Corrigé du DS du 24/11
Exercice 1 : 1.
ݕ ≡ ⋯ [7] 0 1 2 3 4 5 6
ݕଷ ≡ ⋯ [7] 0 1 1 6 1 6 6
2ݕଷ ≡ ⋯ [7] 0 2 2 5 2 5 5
2. La première ligne donne tous les cas de figure pour un entier naturel ݕ et ses restes dans la DE par 7.
On déduit de ce tableau que le reste dans la DE de 2ݕଷ par 7 ne peut être que 0, 2 ou 5.
En outre 7ݔଶ ≡ 0[7], donc 7ݔଶ+ 2ݕଷ est congru à 0, 2 ou 5 modulo 7.
Ce nombre ne pourra jamais être congru à 3 en modulo 7.
Conclusion : l’équation (E) n’a pas de couples (ݔ; ݕ) solution.
Exercice 2 : 1. ܣ = ൭2 3 4
3 4 5
4 5 6൱ 2. ܣ = ൭ 1 0 0
−1 2 0
−1 −1 3൱
Exercice 3 :
1) ܯଶ = ቀ3 −22 −1ቁ , ܯଷ = ቀ4 −33 −2ቁ et ܯସ = ቀ5 −44 −3ቁ. 2) Il semble que ܯ = ቀ݊ + 1 −݊
݊ 1 − ݊ቁ pour tout entier naturel ݊. Notons ܲ(݊) la propriété « ܯ = ቀ݊ + 1 −݊
݊ 1 − ݊ቁ » et démontrons par récurrence que
ܲ(݊) est vraie pour tout entier naturel ݊. Initialisation : ܯ = ܫ et ቀ0 + 1 0
0 1 − 0ቁ = ܫ donc ܲ(0) est vraie.
Hérédité : Supposons que ܲ(݊) est vraie pour un certain ݊ et montrons que ܲ(݊ + 1) est vraie
ܯାଵ = ܯ × ܯ = ቀ݊ + 1 −݊
݊ 1 − ݊ቁ ቀ2 −1 1 0 ቁ
= ቀ2݊ + 2 − ݊ −݊ − 12݊ + 1 − ݊ −݊ ቁ = ቀ݊ + 2 −݊ − 1
݊ + 1 −݊ ቁ Or ൬(݊ + 1) + 1 −(݊ + 1)
݊ + 1 1 − (݊ + 1)൰ = ቀ݊ + 2 −݊ − 1
݊ + 1 −݊ ቁ ainsi ܲ(݊ + 1) est vraie.
Conclusion : pour tout entier naturel ݊, ܯ = ቀ݊ + 1 −݊
݊ 1 − ݊ቁ 3) ܯଶଵ = ቀ2018 −20172 017 −2016ቁ.
