−1 (ݔ) 1 +∞ − 0 + (ݔ) ݔ −∞ 0 +∞ Fonction exponentielle - Corrigé

Fonction exponentielle - Corrigé

Exercice 1 : Partie A

1. (a) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A est donné par ’() = (b) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point B est donné par ’() Or () = −(− ) = , ainsi ’() =

(c) La droite est à la fois tangente en A à et tangente en B à , son coefficient directeur s’exprime de deux façons que l’on peut donc égaliser : ’() = ’() ⇔ = ⇔ = − ⇔ = −

2. Idée : on exprime deux équations réduites de :

En considérant comme tangente en A à : = ()( − ) + () = − + = + (1 − ) En considérant comme tangente en B à :

= ()( − ) + () = (−)( + ) + (−) = + + 1 − = + ( − 1) + 1 Par unicité de l’écriture d’une équation réduite :

( − 1) + 1 = (1 − ) ⇔ (2 − 2) + 1 = 0 ⇔ 2 ( − 1) + 1 = 0 Le réel est bien solution de l’équation : 2( − 1) + 1 = 0.

Partie B

1. (a) () = 2( − 1) + 1 = 2 − + 1

→!lim = lim_→! = 0 donc, par somme, lim_→!() = 1

La droite d’équation = 1 est asymptote (horizontale) à la courbe représentative de au voisinage de −∞. La limite en +∞ se calcule directement :

→-!lim 2( − 1) = lim_→-! = + ∞ donc, par produit, lim_→-!() = +∞

(b) est dérivable sur ℝ comme produit et somme de fonctions dérivables : () = 2 + 2( − 1) = (2 + 2 − 2) = 2

> 0 donc () a le même signe que 2 : () < 0 sur 3−∞; 05, () > 0 sur 30; +∞5 et (0) = 0. (c)

(0) = 2(0 − 1) ⁶+ 1 = −2 + 1 = −1

2. (a) est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur 3−∞; 05 et 0 ∈ 3−1; 15 ensemble d’arrivée, donc d’après le corollaire des valeurs intermédiaires, l’équation () = 0 admet une unique solution sur 3−∞; 05. Cette équation admet également une unique solution sur 30; +∞5.

Conclusion : l’équation () = 0 admet exactement deux solutions dans ℝ. (b) À l’aide d’une calculatrice, 8 ≈ −1,68 et < ≈ 0,77

Partie C

1. E est le point de la courbe d’abscisse 8 donc ses coordonnées sont 8 et (8) = ^>

F est le point de la courbe d’abscisse – 8 donc ses coordonnées sont −8 et (−8) = 1 − ^>

La tangente à la courbe au point E a pour équation : = ^>( − 8) + ^> ⇔ − ^>( − 8) − ^> = 0

−∞ 0 +∞

() − 0 +

() 1 +∞

−1

Vérifions que F appartient à cette tangente, pour cela, remplaçons les coordonnées de F dans l’équation : @− ^>(@− 8) − ^>= 1 − ^>− ^>(−8 − 8) − ^> = 1 + 28 ^>− 2 ^> = 1 + 2(8 − 1) ^>= (8) = 0.

E et F appartiennent à la tangente la courbe en E : la droite (EF) est la tangente à la courbe au point E.

2. La droite (EF) a pour coefficient directeur ^> d’après ce qui précède. Or la tangente à au point F d’abscisse – 8 a pour coefficient directeur (−8) = ^(>)= ^>

Conclusion : la droite (EF) est la tangente à au point F.

Remarque : On a donc démontré que la droite (EF) est à la fois tangente à et .

L’exercice ne le propose pas mais une démonstration similaire aurait permis de prouver que la droite (E’F’) (où E’ est le point de d’abscisse < et F’ le point de d’abscisse – < ) est elle aussi tangente à et .

L’exercice a donc permis de prouver qu’il existe exactement deux tangentes communes aux deux courbes.

Exercice 2 : Partie A

1. (a) La fonction est dérivable sur 50 ; +∞5 comme somme de fonctions dérivables et ′() = − . Dans le prérequis : pour tout réel , on a > ce qui implique que () > 0 sur 50 ; +∞5.

La fonction est donc strictement croissante sur 50 ; +∞5∶ pour tout ∈ 50 ; +∞5, () ≥ (0) Or (0) = ⁰= 1 d’après le deuxième prérequis.

Et donc : pour tout ∈ 50 ; +∞5, () ≥ 1.

(b) pour tout ∈ 50 ; +∞5, () ≥ 1 > 0 On en déduit que ∶ >^H

2 ⇒

^>2 pour tout ∈ 30 ; +∞5

Pour utiliser correctement le dernier prérequis, plaçons-nous sur 51 ; +∞5 : Pour tout ∈ 51 ; +∞5, ^>2 et lim^→-!

2 = +∞, alors lim^→-!

^{= +∞}

2. (a) () =1

2 ^KH= 2

H = L

M Nù L = 2

→-!lim

2 = +∞ P lim^M→-!

M

L = +∞ donc, par composée, lim^{→-! H}

2 = +∞

EnRin, par inverse : lim

→-!

2

H

= 0 ⇒ lim

→-!() = 0

(b) La fonction est dérivable sur 50 ; +∞5 comme composée et produit de fonctions dérivables et () = 1

2 ^KH+1

2 × V−1

2 ^KHW =1

2 ^KHV1 −1

2 W =1 2 ^KH XYZY[

\6

V2 − 2 W

() a le même signe que 2 − : est positive sur 50; 23 et négative que 52 ; +∞5

0 2 +∞

() + 0 −

()

0 0

Partie B

1. (a) On sait que lim_→6 ^{]^K}= 1, on en déduit, par passage à l’inverse, que lim_{→6 ]^K}= 1 (b) Par passage à la limite, la forme est indéterminée, on est amené à modifier l’écriture :

() =

− 1 = 1

− 1

= 1

−1

→-!lim

= +∞ et lim_→-! 1

= 0, donc, par somme lim_→-! ⁻¹ = +∞ , et par inverse, lim^→-!() = 0 2. (a) __`=1

a b

`c

`K cd6

=1 a b

K`×c

`K cd6

=1 a b V

`KW^c

`K cd6

=1 a ×

1 − V ^{K`</sup>W<sup>`K-K} 1 − ^K` =1

a × 1 −

1 − ^{K`</sup>= (1 − ) × 1a 1 − <sup>K`} _`= ( − 1) ×

1a

^K`− 1 = ( − 1) V1 aW.

() lim_`→-!1

a = 0 et lim^M→6 (L) = 1 donc, par composée, lim<sub>`→-!</sub> V1 aW = 1 On en déduit que la suite (_`) converge vers ( − 1).

Exercice 3 :

1. (a) ^′() = − 1 ≥ 0 pour tout ∈ 50; +∞5 et ne s’annule qu’en 0. Donc la fonction est strictement croissante sur 50; +∞5 et (0) = ⁶− 0 − 1 = 0.

Pour tout ∈ 50; +∞5 , () ≥ (0) = 0 On en déduit que est positive sur 50; +∞5.

Pour tout ∈ 50; +∞5 , − − 1 ≥ 0 donc − ≥ 1

Et donc − > 0 : le dénominateur de ne s’annule pas sur ℝ, on en déduit que est définie sur ℝ. (b) f_→!lim − 1 = −1

→!lim − = +∞g ⇒ lim→!

− 1

− = 0

→-!lim

− 1

− ∶ hi

− 1

− =

j1 − 1k

j1 − k= 1 − 1 1 − f lim_→-!1 − 1

= 1

→-!lim 1 −

= 1l ⇒ lim_→-!1 − 1

1 − = 1 ⇒ lim_→-! − 1

− = 1 (c) () = ( − ) − ( − 1)

( − )^H = ^H− − ^H+

( − )^H = (1 − ) ( − )^H

2. (a) dérivable sur ℝ comme produit et somme de fonctions dérivables sur ℝ : () = − + (2 − ) = (1 − )

() est du signe de 1 − : () > 0 sur 3−∞; 15 et () < 0 sur 31; +∞5.

Ainsi, est strictement croissante sur 3−∞; 15 et strictement décroissante sur 31; +∞5. () = 2 − − 1

f lim_→!2 = 0

→!lim = 0g ⇒ lim^→!2 − − 1 = −1

→-!lim (2 − ) − 1 = −∞

(1) = (2 − 1) ^K− 1 = − 1 > 0

(b) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur 3−∞; 15 et 0 ∈ 3−1; − 15 ensemble d’arrivée, donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation () = 0 admet une unique solution sur 3−∞; 15. Cette équation admet également une unique solution sur 31; +∞5 pour les mêmes raisons.

Conclusion : l’équation () = 0 admet exactement deux solutions dans ℝ. (c) À l’aide d’une calculatrice, −1,15 < 8 < −1,14 et 1,84 < < < 1,85 (d) (8) = 0 ⇔ (2 − 8) ^>− 1 = 0 ⇔ (2 − 8) ^> = 1 ⇔ ^>= 1

2 − 8 car 8 ≠ 2.

3. (a) () =(1 − )

( − )^H = ()

( − )^H ∶ () > 0 sur 3−∞; 15 et () < 0 sur 31; +∞5 Ainsi, est strictement croissante sur 3−∞; 15 et strictement décroissante sur 31; +∞5. (d) (8) = ^>− 1

>− 8 =

2 − 8 − 11 2 − 8 − 81

=

1 − 2 + 8 2 − 8 1 − 28 + 8^H

2 − 8

= 8 − 1

(8 − 1)^H = 1 8 − 1

Exercice 4 : VRAI - FAUX

1. () =8 ^r( ^r+ 1) − 4 ^r(2 ^r− 2)

( ^r+ 1)^H =8 ^r( ^r+ 1 − ^r + 1)

( ^r+ 1)^H = 16 ^r

( ^r+ 1)^H > 0: VRAI 2. () = 2 ^r− 2

r+ 1 =

2 − 2_r

1 + 1_r → 2 quand tend vers + ∞ ∶ FAUX 3. () = 2 ^r− 2

r+ 1 → −2 quand tend vers − ∞

z admet deux asymptotes : les droites d’équations = −2 et = 2 : VRAI.

4. (0) = ^K{_H| = ^K{_r = 4

La tangente à z au point d’abscisse 0 a pour équation = 4( − 0) + (0) = 4 ∶ VRAI 5. La fonction =1

a les mêmes variations que ∶ FAUX car et1

ont des variations contraires.

6. La fonction =1

est déRinie sur ℝ ∶ FAUX car sannule en 0 7. La fonction =1

a une limite Rinie en 0 ∶ FAUX f lim_→6 ^r+ 1 = 2

→6lim



2 ^r− 2 = 0€ ⇒ lim_→6



r+ 1

2 ^r− 2 = −∞

f lim_→6 ^r+ 1 = 2

→6lim

\ 2 ^r− 2 = 0^-€ ⇒ lim_→6

\

r+ 1

2 ^r− 2 = +∞

−∞ 1 +∞

() + 0 −

()

− 1

−1 −∞

N° 88 page 190 :

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire 

1) Par somme : ‚ƒ„_→!() = −∞ et ‚ƒ„_→-!() = +∞

2) () = 2 + 2 > 0 donc est strictement croissante sur ℝ.

3) a) D'après le tableau de variation de , comme 0 appartient à l’ensemble d’arrivée, l’équation () = 0 admet une unique solution sur ℝ.

(0,94) ≈ −0,00004 < 0 et (0,941) ≈ 0,007 > 0 donc 0,94 < 8 < 0,941.

b) est strictement croissante sur ℝ donc ∀ < 8, () < (8) = 0 et ∀ > 8, () > (8) = 0 On en déduit que la fonction est négative sur 3−∞; 85, positive sur 38; +∞5 et s’annule en 8.

Partie B : Etude d’une fonction

1 − > 0 ⇔ 1 > ⇔ 0 > − ⇔ > 0, on en déduit le tableau de signe :

−∞ 0 ^‡_H +∞

2 − 5 − − 0 + 1 − − 0 + + () + 0 − 0 + 2) ‚ƒ„_→!2 − 5 = −∞ et ‚ƒ„_→!1 − = −∞ donc, par produit, ‚ƒ„_→!() = +∞

→-!‚ƒ„ 2 − 5 = +∞ et ‚ƒ„_→-!1 − = 1 donc, par produit, ‚ƒ„_→-!() = +∞

3) () = 2(1 − ) + (2 − 5) × = 2 − 2 + (2 − 5) × = 2 + (2 − 7) × Donc () = (2 + 2 − 7) = ()

Sachant que > 0, on en déduit que () et () sont du même signe.

D’après la question 3)b) de la partie A, on déduit le tableau suivant :

4)) (8) = (28 − 5)(1 − ^>) = (28 − 5) V1 − 1

>W = (28 − 5)( ^>− 1)

>

−∞ +∞

() +

() +∞

−∞

−∞ 8 + ∞ () − 0 +

() +∞ +∞

(8)

Or on sait que (8) = 0 ⇔ 2 ^>+ 28 − 7 = 0 ⇔ ^> =7 − 28 2 On remplace dans l’égalité précédente :

(8) = (28 − 5) j7 − 282 − 1k 7 − 28

2

= (28 − 5) j5 − 282 k 7 − 28

2

= (28 − 5)(5 − 28)

7 − 28 = (28 − 5)(28 − 5) 28 − 7 On a bien la formule recherchée.

b) La fonction ℎ est dérivable sur Š−∞;^‡_H‹ comme quotient de fonctions dérivables de dénominateur non nul :

ℎ() =2 × 2 × (2 − 5)(2 − 7) − 2(2 − 5)^H

(2 − 7)^H =2(2 − 5)(4 − 14 − 2 + 5) (2 − 7)^H

Et donc ℎ() = 2(2 − 5)(2 − 9) (2 − 7)²

On en déduit que ℎ() > 0 et donc que ℎ est strictement croissante sur −∞;5 2Ž

0,94 < 8 < 0,941 donc ℎ(0,94) < ℎ(8) < ℎ(0,941) et donc −1,905 < ℎ(8) < −1,895 5) () − (2 − 5) = (2 − 5)(1 − − 1) = −(2 − 5) = (−2 + 5)

On en déduit que () > (2 − 5) sur −∞;5

2Ž et () < (2 − 5) sur 5 2 ; +∞Ž

Partie C : Etude d’une suite de rapports de distance 1) __{`</sub> = <sub>`}_`

_{`</sub><sub>`} = |(a) − (2a − 5)|

|(2a − 5) − 0| =(2a − 5) − (a)

2a − 5 car pour tout a ≥ 3, 2a − 5 > (a) et 2a − 5 > 0.

2) ) __` =(2a − 5) − (a)

2a − 5 =(2a − 5) × ^`

2a − 5 = ^`= V1 W

`

On reconnaît une suite géométrique de raison 1 b) − 1 <1

< 1 donc lim V1 W

` = 0

La suite (__`) converge donc vers 0, ce qui était prévisible car le numérateur correspond à une distance qui tend vers 0 et le dénominateur, une distance qui tend vers +∞.

N° 93 page 192 :

1) a) Pour tout ∈ 50; +∞5 , −1 ≤ sin () ≤ 1 et comme

•^

√— > 0, alors :

− ^{•^√—} ≤ (sin ()) ^{•^√—} ≤ ^{•^√—} et donc − ^{•^√—} ≤ () ≤ ^{•^√—}

→-!lim

√˜ = 0 donc par encadrement de limites ∶ lim_→-!() = 0

b) Voir en fin de corrigé.

c) On cherche à résoudre l’équation : () = − ^{•^√—} ⇔ (sin ()) ^{•^√—} = − ^{•^√—} ⇔ sin() = −1 Sur 50; 2™3, cette équation a pour unique solution =^˜š_H

Les courbes z et z_K ont donc un unique point d’intersection pour ∈ 50; 2™3 : i_K›3™

2 ; −

˜šH√˜œ

d) On cherche ici à résoudre l’équation : () = ^{•^√—} ⇔ (sin ()) ^{•^√—} = ^{•^√—} ⇔ sin() = 1 Sur 50; 2™3, cette équation a pour unique solution =^š_H

Les courbes z et z_H ont donc un unique point d’intersection pour ∈ 50; 2™3 : i_Hj^š_H; ^|√—•k 2)a) () = (cos()) ^√˜− 1

√3(sin ()) ^√˜ = Vcos() − 1

√3sin ()W ^√˜

Comme ^√˜ > 0, alors, () a le même signe que cos() − 1

√3sin () b) 2

√3cos j +™ 6k = 2

√3jcos() cos j™

6k − sin () sin j™

6kk = 2

√3›√3

2 cos() −1

2 sin ()œ

Et donc 2

√3cos j +™

6k = cos() − 1

√3sin ()

c) Sur 50; 2™3, d’après le cercle trigo, il est plus facile de déterminer les valeurs qui rendent le cosinus négatif, on déduit ensuite celles qui le rendent positif :

cos j +™

6k < 0 ⇔ ™

2 < +™ 6 <3™

2 ⇔™

3 < <4™

3 On en déduit que

cos j +™

6k > 0 ⇔ 0 ≤ +™ 6 ≤™

3 ou 4™

3 < ≤ 2™

0 ^š_˜ ^rš_˜ 2™

() + 0 − 0 +

()

^√˜_H ^—√—• 0

0 −^√˜_H ^{•Ÿ—√—}

3) ) ′ j ™

2k = V− 1

√3W ^H√˜š ≈ −0,23 b)