Math´ematiquesLyc´ee Schuman-Perret 2020-2021
Compl´ ements sur la fonction exponentielle.
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✆ M´ethode d’Euler
On part des donn´ees : f(0) = 1 etf′(x) =f(x) pour toutx∈R
L’´equation de la tangente en 0 est : y=f′(0)(x−0) +f(0) orf′(0) =f(0) = 1 doncy=x+ 1
Lorsque x est proche de 0, la diff´erence graphique entre le point de la courbe et le point de la tangente en 0 est minime. On d´ecide d’approximer le point d’abscisse 0,1 de la courbe avec celui l’abscisse 0,1 de la tangente. Son ordonn´ee est alorsy= 0,1 + 1 = 1,1. La courbe passe alors par le point de coordonn´ees (0,1; 1,1)
0 0.2 0.4 0.6
−0.2
−0.4
−0.6
0
−0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
b
Ab b
On recommence avec le point suivant, d’abscisse 0,2
L’´equation de la tangente en 0,1 est : y=f′(0,1)(x−0,1) +f(0,1) or f′(0,1) =f(0,1) = 1,1 doncy= 1,1x+ 0.99
Lorsquexest proche de 0,1, la diff´erence graphique entre le point de la courbe et le point de la tangente en 0,1 est minime. On d´ecide d’approximer le point d’abscisse 0,2 de la courbe avec celui l’abscisse 0,2 de la tangente. Son ordonn´ee est alorsy= 1,1×0,1 + 0,99 = 1,21.
La courbe passe alors par le point de coordonn´ees (0,2; 1,21)
0 0.2 0.4 0.6
−0.2
−0.4
−0.6
0
−0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
b
Ab b b
Et ainsi de suite.
Si (xn;yn) sont les coordonn´ees d’un point de la courbe alors :
⋄ xn+1=xn+hest l’abscisse suivante
⋄ l’´equation de la tangente enxn est alors
y=f′(xn)×(x−xn) +f(xn) = f(xn)×(x−xn) +yn = yn×(x−xn) +yn
⋄ l’ordonn´ee suivante est alorsyn+1=yn×(xn+1−xn) +yn = yn×h+yn = yn×(1 +h) La suite (yn) est g´eom´etrique de raison (1 +h) et de premier terme 1 doncyn= (1 +h)n
On fabrique ainsi la suite de points de coordonn´ees (n×h; (1 +h)n)
On fait alors croˆıtrenchez les positifs puis chez les n´egatifs,
On obtient des points qui approximent ceux de la courbe repr´esentant la fonction exponentielle :
1 St´ephane Le M´eteil
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1.0
−1.2
−1.4
−1.6
−1.8
−2.0
0
−0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
b
A
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
En rouge, la fonction est des- -sin´ ee avec un pas h plus petit
2 St´ephane Le M´eteil
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✆ Courbe repr´esentative.
Les courbes repr´esentatives des fonctionsexponentielle etlogarithme n´ep´eriensont sym´etriques l’une de l’autre par rapport `a la droite d’´equationy=x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
−5
0
−1
−2
−3
−4 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y=ex
y=x
y= lnx
3 St´ephane Le M´eteil
