Corrigé du bac blanc Partie A
1. Le couple d’entiers naturels (; ) définit un TRPI si, et seulement si = + ( + 1) d’après le théorème de Pythagore.
= + ( + 1) = + + 2 + 1 = 2+ 2 + 1 2. Si = 1, + 1 = 2 : on aurait = 5 qui n’est pas le carré d’un entier.
Si = 2, + 1 = 3 : on aurait = 13 qui n’est pas le carré d’un entier.
Si = 3, + 1 = 4 : on aurait = 25 qui est le carré de 5.
Le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est donc bien défini par le couple (3; 5).
3. a. Un raisonnement par contraposée semble indiqué : Supposons que n est pair : ≡ 02 ⇒ ≡ 02⇒ est pair.
Par contraposée : si est impair alors est impair b. Soit un couple d’entiers (; ) définissant un TRPI :
= 2+ 2 + 1 ≡ 12⇒ est impair ⇒ est impair d’après le 3.a.
4. Soit un couple d’entiers (; ) définissant un TRPI : = 2+ 2 + 1⇔− 2− 2 = 1⇔ × ⏟
+ × (−2 − 2)
= 1
Il existe un couple ( , !) d’entiers relatifs tel que + ! = 1 donc et sont premiers entre eux.
Partie B
1. #′′% = & '
( + ) = '3 2 4 3( '
( + '1
2( = #3 + 2 + 1 4 + 3 + 2%
Ainsi, * = 3 + 2 + 1 et *= 4 + 3 + 2
a. *− 2*(*+ 1) = (4 + 3 + 2)− 2(3 + 2 + 1)(3 + 2 + 2)
= 16+ 9+ 4 + 24 + 16 + 12 − 2(9+ 4+ 12 + 9 + 6 + 2)
= 16+ 9+ 4 + 24 + 16 + 12 − 18− 8− 24 − 18 − 12 − 4
= −2+ − 2 = − 2( + 1)
b. Supposons que le couple (; ) définit un TRPI, alors = 2+ 2 + 1⇔ − 2( + 1) = 1 Or *− 2*(*+ 1) = − 2( + 1) donc *− 2*(*+ 1) = 1.
Le couple (′; ′) définit également un TRPI.
2. Initialisation : (.; .) = (3; 5) définit bien un TRPI (vu au 2. De la partie A)
Hérédité : supposons que, pour un certain entier naturel , le couple (/; /) définit un TRPI et montrons que le couple (/01; /01) définit lui aussi un TRPI.
On sait que '/01
/01( = & '/
/( + ). Or, d’après la question 1.b., si #′′% = & '
( + ) et si le couple (; ) définit un TRPI alors le couple (′; ′) définit également un TRPI. D’où l’hérédité.
Conclusion : pour tout entier naturel , le couple (/; /) définit un TRPI.
3. On part de '.
.( = '35(, puis avec la formule '/01
/01( = & '/
/( + ), on calcule les matrices colonnes successives : '1
1( = '2029(, '
( = '119169(, '2
2( = '696985(,'34
54( = '4678794:(.
