Corrigé du DS du 16/01/2018 Exercice 1

Corrigé du DS du 16/01/2018 Exercice 1 :

1) ݔ et ݕ sont des entiers naturels donc 2ݔ + ݕ est aussi un entier naturel et 3ݔ − ݕ est un entier relatif.

Si ሺ2ݔ + ݕሻሺ3ݔ − ݕሻ = 4, alors 3ݔ − ݕ est forcément positif (en effet s’il était négatif, le produit serait négatif) donc 3ݔ − ݕ est lui aussi un entier naturel.

ሺ2ݔ + ݕሻሺ3ݔ − ݕሻ = 4 implique donc que 2ݔ + ݕ et 3ݔ − ݕ sont des diviseurs positifs de 4.

2) ܦ^ାሺ4ሻ = ሼ1; 2; 4ሽ donc les valeurs possibles sont :

൜2ݔ + ݕ = 13ݔ − ݕ = 4 ou ൜2ݔ + ݕ = 23ݔ − ݕ = 2 ou ൜2ݔ + ݕ = 43ݔ − ݕ = 1

Le premier système donne ݔ = 1 et ݕ = −1 ce qui est impossible car ݕ est un entier naturel Le deuxième système donne ݔ =^ସ_ହ et ݕ =^ଶ_ହ ce qui est impossible car ݔ et ݕ sont des entiers.

Le troisième système donne ݔ = 1 et ݕ = 2 ce qui est l’unique couple solution ! Conclusion : les seules valeurs possibles sont ݔ = 1 et ݕ = 2

Exercice 2 : Critère de divisibilité d’un nombre par 7

1) 1106 est-il divisible par 7 : 110 − 2 × 6 = 110 − 12 = 98 or 98 = 7 × 14 donc 1106 est divisible par 7.

638 est-il divisible par 7 : 63 − 2 × 8 = 63 − 16 = 47 or 47 n’est pas divisible par 7 donc 638 n’est pas divisible par 7.

2) On se propose maintenant de démontrer ce critère pour un nombre de trois chiffres.

a) ݊ = ܽ × 10²+ ܾ × 10 + ܿ = 100ܽ + 10ܾ + ܿ

Or 100 = 7 × 14 + 2 ≡ 2[7] et 10 ≡ 3[7] : donc 100ܽ ≡ 2ܽ[7] et 10ܾ ≡ 3ܾ[7]

Donc 100ܽ + 10ܾ + ܿ ≡ 2ܽ + 3ܾ + ܿ[7]

On en déduit que : ݊ ≡ 2ܽ + 3ܾ + ܿ [7].

b) On appelle ݉ l’entier égal à la différence décrite ci-dessus : c’est-à-dire ݉ = ܾܽതതത − 2ܿ = 10ܽ + ܾ − 2ܿ

On sait que 10 ≡ 3[7] donc 10ܽ ≡ 3ܽ[7]

On en déduit que 10ܽ + ܾ − 2ܿ ≡ 3ܽ + ܾ − 2ܿ ≡ 3ܽ + ܾ − 2ܿ[7]

Conclusion : ݉ ≡ 3ܽ + ܾ − 2ܿ [7].

c) ݊ ≡ 2ܽ + 3ܾ + ܿ [7] et ݉ ≡ 3ܽ + ܾ − 2ܿ [7]

On en déduit que −3݉ ≡ −9ܽ − 3ܾ + 6ܿ [7]

et donc que ݊ − 3݉ ≡ 2ܽ + 3ܾ + ܿ − 9ܽ − 3ܾ + 6ܿ [7]

C’est-à-dire ݊ − 3݉ ≡ −7ܽ + 7ܿ [7] ≡ 0 [7]

De même 2݊ ≡ 4ܽ + 6ܾ + 2ܿ [7] donc ݉ + 2݊ ≡ 3ܽ + ܾ − 2ܿ + 4ܽ + 6ܾ + 2ܿ [7]

C’est-à-dire ݉ + 2݊ ≡ 7ܽ + 7ܾ [7] ≡ 0[7]

d) On sait que ݊ − 3݉ ≡ 0 [7] et ݉ + 2݊ ≡ 0[7] donc ݊ ≡ 3݉ [7] et ݉ ≡ −2݊[7]

݉ ≡ 0 [7] ⇔ 3݉ ≡ 0 [7] or ݊ ≡ 3݉ [7] donc ݊ ≡ 0[7] et donc ݉ ≡ 0 [7] ⇒ ݊ ≡ 0 [7]

݊ ≡ 0 [7] ⇔ −2݊ ≡ 0 [7] or ݉ ≡ −2݊ [7] donc ݉ ≡ 0[7] et donc ݊ ≡ 0 [7] ⇒ ݉ ≡ 0 [7]

On en déduit que : ݉ ≡ 0 [7] ⇔ ݊ ≡ 0 [7]

e) Si ݉ est un multiple de 7 alors ݊ aussi et inversement ce qui justifie bien le critère de divisibilité par 7 décrit dans l’énoncé.

Exercice 3 :

Notons ݊ le code de la carte de crédit d’Augustin.

D’après l’énoncé, ݊ + 17 = ܽ² et ݊ + 86 = ܾ² où ܽ et ܾ sont des entiers naturels (on en déduit que ܾ ≥ ܽ)

݊ étant un entier supérieur ou égal à 1 000, ݊ + 17 ≥ 1017 et donc ܽ ≥ 32 (en effet 31² = 961 et 32² = 1 024). Par un raisonnement identique, ܾ ≥ 33.

Par différence, on obtient ܾ²− ܽ² = 86 − 17 = 69 ce qui donne ሺܾ − ܽሻሺܾ + ܽሻ = 69

ܾ − ܽ et ܾ + ܽ sont donc des diviseurs positifs de 69. Or ܦ^ାሺ69ሻ = ሼ1; 3; 23; 69ሽ La seule valeur possible pour ܾ + ܽ est 69 car d’après ce qui précède, ܾ + ܽ ≥ 65. On en déduit que ܾ − ܽ = 1.

Le système ቄܾ + ܽ = 69ܾ − ܽ = 1 donne comme solution : ቄܾ = 35ܽ = 34. On obtient alors le code : ݊ = 34²− 17 = 35²− 86 = 1139

Exercice 4 :

1) 14ݔ² + 7ݕ² = 7ሺ2ݔ^ଶ+ ݕ^ଶሻ avec 2ݔ^ଶ + ݕ^ଶ ∈ ℤ donc 14ݔ² + 7ݕ² est un multiple de 7.

Si l’équation (E) a des solutions, cela signifie que 10^ଶ௡ est divisible par 7.

Or 10^ଶ௡= 2^ଶ௡× 5^ଶ௡ donc 10^ଶ௡ n’a pour diviseurs que des multiples de 2 et de 5 (on verra plus tard une réponse plus rigoureuse) et ne peut pas avoir 7 pour diviseur

Conclusion : l’équation (E) : 14ݔ² + 7ݕ² = 10^ଶ௡ où ݔ et ݕ sont des entiers relatifs n’a pas de solutions.

2) On considère l’équation notée (F) : 3ݔ² + 7ݕ² = 10^ଶ௡ où ݔ et ݕ sont des entiers relatifs.

a) 100 = 7 × 14 + 2 donc 100 ≡ 2 ሺ7ሻ.

Si ሺݔ ; ݕሻ est solution de (F) alors 3ݔ² + 7ݕ² = 10^ଶ௡ ⇔ 3ݔ² = −7ݕ² + 10^ଶ௡

Or −7ݕ^ଶ ≡ 0 [7] donc 3ݔ² ≡ 10^ଶ௡[7] . De plus 100 ≡ 2 [7] donc 10^ଶ௡= 100^௡ ≡ 2^௡ [7]

Conclusion : Si ሺݔ ; ݕሻ est solution de (F) alors 3ݔ^ଶ ≡ 2^௡ [7].

b)

Reste de la division euclidienne

de ݔ par7 0 1 2 3 4 5 6

Reste de la division euclidienne

de 3ݔ² par7. 0 3 5 6 6 5 3

c)

݊ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Reste de la division

euclidienne de 2^௡ par7. 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1

D’après le tableau ci-dessus, il semble que :

Si ݊ ≡ 0 [3], alors 2^௡ ≡ 1 [7] ; Si ݊ ≡ 1 [3], alors 2^௡ ≡ 2 [7] ; Si ݊ ≡ 2 [3], alors 2^௡ ≡ 4 [7].

Démontrons tout d’abord que 2^ଷ௞ା௥ ≡ 2^௥ [7] où ݇ et ݎ sont des entiers naturels : 2^ଷ௞ା௥ = 2^ଷ௞ × 2^௥ = 8^௞× 2^௥ ≡ 1^௞× 2^௥ ≡ 2^௥ ሺ7ሻ

Pour tout ݊ ∈ ℕ, ݊ = 3݇ + ݎ où ݎ est le reste de la DE de ݊ par 3 et ݇ le quotient avec ݎ ∈ ሼ0; 1; 2ሽ.

Donc, pour tout ݊ ∈ ℕ, 2^௡ = 2^ଷ௞ା௥ ≡ 2^௥ [7]. Or ݎ ∈ ሼ0; 1; 2ሽ, donc d’après le tableau ci-dessus, 2^௡ est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.

D’après la question 2)a), si ሺݔ ; ݕሻ est solution de (F) alors 3ݔ² ≡ 2^௡ [7]. D’après la question 2)b), 3ݔ² est congru à 0, 3, 5 ou 6 modulo 7.

Enfin, 2^௡ est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.

3ݔ² et 2^௡ n’ont donc pas le même reste dans la DE par 7 ce qui contredit 3ݔ² ≡ 2^௡ [7]. Conclusion : l’équation (F) n’admet pas de solution.

Exercice 5 : Bonus, seulement s’il reste du temps

Répondre au problème revient à résoudre l’équation 5ݔ + 12ݕ = 200 où ݔ et ݕ sont des entiers naturels.

La résolution de l’équation diophantienne donne ݔ = 40 − 12݇ et ݕ = 5݇ où ݇ décrit l’ensemble ℤ.

Il faut que ݔ ≥ 0 donc ݇ ≤ 3 et ݕ ≥ 0 donc ݇ ≥ 0 : ݇ prend donc 4 valeurs possibles : 0, 1, 2 et 3 Solutions : ሺ40; 0ሻ, ሺ28; 5ሻ, ሺ16; 10ሻ; ሺ4; 15ሻ.