LMSC Corrigé du DS n°9 Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
A ;B ;B ;B ;C ;C, A Exercice 4
1. On a 𝑎𝑥 +𝑥𝑏𝑥2+3=𝑎𝑥3+3𝑎𝑥+𝑏𝑥𝑥2+3 = 𝑓(𝑥). En identifiant les coefficients, on a : 𝑎 = −1 et 3𝑎 + 𝑏 = 5 soit 𝑏 = 8
2. 𝑓′(𝑥) =(−3𝑥2+5)(𝑥(𝑥2+3)−(5𝑥−𝑥2 3)×2𝑥
+3)2 =−3𝑥4−9𝑥2+5𝑥(𝑥22+15−10𝑥2+2𝑥4
+3)2 = −𝑥4(𝑥−14𝑥2 2+15
+3)2 .
3. On utilise l’indication : on a −(𝑥2− 1)(𝑥2+ 15) = −𝑥4− 15𝑥2+ 𝑥2+ 15 = −𝑥4− 14𝑥2+ 15. L’égalité est bien vérifiée.
Le signe de 𝑓′(𝑥) dépend du signe du numérateur puisque pour tout réel 𝑥, (𝑥2+ 3)2> 0.
Par ailleurs, comme pour tout réel 𝑥, 𝑥2+ 15 > 0, on étudie le signe de −(𝑥2− 1) (dont les racines sont −1 et 1) qui donnera directement le signe de 𝑓′(𝑥) :
𝑥 −∞ −1 1 +∞
𝑓′(𝑥) − 0 + 0 − 4. Le tableau complet de variation de 𝑓 est le suivant :
𝑥 −∞ −1 1 +∞
𝑓′(𝑥) 0 0
𝑓
1
−1
5. L’équation de la tangente T au point d’abscisse 0 est : 𝑦 = 𝑓′(0)𝑥 + 𝑓(0) soit 𝑇 ∶ 𝑦 =5
3𝑥.
6. Posons 𝐻(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑦 soit 𝐷(𝑥) = −𝑥 + 8𝑥
𝑥2+3− (−𝑥) = 8𝑥
𝑥2+3.
Le signe de 𝐻(𝑥) dépend du numérateur puisque pour tout 𝑥 réel 𝑥2+ 3 > 0. D’où le tableau de signe de 𝐻(𝑥) :
𝑥 −∞ 0 +∞
𝐻(𝑥) − 0 + On conclut sur la position relative :
Pour 𝑥 ∈ ℝ+, 𝐻(𝑥) ≥ 0 ⟺ 𝑓(𝑥) − 𝑦 ≥ 0 ⇔ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑦 ⇔ 𝐶𝑓 est au-dessus de la droite 𝐷 sur ℝ+.
Pour 𝑥 ∈ ℝ−, 𝐻(𝑥) ≤ 0 ⟺ 𝑓(𝑥) − 𝑦 ≤ 0 ⇔ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑦 ⇔ 𝐶𝑓 est en-dessous de la droite 𝐷 sur ℝ−.
7.
