CHAPITRE 1 CORRIGE FICHE PARTIE 1_TRAVAIL AUTONOME 1ere
Corrigé exercice 27 :
1. est donnée par sa forme factorisée : , et .
D’après le signe de , est associée à la courbe .
est donnée par sa forme développée : , et .
La courbe passant par le point de coordonnées est la courbe .
est donnée par sa forme canonique : , et .
La courbe ayant pour sommet le point de coordonnées est la courbe .
2. Pour déterminer l’ordonnée du point d’intersection entre et l’axe des ordonnées, il faut calculer . On a :
L’ordonnée du point d’intersection entre et l’axe des ordonnées est donc .
Corrigé exercice 33 :
1. Pour déterminer l’image de par , il faut calculer . On utilise donc la forme développée.
2. Forme canonique 3. Forme factorisée 4. Forme développée 5. Forme canonique
Corrigé exercice 56 :
Fonction :
● On résout l’équation :
Cette équation n’admet pas de solution dans . En effet, un carré est toujours positif dans .
n’admet donc pas d’antécédent par .
● On résout l’équation :
ou ou ou ou Les antécédents de par sont et .
● On résout l’équation :
ou ou
Les antécédents de par sont et .
Fonction :
● On résout l’équation :
ou ou
ou ou Les antécédents de par sont et .
● On résout l’équation :
ou ou ou ou Les antécédents de par sont et .
● On résout l’équation :
L’antécédent de par est .
Corrigé exercice 59 :
Les antécédents de par sont et .
Donc, les points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses ont pour abscisse et .
Donc, on peut écrire la forme factorisée de avec et .
On obtient donc : .
De plus, l’image de par est , soit . D’où :
On conclut que l’expression de est .
Corrigé exercice 63 :
1.
a. La parabole est « tournée vers le bas ». Donc, est négatif.
b. Le point d’intersection de la parabole avec l’axe des ordonnées a pour ordonnées . Donc : . Les points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses ont pour abscisse et .
Donc : et .
Le sommet de la parabole a pour coordonnées .
Donc : et .
2. D’après les informations précédentes, on peut écrire que :
, soit .
Or, on sait que : .
D’où :
Ainsi : .
Corrigé exercice 64 :
1. La fonction carré n’étant pas monotone sur , on dresse le tableau de variations :
D’après le tableau de variations précédent, on conclut que : .
2. On considère un réel tel que .
La fonction carré est strictement croissante sur . Donc :
3. La fonction carré n’étant pas monotone sur , on dresse le tableau de variations :
D’après le tableau de variations précédent, on conclut que : .
4. On considère un réel tel que .
La fonction carré est strictement décroissante sur . Donc :
5. La fonction carré n’étant pas monotone sur , on dresse le tableau de variations :
D’après le tableau de variations précédent, on conclut que : .
6. On considère un réel tel que .
La fonction carré est strictement décroissante sur . Donc :
Enfin : .
Corrigé exercice 65 :
1. On considère un réel tel que . On ajoute 5 :
La fonction carré est strictement croissante sur .
Donc : On soustrait :
2. On considère un réel tel que . On soustrait 4 :
La fonction carré est strictement décroissante sur . Donc :
On multiplie par le nombre négatif :
On ajoute :
Corrigé exercice 66 :
1. On résout : Donc :
Donc : .
2. On résout : D’où :
Donc :
Donc : .
3. On résout : D’où :
Donc : ou
ou
Donc : .
4. On résout : D’où :
Un carré est positif sur .
Cette inéquation n’admet pas de solution.
Donc : .
Corrigé exercice 67 :
est d’abord croissante puis décroissante. On en déduit que : .
L’expression développée de est : .
Le point de d'abscisse a pour ordonnée . On peut donc en déduire que , soit .
Les antécédents de par sont et , soit .
On peut donc écrire :
Toutes les fonctions avec et telles que répondent aux conditions de l’exercice.
Par exemple, on prend et .
peut donc avoir comme expression :
● car
● car
Corrigé exercice 70 :
1. On considère deux réels et tels que : Alors :
car la fonction carré est décroissante sur
Donc, la fonction est décroissante sur . 2. Voici le tableau de variations de :
Corrigé exercice 71 :
1.
a. On considère deux réels et tels que :
Alors :
car la fonction carré est strictement décroissante sur
Donc, la fonction est croissante sur . b. Voici le tableau de variations de :
2. La fonction est donnée par sa forme canonique. On remarque que : et .
Une équation de l’axe de symétrie de est donc . Le sommet de a donc pour coordonnées .
Corrigé exercice 74 :
Pour tout réel , on a :
donc d’où soit
De plus : .
Donc, la fonction admet pour maximum sur . Il est atteint pour .
Corrigé exercice 75 :
1. On considère deux réels et tels que : Alors :
donc car la fonction carré est strictement décroissante sur .
d’où soit donc
Donc, la fonction est décroissante sur .
2. Voici le tableau de variations de :
3. Pour tout réel , on a :
soit soit .
De plus : donc, la fonction admet pour minimum sur . Il est atteint pour .
Corrigé exercice 77 :
1. Pour tout réel , on a :
La forme développée de est donc .
Autre possibilité :
2.
a. En utilisant la forme canonique de , , on conclut que la droite d’équation est l’axe de symétrie .
Son sommet a pour coordonnées .
b. En utilisant la forme factorisée de , , on connaît les solutions de
, soit et .
De plus : . est donc d’abord positive, puis négative et de nouveau positive.
On peut dresser le tableau de signes suivant :
Corrigé exercice 78 :
1. Voici le tableau de signes de :
2. D’après ce tableau de signes, on peut écrire la forme factorisée de .
Ainsi : .
Par lecture graphique, on a : .
Donc : soit donc soit
En conclusion, on a : .
Corrigé exercice 81 :
Dans la suite, on considère que les fonctions affines sont de la forme avec et réels.
1. Cette expression est le produit de deux fonctions affines.
On résout donc : si et seulement si ( ).
On résout : si et seulement si ( ).
On obtient le tableau de signes suivant :
2. Par lecture du tableau de signes précédent, on obtient : a.
b.
c.
Corrigé exercice 82 :
Pour résoudre de telles inéquations, on doit établir les tableaux de signes des fonctions.
Dans la suite, on considère que les fonctions affines sont de la forme avec et réels.
1. Cette expression est le produit de deux fonctions affines.
On résout donc : si et seulement si ( ).
On résout : si et seulement si ( ).
On obtient le tableau de signes suivant :
Donc : .
2. Cette expression est le produit de deux fonctions affines.
On résout donc : si et seulement si ( ).
On résout : si et seulement si ( ).
On obtient le tableau de signes suivant :
Donc : .
Corrigé exercice 83 :
1. Pour déterminer les antécédents de par , on résout l’équation .
Donc : si et seulement si ou si et seulement si ou Les antécédents de par sont et .
2. Pour déterminer l’ensemble des abscisses des points de situés au-dessus de l’axe des abscisses, on doit
résoudre : .
si et seulement si
On va donc étudier le signe de .
Dans la suite, on considère que les fonctions affines sont de la forme avec et réels.
L’expression est le produit de deux fonctions affines.
On résout donc : si et seulement si ( ).
On résout : si et seulement si ( ).
On obtient le tableau de signes suivant :
Les solutions de l’inéquation sont donc : .
Donc, l’ensemble des abscisses des points de situés au-dessus de l’axe des abscisses est .
Remarque : L’ensemble des abscisses des points de situés strictement au-dessus de l’axe des abscisses
est .
Corrigé exercice 84 :
1.
a. Voici l’écran de la calculatrice obtenu :
b. D’après ce graphique, on peut conjecturer qu’il existe un seul point d’intersection entre et de coordonnées .
c. D’après ce graphique, on peut conjecturer que la courbe est au-dessus de sur . Les courbes et sont sécantes au point d’abscisse .
2. Pour tout réel , on a :
. Pour démontrer les conjectures précédentes, on étudie le signe de .
On résout : si et seulement si si et seulement si .
De plus, pour tout réel ,
On peut donc en conclure que la courbe est au-dessus de sur et que les courbes et sont sécantes uniquement au point d’abscisse .
Corrigé exercice 85 :
1.
a. Voici l’écran de la calculatrice obtenu :
b. D’après ce graphique, on peut conjecturer qu’il existe deux points d’intersection entre et de
coordonnées approximatives et .
c. D’après ce graphique, on peut conjecturer que la courbe est au-dessus de sur et
sur .
est en-dessous de sur .
2. Pour tout réel , on a :
.
De plus : .
Donc, pour tout réel , on a bien : .
3. Pour démontrer les conjectures précédentes, on étudie le signe de .
L’expression est le produit de deux fonctions affines.
On résout donc :
si et seulement si si et seulement si . On résout : si et seulement si .
On dresse donc le tableau de signes suivant :
On peut donc en conclure que la courbe est au-dessus de sur et sur
. est en-dessous de sur .
On calcule : et .
Les deux points d’intersection entre et sont et .
Corrigé exercice 86 :
1.
a. Pour tout réel , on a :
Donc, pour tout réel , on a : .
b. Pour tout réel ,
Pour tout réel , on a : .
2.
a. La forme la plus adaptée est la forme factorisée.
Pour résoudre l’inéquation , on étudie le signe de .
Dans la suite, on considère que les fonctions affines sont de la forme avec et réels.
L’expression est le produit de deux fonctions affines.
si et seulement si et si et seulement si
On obtient le tableau de signes suivant :
Donc : .
b. La forme la plus adaptée est la forme développée.
soit équivaut à équivaut à .
L’expression est le produit de deux fonctions affines.
si et seulement si et équivaut à
On obtient le tableau de signes suivant :
Donc : .
c. La forme la plus adaptée est la forme canonique.
soit équivaut à équivaut à
soit équivaut à
soit soit d’où soit
Donc : .
Corrigé exercice 88 :
1.
a. Pour tout réel , on a :
.
Donc, pour tout réel , on a : (forme développée).
b. Pour tout réel , on a :
Donc, pour tout réel , on a : (forme factorisée).
2.
a. La forme la plus adaptée est la forme factorisée.
Pour déterminer les antécédents de par , on résout : si et seulement si
ou ou
Les antécédents de par sont donc et .
b. La forme la plus adaptée est la forme canonique.
On a :
Donc : .
c. La forme la plus adaptée est la forme canonique.
Pour tout réel , on a :
soit soit d’où
De plus : .
admet pour maximum sur . Il est atteint pour .
d. La forme la plus adaptée est la forme développée.
Donc : si et seulement si
si et seulement si si et seulement si
si et seulement si ou si et seulement si ou
D’où : .
e. La forme la plus adaptée est la forme développée.
Pour déterminer les coordonnées du point d’intersection de avec l’axe des ordonnées, on calcule : .
Les coordonnées du point d’intersection de avec l’axe des ordonnées sont
donc .
