Corrigé du DS du 27/11/18
Exercice 1 : 1) ܣଶ = ቀ1 60 1ቁ, ܣଷ = ቀ1 90 1ቁ et ܣସ = ቀ1 120 1 ቁ. 2) Il semble que ܣ = ቀ1 3݊0 1 ቁ pour tout ݊ ∈ ℕ.
3) Initialisation : ܣ = ܫଶ et ቀ1 3 × 00 1 ቁ = ܫଶ, l’égalité est donc vraie au rang 0.
Hérédité :
supposons que ܣ = ቀ1 3݊0 1 ቁ est vraie pour un certain ݊ et montrons que ܣାଵ = ቀ1 3(݊ + 1)0 1 ቁ ܣାଵ = ܣ× ܣ = ቀ1 3݊0 1 ቁ ቀ1 3
0 1ቁ = ቀ1 3 + 3݊
0 1 ቁ = ቀ1 3(݊ + 1)
0 1 ቁ
Conclusion : pour tout ݊ ∈ ℕ, ܣ = ቀ1 3݊0 1 ቁ.
Exercice 2 :
1. (ݔ)ଶ+ (ݕ)ଶ = ଶݔଶ+ ଶݕଶ = ଶ(ݔଶ+ ݕଶ) = ଶݖଶ = (ݖ)ଶ Conclusion :
si (ݔ, ݕ, ݖ) est un TP, et un entier naturel non nul, alors le triplet (ݔ, ݕ, ݖ) est lui aussi un TP.
2. Si ݔ et ݕ sont impairs alors ݔ ≡ 1ሾ2ሿ et ݕ ≡ 1ሾ2ሿ, ainsi ݔଶ ≡ 1ሾ2ሿ et ݕଶ ≡ 1ሾ2ሿ Et donc ݔଶ+ ݕଶ ≡ 2ሾ2ሿ ≡ 0ሾ2ሿ. Comme (ݔ, ݕ, ݖ) est un TP, alors ݔଶ+ ݕଶ = ݖଶ ≡ 0ሾ2ሿ. L’entier ݖଶ est donc pair. Il en est de même pour ݖ.
Il en est de même en supposant que ݔ et ݖ ou que ݕ et ݖ sont impairs.
Conclusion : si (ݔ, ݕ, ݖ) est un TP, alors les entiers naturels ݔ, ݕ et ݖ ne peuvent pas être tous les trois impairs.
3. a) 192 = 64 × 3 = 2× 3
b) 2ݔଶ = 2 × (2ఈ× ݇)ଶ = 2 × 2ଶఈ× ݇ଶ = 2ଶఈାଵ× ݇ଶ
L’entier ݇ étant un entier impair, il en est de même pour son carré : 2ଶఈାଵ× ݇ଶ est donc la décomposition de 2ݔଶ.
ݖଶ = ൫2ఉ× ݉൯ଶ = 2ଶఉ× ݉ଶ: pour les mêmes raisons, 2ଶఉ × ݉ଶ est bien la décomposition de ݖଶ. c) S’il existait un tel couple d’entiers, on aurait 2ݔଶ = ݖଶ et donc, d’après la question précédente : 2ଶఈାଵ× ݇ଶ = 2ଶఉ× ݉ଶ.
Une telle décomposition étant unique, cela signifierait que 2ߙ + 1 = 2ߚ ce qui est impossible compte tenu de leur parité !
Conclusion : il n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls (ݔ, ݖ) tels que 2ݔଶ = ݖଶ.
d) On vient de montrer qu’il n’existe aucun couple d’entiers vérifiant 2ݔଶ = ݖଶ ce qui peut aussi s’écrire : ݔଶ+ ݔଶ = ݖଶ: on vient de montrer que dans un TP, ݔ ≠ ݕ.
De plus, l’égalité ݔଶ+ ݕଶ = ݖଶ impose ݖ > ݔ et ݖ > ݕ. On en déduit que les entiers d’un TP sont tous distincts.
Partie B : recherche de triplets pythagoriciens contenant l’entier 2015 1. 2015 = 5 × 13 × 31
On sait que (3,4,5) est un TP donc, d’après la question 1., le triplet (3, 4, 5) où est un entier naturel non nul est lui aussi un TP.
En particulier pour = 13 × 31 = 403, le triplet (3 × 403, 4 × 403, 5 × 403). Conclusion : le triplet (1209, 1612, 2015) est un TP.
2. On admet que, pour tout entier naturel ݊, (2݊ + 1)ଶ+ (2݊ଶ+ 2݊)ଶ = (2݊ଶ+ 2݊ + 1)ଶ. On cherche un entier naturel ݊ tel que 2݊ + 1 = 2015 : on obtient ݊ = 1007.
Ainsi 2݊ଶ+ 2݊ = 2 030 112 et 2݊ଶ+ 2݊ + 1 = 2 030 113 On en déduit que (2015 , 2 030 112 , 2 030 113) est un TP.
3. a) ݖଶ− ݔଶ = 403ଶ ⇔ (ݖ − ݔ)(ݖ + ݔ) = 169 × 961
On en déduit comme solution possible le couple vérifiant ݖ − ݔ = 169 et ݖ + ݔ = 961 La résolution donne ݖ = 565 et ݔ = 396 < 403.
Le couple d’entiers (396,565) est tel que ݖଶ− ݔଶ = 403ଶ
Remarque : On ne cherche pas à démontrer qu’il existe d’autres car ils ne sont pas demandés…
b) La question précédente permet de prouver que (396, 403, 565) est un TP.
Or 2015 = 403 × 5, en multipliant les entiers précédents par 5, on obtient un nouveau TP : le triplet (396 × 5, 403 × 5, 565 × 5) = (1980, 2015, 2825) est un TP.
Exercice 3 : On considère les matrices ܣ et ܤ suivantes : ܣ = ቀ2 10 −1ቁ et ܤ = ቀ3 −22 3 ቁ. 1) a) ܣଶ = ቀ4 10 1ቁ, ܣܤ = ቀ 8 −1−2 −3ቁ et ܤଶ = ቀ 5 −1212 5 ቁ.
b) ܣଶ+ 2ܣܤ + ܤଶ = ቀ4 10 1ቁ + 2 ቀ 8 −1
−2 −3ቁ + ቀ5 −12
12 5 ቁ = ቀ25 −13 8 0 ቁ. 2) a) ܣ + ܤ = ቀ5 −12 2 ቁ.
b) (ܣ + ܤ)ଶ = ቀ23 −714 2 ቁ
3) On n’obtient pas le même résultat aux questions 1.b) et 2.b). Cela s’explique par la non commutativité de A et B : (ܣ + ܤ)ଶ = ܣଶ + ܣܤ + ܤܣ + ܤଶ ≠ ܣଶ+ 2ܣܤ + ܤଶ car ܣܤ ≠ ܤܣ
Exercice 4 : Dans chacun des cas suivants, tracer un graphe associé à la matrice de transition :
1 2
1 4 1
1 2
3 3
4
1 6
56
1 3
2 1 3
2
1 2
Exercice 5 : Partie A : Étude de deux cas particuliers
1) 1ଶ+ 3ଶ+ 5ଶ = 1 + 9 + 25 = 35 = 32 + 3 ≡ 3ሾ4ሿ ≡ 2ଶ− 1ሾ2ଶሿ Les nombres 1, 3 et 5 satisfont donc à la condition précédente.
2) a)
ݎ 0 1 2 3 4 5 6 7
ܴ 0 1 4 1 0 1 4 1
b) D’après le tableau précédent, ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ ne peut être congru qu’à 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 modulo 8 (après calcul de toutes les combinaisons possibles de trois nombres parmi ceux de la 2ème ligne du tableau) mais 7 n’est pas possible…
On ne peut donc pas trouver trois entiers naturels ݔ, ݕ et ݖ tels que ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ ≡ 7ሾ8ሿ.
Conclusion : pour ݊ = 3, il n’existe pas trois entiers naturels ݔ, ݕ et ݖ tels que ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ ≡ 2− 1ሾ2ሿ.
Partie B : Étude du cas général où > 3
Supposons qu’il existe trois entiers naturels ݔ, ݕ et ݖ tels que ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ ≡ 2− 1ሾ2ሿ ≡ −1ሾ2ሿ.
1) ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ ≡ −1ሾ2ሿ donc ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ = −1 + 2݇ ≡ −1ሾ2ሿ ≡ 1ሾ2ሿ et donc ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ est impair.
Si les trois entiers sont pairs, la somme de leurs carrés est paire, ce qui n’est pas possible.
Si un seul des entiers est pair, la somme des trois carrés est paire, impossible là aussi.
Il est donc clair que les trois entiers naturels ݔ, ݕ et ݖ sont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs.
2) a) ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ = (2ݍ)ଶ+ (2ݎ)ଶ+ (2ݏ + 1)ଶ = 4ݍଶ+ 4ݎଶ+ 4ݏଶ+ 4ݏ + 1 ≡ 1ሾ4ሿ Ainsi ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ ≡ 1ሾ4ሿ.
b) D’un côté, on a ݔଶ + ݕଶ+ ݖଶ = −1 + 2݇ = 2(݇ + 1) − 1 Or 2 est un multiple de 4 (݊ > 3) donc ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ = 4݇′ − 1 D’un autre côté ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ = 4݇ᇱᇱ+ 1
On aurait alors 4݇ᇱ− 1 = 4݇ᇱᇱ+ 1 et donc 4(݇ᇱ− ݇′′) = 2 puis 2(݇ᇱ− ݇′′) = 1 ce qui est clairement impossible, d’où la contradiction.
3) a) Pour tout entier naturel ݇ non nul, ݇ଶ + ݇ = ݇(݇ + 1) est un produit de deux entiers consécutifs, l’un des deux entiers est forcément pair, le produit est donc divisible par 2.
b) ݔଶ + ݕଶ+ ݖଶ = (2ݍ + 1)ଶ+ (2ݎ + 1)ଶ+ (2ݏ + 1)ଶ
= 4ݍଶ+ 4ݍ + 1 + 4ݎଶ+ 4ݎ + 1 + 4ݏଶ + 4ݏ + 1 = 4(ݍଶ+ ݍ + ݎଶ+ ݎ + ݏଶ+ ݏ) + 3
Or ݍଶ+ ݍ, ݎଶ+ ݎ et ݏଶ+ ݏ sont pairs donc 4(ݍଶ+ ݍ + ݎଶ+ ݎ + ݏଶ+ ݏ) est divisible par 8.
On en déduit que ݔଶ + ݕଶ+ ݖଶ ≡ 3ሾ8ሿ.
c) On a supposé que ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ ≡ −1ሾ2ሿ ainsi ݔଶ+ ݕଶ + ݖଶ ≡ 2݇ − 1 Comme ݊ > 3, 2 est un multiple de 8, donc ݔଶ+ ݕଶ + ݖଶ ≡ −1ሾ8ሿ
On aurait alors 8݇ᇱ− 1 = 8݇ᇱᇱ+ 1 et donc 8(݇ᇱ− ݇′′) = 2 puis 4(݇ᇱ− ݇′′) = 1 ce qui est clairement impossible, d’où la contradiction.
Conclusion générale de l’exercice : seul le cas ݊ = 2 donne l’existence de trois entiers naturels ݔ, ݕ et ݖ tels que ݔଶ + ݕଶ+ ݖଶ ≡ 2− 1ሾ2ሿ.
