On convient que 0 1 est le repr´ esentant irr´ eductible de 0 et 1 1 celui de 1.

MPSI B DM 1 : Autour des suites de Farey 20 octobre 2001

Notations

Le repr´ esentant irr´ eductible d’un nombre rationnel x est une fraction ^p _q telle que x = ^p _q avec p ∈ Z, q ∈ N ^∗ , p et q sans diviseur commun. On dira alors que p est le num´ erateur et q le d´ enominateur de x.

On convient que ⁰ ₁ est le repr´ esentant irr´ eductible de 0 et ¹ ₁ celui de 1.

Si ^p _q et ^p _q

sont des repr´ esentants irr´ eductibles de nombres rationels, on d´ efinit le m´ edian de ces nombres (not´ e µ( ^p _q , ^p _q

)) en posant

µ( p q , p ⁰

q ⁰ ) = p + p ⁰ q + q ⁰

Question pr´ eliminaire

Montrer que ^p _q < ^p _q

entraˆine ^p _q < µ( ^p _q , ^p _q

) < ^p _q

Partie I. M´ edians et suites de Farey

Pour tout entier n, on d´ efinit par r´ ecurrence un ensemble M _n de la mani` ere suivante :

M 0 = {0, 1}

M n+1 s’obtient en ajoutant ` a M n les m´ edians des termes cons´ ecutifs de M n .

Par exemple M 1 = 0, ¹ ₂ , 1 .

On d´ efinit aussi pour tout entier n l’ensemble F n de tous les rationnels de repr´ esentant irr´ eductibles ^p _q tels que 0 ≤ p ≤ q ≤ n.

1. Pr´ eciser M 2 , M 3 , M 4 . Quel est le nombre d’´ el´ ements de M n ? 2. Ecrire les ´ el´ ements de F 4 et F 5 dans l’ordre croissant.

3. Soient ^p _q , ^p _q

, ^p _q

des repr´ esentants irr´ eductibles de nombres rationnels tels que p ⁰ q − pq ⁰ = 1.

a. Montrer que ^p _q < ^p _q

< ^p _q

entraˆine q + q ⁰ ≤ q ⁰⁰ .

b. Soit n ≥ max(q, q ⁰ ), montrer que si i _p

q , ^p _q

h ∩ F n = ∅ c’est ` a dire ^p _q et ^p _q

sont cons´ ecutifs dans F _n , alors p

q , p ⁰ q ⁰

∩ F _n+1 ⊂

µ( p q , p ⁰

q ⁰ )

4. Montrer la proposition P n pour tout entier n ≥ 1.

P n

(

deux ´ el´ ements cons´ ecutifs ^p _q , ^p _q

de F n v´ erifient p ⁰ q − pq ⁰ = 1 F n ⊂ M n−1

5. Soient ^p _q et ^p _q

cons´ ecutifs dans F n .

a. Montrer que ^p _q et ^p _q

sont cons´ ecutifs dans tous les F r tels que max(q, q ⁰ ) ≤ r ≤ q + q ⁰ − 1

b. Montrer que

p q , p ⁰

q ⁰

∩ F q+q

=

µ( p q , p ⁰

q ⁰ )

6. Soient ^p _q et ^p _q

tels que p ⁰ q − pq ⁰ = 1, montrer qu’ils sont cons´ ecutifs dans tous les F r pour

max(q, q ⁰ ) ≤ r ≤ q + q ⁰ − 1

Partie II. Cercles de Ford.

Soit C un cercle de centre C de coordonn´ ees (x, y) et C ⁰ un cercle de centre C ⁰ de coordonn´ ees (x ⁰ , y ⁰ ). On pourra utiliser que C et C ⁰ sont tangents si et seulement si CC ⁰ = r + r ⁰ c’est ` a dire

(x − x ⁰ ) ² + (y − y ⁰ ) ² = (r + r ⁰ ) ²

On s’int´ eresse aux cercles tangents ` a l’axe des x et situ´ es au dessous de cet axe. Si u est l’abcisse du point de contact et si r est le rayon du cercle alors les coordonn´ ees du centre sont

(u, −r)

1 EFarey

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On dira qu’un tel cercle est un cercle de Ford.

Plus particuli` erement, si ^p _q est le repr´ esentant irr´ eductible d’un nombre rationnel x, C _x est le cercle de centre C _x de coordonn´ ees

( p q , − 1

2q ² ) et de rayon _2q ¹

Dans cette partie, ^p _q et ^p _q

avec ^p _q < ^p _q

sont les repr´ esentants irr´ eductibles de deux nombres rationnels.

1. Donner une condition n´ ecessaire et suffisante assurant que C

q

et C

sont tangents.

2. Pr´ eciser les cercles de Ford tangents ` a C

q

et C

q0

(donner les coordonn´ ees du centre)

3. On suppose que C

q

et C

q0

sont tangents, pr´ eciser le cercle de Ford tangent ` a C

q

et C

q0

et dont le point de contact avec l’axe des x est entre ^p _q et ^p _q

. 4. Comment se pr´ esentent les cercles C x pour x ∈ F n ?

Partie III. Approximation de Dirichlet

Soit x un nombre irrationnel et Q un entier naturel non nul, en consid´ erant les approximations par exc` es et par d´ efaut de x dans F Q , montrer qu’il existe un rationnel ^a _q tel que

q ≤ Q et

x − a q

≤ 1 q(Q + 1)

2 EFarey