DS du 20/01/2020 - Corrigé Exercice 1
: (5 points)1. a) = + 34 − 11 × ⇔ 250 = 89 + 23 ⇔ 23 = 250 − 89
⇔ 23 = 161 ⇔ =161 23 = 7 La raison est donc égale à 7.
= + 34 ⇔ 250 = + 34 × 7 ⇔ 250 = + 238 ⇔ = 250 − 238 = 12 Le premier terme est égal à 12.
Autre calcul possible : = + 11 ⇔ 89 = + 11 × 7 ⇔ 89 = + 77 ⇔ = 12 b) = + 90 = 12 + 90 × 7 = 12 + 630 + 642
2. = 4 + 6 + 8 + ⋯ + 308 = 22 + 3 + ⋯ + 154 = 21 + 2 + 3 + ⋯ + 154 − 1
= 2 154 × 155
2 − 1 = 23 868.
3.
a " = "#× $# ⇔ 506,25 = 225 × $# ⇔ $# = 506,25
225 = 2,25 ⇒ $ = 1,5 car $ > 0 La raison $ est donc égale à 1,5.
"# = "× $# ⇔ 225 = "× 2,25 ⇔ " = 225
2,25 = 100.
Le premier terme " est égal à 100.
b) *= " + "+ ⋯ + "= 100 + 100 × 1,5 + 100 × 1,5#+ ⋯ + 100 × 1,5
= 1001 + 1,5 + 1,5#+ ⋯ + 1,5 = 100 +1 − 1,5
1 − 1,5 , = 100 +1 − 1,5
−0,5 , = −2001 − 1,5
= 2001,5− 1 ≈ 17 100 arrondi à l’unité.
Exercice 2
: (4,5 points)1. = 3000 + 80 × 1 − 5
100 = 3080 × 0,95 = 2 926.
2. Pour tout nombre entier naturel . : /0 = /+ 80 × 1 − 5
100 = /+ 80 × 0,95 = /× 0,95 + 80 × 0,95 = 0,95/+ 76.
3. a) "/0 = /0− 1520 = 0,95/+ 76 − 1520 = 0,95/ − 1444 Or "/ = /− 1520 donc / = "/+ 1520
Ainsi "/0 = 0,95"/+ 1520 − 1444 = 0,95"/+ 1444 − 1444 = 0,95"/. La suite "/ est bien géométrique de raison 0,95 et de premier terme :
" = − 1520 = 3000 − 1520 = 1480.
b) On en déduit que, pour tout nombre entier naturel ., "/ = "× $/ = 1480 × 0,95/ Ainsi, / = "/ + 1520 = 1480 × 0,95/+ 1 520
4.
. ← 0 ← 3 000
Tant que ≥ 2000 . ← . + 1 ← 0,95 + 76 Fin Tant que
Exercice 3
: (6,5 points)On se place dans un repère orthonormé.
1. On donne les points suivants : =1; −2, ?2; @ et A4; 2 − @ où @ est un paramètre réel.
a) =?BBBBB⃗ a pour coordonnées DEF− EG
HF− HGI = 2 − 1@ − −2 = D 1
@ + 2I
=ABBBBB⃗ a pour coordonnées DEJ− EG
HJ− HGI = 4 − 1
2 − @ − −2 = D 3 4 − @I
=?BBBBB⃗. =ABBBBB⃗ = EE*+ HH*= 1 × 3 + @ + 24 − @ = 3 + 4@ − @#+ 8 − 2@ = −@#+ 2@ + 11 b) Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si les vecteurs =?BBBBB⃗ et =ABBBBB⃗ sont orthogonaux si et seulement si =?BBBBB⃗. =ABBBBB⃗ si et seulement si −@#+ 2@ + 11 = 0
∆= 48 et, @ = −2 − √48
2 × −1 = 1 + 2√3 et @# =−2 + √48
2 × −1 = 1 − 2√3 Le triangle =?A soit rectangle en = pour @ = 1 + 2√3 ou @ = 1 − 2√3.
2. On donne les points : N1; 3, O−2; −1 et P3; 1.
a) BBBBB⃗ a pour coordonnées ON DEQ− ER
HQ− HRI = 1 − −23 − −1 = D3 4I OPBBBBB⃗ a pour coordonnées DES − ER
HS − HRI = 3 − −21 − −1 = D5 2I ONBBBBB⃗. OPBBBBB⃗ = EE*+ HH*= 3 × 5 + 4 × 2 = 15 + 8 = 23
Remarque : d’après la figure, l’angle formé par les deux vecteurs ONBBBBB⃗ et OPBBBBB⃗ est aigu, obtenir un produit scalaire positif est plutôt rassurant.
b) On utilise une autre écriture du produit scalaire : ONBBBBB⃗. OPBBBBB⃗ = ON × OP × cos NOPT
Il nous faut donc les longueurs FE et FG : ON = √3#+ 4# = 5 et OP = √5#+ 2# = √29 ONBBBBB⃗. OPBBBBB⃗ = ON × OP × cosNOPT ⇔ 23 = 5√29 × cosNOPT ⇔ cosNOPT = 23
5√29= 23√29 145 On en déduit que NOPT ≈ 31°.
c) On utilise la formule de la projection orthogonale :
ONBBBBB⃗. OPBBBBB⃗ = OVBBBBB⃗. OPBBBBB⃗ = OV × OP car les vecteurs OVBBBBB⃗ et OP BBBBBB⃗sont colinéaires et de même sens.
23 = OV × √29 ⇔ OV = 23
√29 =23√29 29 ≈ 4,3.
d) L’ensemble des points W qui vérifie WNBBBBBB⃗. WPBBBBBB⃗ = 0 est, d’après le cours, le cercle de diamètre [EG].
Exercice 4
: (4 points) 1. a X1 + ℎ = 32 + 1 + ℎ = 3
3 + ℎ ET ON NE SIMPLIFIE PAS PAR 3 ‼‼‼!
X1 = 3 2 + 1 =3
3 = 1
Taux de variation de X entre 1 et 1 + ℎ : X1 + ℎ − X1
ℎ =
3 + ℎ − 13
ℎ =
3 − 3 + ℎ 3 + ℎ
ℎ =
3 − 3 − ℎ 3 + ℎ
ℎ =1
ℎ − ℎ
3 + ℎ = − 1 3 + ℎ
(La simplification par ℎ est possible car il est multiplié au numérateur et au dénominateur).
b) Lorsque ℎ tend vers 0, le taux de variation tend vers −, on en déduit que X est dérivable en 1 et que X*1 = −.
2. e−1 + ℎ = 5−1 + ℎ#− 3−1 + ℎ + 2 = 51 − 2ℎ + ℎ# + 3 − 3ℎ + 2
= 5 − 10ℎ + 5ℎ#+ 5 − 3ℎ = 5ℎ#− 13ℎ + 10 et e−1 = 10 e−1 + ℎ − e−1
ℎ = 5ℎ#− 13ℎ + 10 − 10
ℎ =ℎ5ℎ − 13
ℎ = 5ℎ − 13 Pour les mêmes raisons qu’au 1, e est dérivable en −1 et e*−1 = −13.
