Corrigé du DS du 10/10/17
Exercice 1 :
Dans la division euclidienne de deux entiers naturels, le dividende est 63 et le reste est 17 ce qui se traduit directement par : 63 = ܾݍ + 17 avec ܾ > 17 où ܾ est un entier naturel non nul (diviseur) et ݍ un entier relatif (mais on peut affirmer ici que ݍ est positif car le dividende l’est aussi)
On obtient alors ܾݍ = 46 et toujours ܾ > 17
Les valeurs possibles de ܾ sont donc les diviseurs de 46 supérieurs à 17.
Or ܦା(46) = ሼ1; 2; 23; 46ሽ et donc ܾ = 23 ou 46
Conclusion : ou bien ܾ = 23 et dans ce cas ݍ = 2 ou bien ܾ = 46 et dans ce cas ݍ = 1.
Exercice 2 :
On cherche donc tous les entiers naturels ݊ tels que ݊ = 5ݍ + ݎ avec 0 ≤ ݎ < 5 et ݍ = 3ݎ.
݊ = 5ݍ + ݎ = 5(3ݎ) + ݎ = 15ݎ + ݎ = 16ݎ mais attention r ne peut prendre que des valeurs entières positives inférieures à 5 : ݎ ∈ ሼ0; 1; 2; 3; 4ሽ et donc ݊ ∈ ሼ0; 16; 32; 48; 64ሽ
Exercice 3 : Restitution organisée de connaissance
1. On suppose qu’il existe deux couples d’entiers (ݍ; ݎ) et (ݍ’; ݎ’) vérifiant les conditions 0 ≤ ݎ < ܾ et 0 ≤ ݎ′ < ܾ
Remarque : ce n’est pas un raisonnement par l’absurde car on ne suppose pas que les couples sont différents …
On peut donc utiliser les deux égalités : ܽ = ܾݍ + ݎ et ܽ = ܾݍ′ + ݎ′
Ainsi ܾݍ + ݎ = ܾݍ′ + ݎ′ et donc ܾ(ݍ − ݍᇱ) = ݎᇱ− ݎ Comme ݍ − ݍᇱ∈ ℤ, ݎᇱ− ݎ est un multiple de ܾ.
Les encadrements 0 ≤ ݎ < ܾ et 0 ≤ ݎ′ < ܾ donnent −ܾ < ݎᇱ− ݎ < ܾ
Le seul multiple de ܾ appartenant à l’intervalle ሿ−ܾ; ܾሾ est 0 donc ݎᇱ− ݎ = 0 et donc ݎ′ = ݎ On obtient ainsi ܾ(ݍ − ݍᇱ) = 0 et comme ܾ ≠ 0, ݍ − ݍᇱ= 0 et donc ݍᇱ= ݍ
On vient donc de prouver l’unicité d’un tel couple.
2. Application
La division euclidienne de ܽ par 13 a pour reste 4 : ܽ = 13ݍ + 4 où ݍ ∈ ℤ
Ainsi ܽଶ = (13ݍ + 4)ଶ = 13ଶݍଶ+ 13 × 8ݍ + 16 = 13ଶݍଶ+ 13 × 8ݍ + 13 + 3 = 13 ቆ13ݍᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥଶ+ 8ݍ + 1
∈ℤ
ቇ + 3 Or 0 ≤ 3 < 13 donc le reste de la DE de ܽଶ par 13 est 3
Exercice 4 : Dans une division par ܾ, où ܾ ∈ ℕ∗, d’un entier positif ݉, le quotient est ݍ et le reste ݎ : ce qui se traduit par : ݉ = ܾݍ + ݎ avec 0 ≤ ݎ < ܾ .
Si l’on augmente ݉ de 5, le quotient augmente de 3 et le reste diminue de 1 : ݉ + 5 = ܾ(ݍ + 3) + ݎ − 1 avec 0 ≤ ݎ − 1 < ܾ et donc 1 ≤ ݎ < ܾ + 1
On remplace ݉ par ܾݍ + ݎ dans la deuxième égalité : ܾݍ + ݎ + 5 = ܾ(ݍ + 3) + ݎ − 1 Puis en développant : ܾݍ + ݎ + 5 = ܾݍ + 3ܾ + ݎ − 1
Puis en simplifiant : 5 = 3ܾ − 1 ⇔ 3ܾ = 6 ⇔ ܾ = 2 : la seule valeur possible dans ce cas est ܾ = 2. Or on sait que ݎ < ܾ et donc ݎ < 2 mais on sait aussi que ݎ ≥ 1 ce qui ne laisse que ݎ = 1 comme possibilité…
En résumé, on cherche tous les entiers positifs ݉ tels que ݉ = 2ݍ + 1 où ݍ est un entier : ce sont tous les entiers positifs impairs !
Exercice 5 :
1) La division euclidienne d’un entier ݊ par 4 donne : ݊ = 4ݍ + ݎ où ݍ ∈ ℤ et 0 ≤ ݎ < 4 ݎ ne peut donc prendre que les valeurs 0, 1, 2 ou 3.
Les entiers de la forme 4ݍ + 0 et 4ݍ + 2 sont pairs
Or, ݊ est un entier impair, les seuls restes possibles sont donc 1 et 3.
2) Soit ݊ un entier naturel impair.
1er cas : ݊ = 4ݍ + 1 donc ݊ଶ = (4ݍ + 1)ଶ = 16ݍଶ+ 8ݍ + 1 ainsi ݊ଶ− 1 = 8(2ݍᇣᇧᇤᇧᇥଶ+ ݍ
∈ℤ
)
2ème cas : ݊ = 4ݍ + 3 donc ݊ଶ = (4ݍ + 3)ଶ = 16ݍଶ+ 24ݍ + 9 ainsi ݊ଶ− 1 = 8(2ݍᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥଶ+ 3ݍ + 1
∈ℤ
) Dans les deux cas, ݊ଶ− 1 est un multiple de 8.
Exercice 6 : (bonus : s’il reste du temps)
1) La colonne de gauche s’obtient en écrivant à chaque étape le quotient de la DE du nombre précédent par 2. La colonne de droite, c’est simplement le produit du nombre précédent par 2.
Les lignes barrées sont celles où le quotient est pair…
2) Prenons par exemple 17 × 13
3) 21 = 2ସ+ 2ଶ+ 2
Ainsi, 21 × 23 = 2ସ× 23 + 2ଶ× 23 + 2× 23
De même, 17 = 2ସ + 2 et 17 × 13 = 2ସ× 13 + 2 × 13
Conclusion : La première colonne a permis de décomposer le premier facteur en somme de puissances de deux et la deuxième colonne a donné le produit du deuxième facteur par chacune de ces puissances de deux, il reste alors à additionner chacun de ces produits.
178 42 1
13 26 10452 208 221
