Corrigé du DS du 15/11/19 Exercice 1

(1)

Corrigé du DS du 15/11/19 Exercice 1 : (8 points)

1) ⃗. ⃗ = × = 4 × 4 + 2 = 24 car ⃗ et ⃗ sont colinéaires et de même sens.

2) ⃗. ⃗ = × × cos⃗. ⃗ = 8 × 5 × cos60° = 8 × 5 ×= 20 3) ⃗. ⃗ = ⃗. ⃗ par projection orthogonale

= × = 7 × 3 = 21 car ⃗ et ⃗ sont colinéaires et de même sens.

4) On utilise la formule des normes avec la différence : ⃗. ⃗ =1

2 ⃗ ²+ ⃗ ²− ⃗ − ⃗ ² =1

2 ⃗ ²+ ⃗ ²− ⃗ ²

=1

25²+ 4²− 8² = −23 2

5) On utilise la formule des normes avec la somme : ⃗. ⃗ =1

2 ⃗ + ⃗ ²− ⃗ ²− ⃗ ² =1

2 ⃗ ²− ⃗ ²− ⃗ ²

=1

29²− 6²− 4² = 29 2

6) Les vecteurs ⃗ et ⃗ ont pour coordonnées respectives −3; 1 et −5; −3, la formule des coordonnées est valable car le repère est orthonormé :

⃗. ⃗ = −3 × −5 + 1 × −3 = 12

Exercice 2 : (3 points)

On se place dans un repère orthonormé $; %⃗, '⃗.

1) √5 − 2√5 + 2 + 1 × −1 = 5 − 4 − 1 = 0 ∶ Les vecteurs *⃗ et *′⃗ sont orthogonaux.

2) ,2, − 3 + , − 3, + 2 = 0 ⇔ 3,− 4, − 6 = 0 ⇔ , =^.√_/ ou , =^1√_/ 2⃗,; , − 3 et 2′⃗2, − 3; , + 2 sont orthogonaux pour , =^.√_/ ou , =^1√_/ .

1) a) Il semble, graphiquement, que l’équation 3, = 0 ait quatre solutions.

b) 3, = 0 ⇔ ,+ , − 2,− 2, − 1 = 0 ⇔ ,+ , − 2 = 0 ou ,− 2, − 1 = 0 Pour la première équation : ∆= 1− 4 × 1 × −2 = 9 = 3²

∆> 0 donc l’équation a deux solutions : , =^161√∆₇ =^11√8 =^11/ = −2 et , =^1./ = 1 Pour la deuxième équation : ∆= −2− 4 × 1 × −1 = 8 = 2√2²

∆> 0 donc l’équation a deux solutions : ,_/ =^161√∆₇ =^1√ = 1 − √2 et ,₉ =^.√ = 1 + √2

(2)

Conclusion : l’équation 3, = 0 a quatre solutions : −2 ; 1 − √2 ; 1 ; 1 + √2.

2) a) Il semble, graphiquement, que l’inéquation 3, < 0 ait pour ensemble solution :

;−2; 1 − √2< ∪ ;1; 1 + √2<

b)

, −∞ −2 1 − √2 1 1 + √2 +∞

,²+ , − 2 + − − + +

,²− 2, − 1 + + − − +

3, + − + − +

On en déduit que l’inéquation 3, < 0 a pour ensemble solution : ;−2; 1 − √2< ∪ ;1; 1 + √2<

1) −1; 2, 1; 3 et 3; −1. 2) ⃗2; 1 et ⃗2; −4 donc

⃗. ⃗ = 2 × 2 + 1 × −4 = 0 donc les vecteurs ⃗ et ⃗ sont orthogonaux et donc le triangle ABC est rectangle en B.

3) a) Le vecteur ⃗ a pour projeté orthogonal ⃗ sur la direction de ⃗ donc ⃗. ⃗ = ⃗. ⃗ = ²

De même, Le vecteur ⃗ a pour projeté orthogonal >⃗ sur la direction de ⃗ donc ⃗. ⃗ = >⃗. ⃗

Or les vecteurs >⃗ et ⃗ sont colinéaires et de même sens donc >⃗. ⃗ = > × Ce qui donne finalement : ⃗. ⃗ = ² = > ×

b) > × = = 1 − −1+ 3 − 2 = 5 donc > = _@A^? = 1.

Bonus : (seulement s’il vous reste du temps)

ABCD est un rectangle et M un point quelconque du plan.

Comparer les nombres MA² + MC² et MB² + MD².

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