−→vk, k−→u ∧
−
→vk, sinθ, cosθ, (−→u /−→v).
7. (Egeomel6.tex) On d´efinit les plans Π (´equation α) et Π0 (´equationβ) et la droiteD= Π∩Π0. SoitAun point tel queA /∈D donner une ´equation du plan contenantAet D.
8. (Eexo178.tex) Soitxetyles fonctions coordonn´ees relative- ment `a un rep`ere. Former l’´equation de la droite passant par deux pointsAetB
9. (Egeomel23.tex) Soit (O,(−→ i ,−→
j)) un rep`ere. On notexety les fonctions coordonn´ees dans ce rep`ere. SoitAun point de coordonn´ees (1,−1) dans ce rep`ere et des vecteurs−→ I et −→
J d´efinis par
−
→I =−→ i −−→
j −→ J =−→
i +−→ j
Exprimer x et y avec les fonctions coordonn´ees X, Y dans le rep`ere (A,(−→
I ,−→ J)).
10. (Egeomel13.tex) Calculer les coordonn´ees du projet´e ortho- gonal d’un point M de coordonn´ees (a, b) sur la droite d’´equation
x−y+ 1 = 0
11. (Egeomel8.tex) Donner une expression trigonom´etrique simple de
(−e→α/−→eβ)
12. (Eexo251.tex) Les fonctions coordonn´ees dans des rep`eres (O,−→
i ,−→
j) et (O,−→ I ,−→
J) sont not´ees (x, y) et (X, Y). On suppose
x = X−2Y y = −X+Y Exprimer−→
i et −→
j en fonction de−→ I et −→
J
13. (Egeomel11.tex) Simplifier
−sinα−→eθ+ cosα−→eθ+π2
14. (Egeomel17.tex) Une droite D admet pour syst`eme d’´equations :
(3y−2z+ 5 = 0 2x−y−3 = 0
D´eterminer un pointA(dans le plany= 0) et un vecteur
−
→u tels queD=A+ Vect(−→u).
15. (Egeomel3.tex) Les coordonn´ees sont relatives `a un rep`ere orthonorm´e direct. ´Ecrire l’´equation de la droite passant par les pointsAet B avec :
A: (1,2), B: (2,1)
1 AEGeomel
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16. (Egeomel19.tex) Une droite D admet pour syst`eme
d’´equations :
(4x−3z−1 = 0 y−1 = 0
D´eterminer un pointA(dans le planz= 0) et un vecteur
−
→u tels queD=A+ Vect(−→u).
17. (Egeomel1.tex) Les coordonn´ees sont relatives `a un rep`ere orthonorm´e direct. ´Ecrire l’´equation de la droite passant par le pointAet dirig´e par le vecteur−→u
A: (1,2), −→u : (−2,1)
18. (Egeomel4.tex) Dans un espace de dimension 3, on se donne une droiteD (par ses ´equations) et un pointA (par ses coordonn´ees). Former une ´equation du plan contenantD etA
D:
x+y+z+ 1 = 0
x+ 2y+ 3z+ 5 = 0 , A: (1,1,−2)
19. (Egeomel10.tex) On notex,yles coordonn´ees dans un rep`ere orthonorm´e fix´e etX etY les fonctions coordonn´ees dans le rep`ere
(O,−→e π
4,−→eπ
4+π2) Exprimerxet y en fonction deX etY.
20. (Egeomel14.tex) Calculer les coordonn´ees du projet´e ortho- gonal d’un pointM de coordonn´ees (a, b, c) sur le plan d’´equation
x+y+z+ 1 = 0
21. (Eexo176.tex) Les fonctions coordonn´ees dans des rep`eres (O,−→
i ,−→
j) et (O,−→ I ,−→
J) sont not´ees (x, y) et (X, Y). On suppose
x = X+ 2Y y = X+Y Exprimer−→
i et−→
j en fonction de−→ I et−→
J
22. (Egeomel9.tex) On notex,y les coordonn´ees dans un rep`ere orthonorm´e fix´e etX etY les fonctions coordonn´ees dans le rep`ere
(O,−→e π
4,−→eπ
4+π2) ExprimerX et Y en fonction dexety.
23. (Egeomel7.tex) Simplifier
cosα−→eβ+ sinα−−−→eβ+π2
24. (Eexo252.tex) Les fonctions coordonn´ees dans des rep`eres (O,−→
i ,−→
j) et (O,−→ I ,−→
J) sont not´ees (x, y) et (X, Y). On suppose
x = X−2Y y = −X+Y Exprimer−→
I et −→
J en fonction de−→ i et −→
j
25. (Eexo188.tex) Dans un plan muni d’un rep`ere (O,−→ i ,−→
j), les fonctions coordonn´ees sont not´eesxety. On se donne un pointAet deux vecteurs−→
I et−→
J par les formules
−→OA = −→ i +−→
j
−
→I = −→ i +−→
j
−
→J = −→ i −−→
j
Exprimer les coordonn´ees (X, Y) dans (A,−→ I ,−→
J) en fonction de (x, y).
26. (Egeomel21.tex) Dans un espace de dimension 3 muni d’un rep`ere dont les fonctions coordonn´ees sont not´eesx,y,z, on d´efinit param´etriquement un planP par :
M ∈ D ⇔ ∃(λ, µ)∈R2tq
x= 1 +λ−µ y= 2−λ−µ z=−1 +λ−2µ Donner une ´equation de ce plan.
27. (Egeomel2.tex) Les coordonn´ees sont relatives `a un rep`ere orthonorm´e direct. ´Ecrire l’´equation de la droite passant par le pointA et orthogonale au vecteur−→u avec :
A: (1,2), −→u : (−2,1)
28. (Egeomel18.tex) Une droite D admet pour syst`eme d’´equations :
(−3x+z+ 2 = 0 2x−y−3 = 0
D´eterminer un pointA(dans le planx= 0) et un vecteur
−
→u tels queD=A+ Vect(−→u).
29. (Egeomel12.tex) Calculer les coordonn´ees du projet´e ortho- gonal d’un point M de coordonn´ees (a, b) sur la droite d’´equation
x+y+ 1 = 0
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