Corrigé du DS du 20/10/17
Exercice 1 :
1. (a) 2ଷ = 8 ≡ 1[7] donc, pour tout entier naturel ݊, 2ଷ = ሺ2ଷሻ ≡ 1[7] ≡ 1[7]
(b) 2017 = 3 × 672 + 1 ainsi 2ଶଵ = 2ଷ×ଶ × 2 ≡ 1 × 2[7] ≡ 2[7]
On effectue la DE de 2018 par 7 :
2018 = 288 × 7 + 2 ≡ 2[7] donc 2018ଶଵ ≡ 2ଶଵ[7] ≡ 2[7]
2. 3ଷ = 27 = −1 + 28 ≡ −1[7] donc, pour tout entier naturel ݊, 3ଷ = ሺ3ଷሻ ≡ ሺ−1ሻ[7]
3. D’après ce qui précède, 2ଷ + 3ଷ ≡ 1 + ሺ−1ሻ[7]
Si ݊ est pair, ሺ−1ሻ = 1 et donc 1 + ሺ−1ሻ = 2, ainsi 2ଷ + 3ଷ ≡ 2[7]
Si ݊ est impair, ሺ−1ሻ = −1 et donc 1 + ሺ−1ሻ = 0, ainsi 2ଷ + 3ଷ ≡ 0[7] et dans ce cas, 2ଷ + 3ଷ est un multiple de 7.
Conclusion : 2ଷ + 3ଷ est un multiple de 7 pour tout entier naturel impair . Applications : pour ݊ = 1, 2ଷ + 3ଷ = 8 + 27 = 35 = 7 × 5
pour ݊ = 3, 2ଷ + 3ଷ = 512 + 19 683 = 20 195 = 7 × 2 885 …
Exercice 2 :
1. ݑଵ = 17, ݑଶ = 137, ݑଷ = 1 097 et ݑସ = 8 777.
2. Il semble que 7 soit le chiffre des unités de ݑ, pour tout ݊ ≥ 1. 3. L’initialisation est immédiate : ݑଵ = 17 ≡ 7[10]
Supposons que ݑ ≡ 7[10] pour un certain entier naturel ݊ non nul et montrons que ݑାଵ ≡ 7[10] .
ݑ ≡ 7[10] ⇒ 8ݑ ≡ 56[10] ≡ 6[10] ⇒ 8ݑ+ 1 ≡ 7[10] ⇒ ݑାଵ ≡ 7[10]
Conclusion : Pour tout ݊ ≥ 1, le chiffre des unités de ݑ est 7.
Exercice 3 :
49ݔଶ− ݕଶ = 13 ⇔ ሺ7ݔሻଶ− ݕଶ = 13 ⇔ ሺ7ݔ − ݕሻሺ7ݔ + ݕሻ = 13
Sachant que l’on cherche des entiers naturels, 7ݔ + ݕ et 7ݔ − ݕ sont des diviseurs positifs de 13.
Or, les seuls diviseurs positifs de 13 sont 1 et 13 et comme 7ݔ + ݕ > 7ݔ − ݕ : On obtient comme unique solution : ൜ 7ݔ − ݕ = 17ݔ + ݕ = 13 ce qui donne ൜ݔ = 1ݕ = 6
Conclusion : Il existe un unique couple d’entiers naturels solution de 49ݔଶ− ݕଶ = 13 : c’est le couple ሺ1; 6ሻ.
