Corrigé du DM du 05/10/2018 Exercice 1

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Corrigé du DM du 05/10/2018 Exercice 1 :

Un nombre entier a pour reste 35 dans la division par 69 : ܽ = 69ݍ + 35 où ݍ ∈ ℤ Dans la division par 75, il a le même quotient et pour reste 17 : ܽ = 75ݍ + 17 Ainsi 75ݍ + 17 = 69ݍ + 35 ⇔ 6ݍ = 18 ⇔ ݍ = 3

Le nombre cherché est donc ܽ = 69 × 3 + 35 = 242 (on a bien 75 × 3 + 17 = 242 … ) Exercice 2 : ܽ et ܾ désignent deux entiers relatifs non nuls.

1) ሺܽ + ܾ)^ଷ = ሺܽ + ܾ)ሺܽ + ܾ)^ଶ = ሺܽ + ܾ)ሺܽ^ଶ+ 2ܾܽ + ܾ^ଶ) = ܽ^ଷ+ 3ܽ^ଶܾ + 3ܾܽ^ଶ + ܾ^ଷ. 2) 3 divise ሺܽ + ܾ)^ଷ⇔ሺܽ + ܾ)^ଷ = 3݇ où ݇ ∈ ℤ⇔ܽ^ଷ+ 3ܽ^ଶܾ + 3ܾܽ^ଶ+ ܾ^ଷ = 3݇ où ݇ ∈ ℤ

⇔ܽ^ଷ+ ܾ^ଷ = 3݇ − 3ܽ^ଶܾ − 3ܾܽ^ଶ = 3ሺ݇ − ܽ^ଶܾ − ܾܽ^ଶ) = 3݇^ᇱ où ݇′ ∈ ℤ

⇔3 divise ܽ^ଷ+ ܾ^ଷ

Exercice 3 :

En effectuant la division euclidienne par 5, le reste étant compris entre 0 et 4 (bornes incluses), tout entier naturel ݊ s’écrit sous la forme 5݇ ou 5݇ + 1 ou 5݇ + 2 ou 5݇ + 3 ou encore 5݇ + 4 où ݇ est un entier.

1^er cas : ݊ = 5݇

݂ሺ݊) = ሺ5݇ − 11)ሺ5݇ − 22)ሺ5݇ − 33)ሺ5݇ − 44)ሺ૞࢑ − ૞૞)

= ૞ × ሺ5݇ − 11)ሺ5݇ − 22)ሺ5݇ − 33)ሺ5݇ − 44)ሺ࢑ − ૚૚)ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

∈ℤ

donc ݂ሺ݊) est un multiple de 5.

2^ème cas : ݊ = 5݇ + 1

݂ሺ݊) = ሺ૞࢑ + ૚ − ૚૚)ሺ5݇ + 1 − 22)ሺ5݇ + 1 − 33)ሺ5݇ + 1 − 44)ሺ5݇ + 1 − 55)

= ૞ × ሺ࢑ − ૛)ሺ5݇ − 21)ሺ5݇ − 32)ሺ5݇ − 43)ሺ݇ − 54)ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

∈ℤ

3^ème cas : ݊ = 5݇ + 2

݂ሺ݊) = ሺ5݇ + 2 − 11)ሺ૞࢑ + ૛ − ૛૛)ሺ5݇ + 2 − 33)ሺ5݇ + 2 − 44)ሺ5݇ + 2 − 55)

= ૞ × ሺ5݇ − 9)ሺ࢑ − ૝)ሺ5݇ − 31)ሺ5݇ − 42)ሺ݇ − 53)ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

∈ℤ

4^ème cas : ݊ = 5݇ + 3

݂ሺ݊) = ሺ5݇ + 3 − 11)ሺ5݇ + 3 − 22)ሺ૞࢑ + ૜ − ૜૜)ሺ5݇ + 3 − 44)ሺ5݇ + 3 − 55)

= ૞ × ሺ5݇ − 8)ሺ5݇ − 19)ሺ࢑ − ૟)ሺ5݇ − 41)ሺ݇ − 52)ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

∈ℤ

5^ème cas : ݊ = 5݇ + 4

݂ሺ݊) = ሺ5݇ + 4 − 11)ሺ5݇ + 4 − 22)ሺ5݇ + 4 − 33)ሺ૞࢑ + ૝ − ૝૝)ሺ5݇ + 4 − 55)

= ૞ × ሺ5݇ − 7)ሺ5݇ − 18)ሺ5݇ − 29)ሺ࢑ − ૡ)ሺ5݇ − 51)ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

∈ℤ

On vient de démontrer que, pour chaque écriture possible de ݊, ݂ሺ݊) est un multiple de 5.

Conclusion : ݂ሺ݊) est un multiple de 5 pour tout entier naturel ݊.

Exercice 4 :

Après modification d’écriture, on obtient ܽ = 2݊²+ 7݊ + 12 = ሺ2݊ + 1)ሺ݊ + 3) + 9 Ce n’est l’écriture de la division euclidienne de ܽ par ܾ que si 2݊ + 1 > 9 ⇔ ݊ > 4 Autrement dit, si ݊ ≥ 5, le quotient de la DE de ܽ par ܾ est ݊ + 3 et le reste est 9.

Il reste à étudier les autres cas :

Si ݊ = 1, ܽ = 21 et ܾ = 3 donc ݍ = 7 et ݎ = 0 Si ݊ = 2, ܽ = 34 et ܾ = 5 donc ݍ = 6 et ݎ = 4 Si ݊ = 3, ܽ = 51 et ܾ = 7 donc ݍ = 7 et ݎ = 2 Si ݊ = 4, ܽ = 72 et ܾ = 9 donc ݍ = 8 et ݎ = 0

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Exercice 5 :

Amorce : Pour ݊ = 1, 4^{ସ×ଵାଶ}− 3^ଵାଷ = 4^଺ − 3^ସ = 4015 = 11 × 365

Hérédité : Supposons que, pour un certain entier naturel non nul ݇, 4^ସ௞ାଶ− 3^௞ାଷ est divisible par 11, montrons que 4^{ସሺ௞ାଵ)ାଶ}− 3^{ሺ௞ାଵ)ାଷ} est divisible par 11.

On part de 4^ସ௞ାଶ− 3^௞ାଷ = 11ݍ où ݍ ∈ ℤ et on doit montrer qu’il existe un entier ݍ′ tel que 4^ସ௞ା଺− 3^௞ାସ= 11ݍ′.

4^ସ௞ା଺− 3^௞ାସ= 4^ସ × ૝^૝࢑ା૛ − 3 × 3^௞ାଷ= 4^ସ൫૜^࢑ା૜+ ૚૚ࢗ൯ − 3 × 3^௞ାଷ = 3^௞ାଷሺ4^ସ− 3) + 11ݍ × 4^ସ

= 3^௞ାଷ× 253 + 11ݍ × 4^ସ = 11 ቆ23 × 3ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ^௞ାଷ+ 4^ସݍ

∈ℤ

ቇ On vient donc de prouver l’hérédité de cette propriété.

Conclusion : Pour tout entier naturel ݊ supérieur ou égal à 1, 4^ସ௡ାଶ− 3^௡ାଷ est divisible par 11.

Exercice 6 :

1) La colonne de gauche s’obtient en écrivant à chaque étape le quotient de la DE du nombre précédent par 2. La colonne de droite correspond simplement au produit du nombre précédent par 2.

Les lignes barrées sont celles où le quotient est pair…

2) Prenons par exemple 17 × 13

3) Dans l’exemple proposé : 21 = 2^ସ + 2^ଶ+ 2^଴ Ainsi, 21 × 23 = 2^ସ× 23 + 2^ଶ× 23 + 2^଴× 23

De même, 17 = 2^ସ + 2^଴ et 17 × 13 = 2^ସ× 13 + 2^଴ × 13

Conclusion : La première colonne a permis de décomposer le premier facteur en somme de puissances de deux et la deuxième colonne a donné le produit du deuxième facteur par chacune de ces puissances de deux, il reste alors à additionner chacun de ces produits.

178 42 1

13 26 10452 208 221