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Compl´ ements sur la fonction exponentielle.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Math´ematiquesLyc´ee Schuman-Perret 2020-2021

Compl´ ements sur la fonction exponentielle.

✆ M´ethode d’Euler

On part des donn´ees : f(0) = 1 etf(x) =f(x) pour toutx∈R

L’´equation de la tangente en 0 est : y=f(0)(x−0) +f(0) orf(0) =f(0) = 1 doncy=x+ 1

Lorsque x est proche de 0, la diff´erence graphique entre le point de la courbe et le point de la tangente en 0 est minime. On d´ecide d’approximer le point d’abscisse 0,1 de la courbe avec celui l’abscisse 0,1 de la tangente. Son ordonn´ee est alorsy= 0,1 + 1 = 1,1. La courbe passe alors par le point de coordonn´ees (0,1; 1,1)

0 0.2 0.4 0.6

0.2

0.4

0.6

0

0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

b

Ab b

On recommence avec le point suivant, d’abscisse 0,2

L’´equation de la tangente en 0,1 est : y=f(0,1)(x−0,1) +f(0,1) or f(0,1) =f(0,1) = 1,1 doncy= 1,1x+ 0.99

Lorsquexest proche de 0,1, la diff´erence graphique entre le point de la courbe et le point de la tangente en 0,1 est minime. On d´ecide d’approximer le point d’abscisse 0,2 de la courbe avec celui l’abscisse 0,2 de la tangente. Son ordonn´ee est alorsy= 1,1×0,1 + 0,99 = 1,21.

La courbe passe alors par le point de coordonn´ees (0,2; 1,21)

0 0.2 0.4 0.6

0.2

0.4

0.6

0

0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

b

Ab b b

Et ainsi de suite.

Si (xn;yn) sont les coordonn´ees d’un point de la courbe alors :

⋄ xn+1=xn+hest l’abscisse suivante

⋄ l’´equation de la tangente enxn est alors

y=f(xn)×(x−xn) +f(xn) = f(xn)×(x−xn) +yn = yn×(x−xn) +yn

⋄ l’ordonn´ee suivante est alorsyn+1=yn×(xn+1−xn) +yn = yn×h+yn = yn×(1 +h) La suite (yn) est g´eom´etrique de raison (1 +h) et de premier terme 1 doncyn= (1 +h)n

On fabrique ainsi la suite de points de coordonn´ees (n×h; (1 +h)n)

On fait alors croˆıtrenchez les positifs puis chez les n´egatifs,

On obtient des points qui approximent ceux de la courbe repr´esentant la fonction exponentielle :

1 St´ephane Le M´eteil

(2)

Math´ematiquesLyc´ee Schuman-Perret 2020-2021

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0

0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

b

A

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

En rouge, la fonction est des- -sin´ ee avec un pas h plus petit

2 St´ephane Le M´eteil

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Math´ematiquesLyc´ee Schuman-Perret 2020-2021

✆ Courbe repr´esentative.

Les courbes repr´esentatives des fonctionsexponentielle etlogarithme n´ep´eriensont sym´etriques l’une de l’autre par rapport `a la droite d’´equationy=x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y=ex

y=x

y= lnx

3 St´ephane Le M´eteil

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