Fonctions trigonométriques - Corrigé Exercice 1

Fonctions trigonométriques - Corrigé

Exercice 1 :

1. a. est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et ′ = 1 − cos On sait que, pour tout réel et donc en particulier pour tout ∈ , cos ≤ 1 donc ′ ≥ 0 et donc est bien croissante sur .

b. est croissante sur 0; +∞ donc admet pour minimum 0 = 0 − sin0 = 0 Il est donc clair que est positive sur .

2. a. est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et = − sin + = b. D’après la question 1.b, ≥ 0 donc ’ est positive sur et donc est croissante sur .

En utilisant le même raisonnement qu’à la question 1.b, est positive sur . 3. a. D’après la question 2.b, pour tout réel positif, ≥ 0 et donc : cos − 1 +²

2 ≥ 0 ⇔ cos ≥ 1 −² 2

Or, on sait que cos ≤ 1, donc on a bien ∶ 1 −²

2 ≤ cos ≤ 1

b. Soit ≤ 0, alors − ≥ 0, on peut donc lui appliquer l’encadrement du 3.a : 1 −−²

2 ≤ cos− ≤ 1 ⇔ 1 −²

2 ≤ cos ≤ 1

L’encadrement est donc encore vrai lorsque est négatif.

Exercice 2 :

Proposition 1 fausse ∶

est dérivable sur 1; 30 et =− sin × sin − cos × cos

sin² = −sin² + cos ²

sin² .

On en déduit que = − 1

sin² . Ainsi, 42π

3 6 = − 1 sin² 72π3 8

= −1 9√32 ;

<= −1 34

= −4 3

Le coef?icient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point dabscisse 2π

3 est donc −4 3 . à la courbe représentative de au point dabscisse 2π

3 est égal 4 3.

Proposition 2 vraie : =1

2 ⇔ sin3 =1

2 ⇔ 4sin3 −1

26 = 0 ⇔ = 0 ou sin3 =1 2 sin3 =1

2 ⇔ sin3 = sin 7π

68 ⇔ 3 =π

6 + 2Dπ ou 3 = π −π

6 + 2Dπ

⇔ = π

18 +2Dπ

3 ou =5π

18 +2D′π 3 Les solutions sont donc : 0, π

18 +2Dπ

3 , 5π

18 +2D′π

3 où D et Ddésignent des entiers relatifs.

Exercice 3 :

On sait que la fonction sinus est dérivable sur ℝ donc en particulier en 0. La fonction : ↦ sin2 est aussi dérivable sur ℝ donc en particulier en 0 et ^′ = 2 cos2 et donc ^′0 = 2 cos0 = 2 On a donc : lim_K→M0 + ℎ − 0

ℎ = 2 et donc lim_K→MOPQ2ℎ ℎ = 2

R→Mlim

cos − 1

correspond au nombre dérivé de la fonction cosinus en 0, cette limite est donc égale à cos0 = sin0 = 0

sin7

√7 + 3 − √7= sin7 T√7 + 3 + √7U

T√7 + 3 − √7UT√7 + 3 + √7U=sin7 T√7 + 3 + √7U

T√7 + 3U^<− T√7U^< =sin7

3 × T√7 + 3 + √7U Ainsi sin7

√7 + 3 − √7=sin7

× √7 + 3 + √7 3

Comme pour la première limite, on utilise le nombre dérivé de la fonction : ↦ sin7 qui vaut 7 lim_R→Msin7

= 7 et lim_R→M√7 + 3 + √7

3 =2√7

3 ∶ on en déduit que lim^R→M sin7

√7 + 3 − √7=14√7 3

R→V<lim

1 − sin

W − 2 = lim_R→V<sin − 1

2 − W = lim_R→V<sin − 1 − W2 ×1

2 = lim_R→V<sin − sin 7W28 − W2 ×1

2 sin − sin 7W28

− W2 est le taux daccroissementde la fonction sinus en W

2 , il a donc pour limite OPQ7W

28 = cos 7W 28

= 0 Conclusion : lim

R→V<

1 − sin

W − 2 = 0 ×1 2 = 0

√Z + sin^< − √Z= 1

√Z + sin^< − √Z

Notons la fonction ↦\Z + sin^< : lexpression 1

√Z + sin^< − √Z

est linverse du taux daccroissement √Z + sin^< − √Z

de la fonction en 0

est définie et dérivable sur ℝ comme composée de fonctions dérivables et : =2 cossin

2\_{Z + sin}^{2 =}

cossin

\_{Z + sin}^{2 donc} 0=cos0sin0

\_{Z + sin}²₀ ⁼ 1 × 0

√^{Z + 0= 0} Ainsi ∶ lim_R→M√Z + sin^< − √Z

= 0

Pour le passage à l’inverse, il faut donc distinguer deux cas :

R→Mlim

R]M

√Z + sin^< − √Z

= 0^{^} donc lim_R→M

R]M

√Z + sin^< − √Z= +∞

R→Mlim

R_M

√Z + sin^< − √Z

= 0^` donc lim_R→M

R_M

√Z + sin^< − √Z= −∞

N° 37 page 154 :

1) On sait que la fonction sinus est dérivable en 0 et sin′0 = cos0 = 1 On a donc : lim_K→MOPQ0 + ℎ − OPQ 0

ℎ = 1 et donc lim_K→MOPQℎ ℎ = 1 On en déduit que lim_R→M = 1 = 0

La fonction est donc continue en 0.

Elle est ensuite continue sur « le reste de ℝ » (c’est-à-dire 0−∞; 0 et 00; +∞) comme quotient de fonctions continues de dénominateur non nul.

2 Pour tout réel non nul, − =sin −

− =−sin

− = sin

=

Donc la fonction est paire : on en déduit que la courbe de admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.

3)a) est dérivable sur 0−∞; 0 et 00; +∞ comme quotient de fonctions dérivables de dénominateur non nul. Et comme on admet que est dérivable en 0 alors est dérivable sur ℝ.

b) Pour tout réel non nul ∶ ^′ =cos × − 1 × sin

² = cos − sin

²

c) Le dénominateur de ^′ est positif donc ^′ est du signe de son numérateur à savoir cos − sin.

4)a) La fonction est dérivable sur 0; 2W0comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle et, pour tout ∈ 0; 2W0,

^′ = 1 × cos + × − sin − cos = − sin Sur 0; 2W0, − ≤ 0 et sin ≥ 0 sur 0; W0 et sin ≤ 0W; 2W0

Par produit, on en déduit que ^′ ≤ 0 sur 0; W0 et ^′ ≥ 0 sur W; 2W0

Finalement, est décroissante sur 0; W0 et croissante sur W; 2W0. D’où le tableau de variations :

D’après le tableau de variations de la fonction , on en déduit que ≤ 0 sur 0; W0.

De plus la fonction est continue et strictement croissante sur W; 2W0, 0 est compris entre W et 2W donc d’après le corollaire des valeurs intermédiaires ne s’annule qu’une fois sur W; 2W0 en a ≈ 4,5. On en déduit que ≤ 0 sur W; a0 et ≥ 0 sur a; 2W0.

Finalement ≤ 0 sur 0; a0 et ≥ 0 sur a; 2W0. b)

5) Points d’intersections de c et ℋ_e: = ℎ_e ⇔sin

= 1

⇔ sin = 1 ⇔ =W 2

0 W 2W ^′ − 0 +

0 2W

−W

0 a 2W ^′ − 0 +

0 2W

a

Son ordonnée est donc l’inverse de son abscisse.

Conclusion : c ∩ ℋ_e = g7^V_<;^<_V8h Points d’intersections de c et ℋ_<: = ℎ_< ⇔sin

= −1

⇔ sin = −1 ⇔ =3W 2 Son ordonnée est donc l’opposé de l’inverse de son abscisse.

Conclusion : c ∩ ℋ_< = g7^iV_< ; −_iV^<8h

N° 39 page 154 :

1) a) j_e = 0 ∈ 0; 10 donc la propriété est vraie au rang 1.

Supposons que j_k ∈ 0; 10 pour un certain entier Q non nul et montrons que j_k^e ∈ 0; 10. j_k ∈ 0; 10 ⇔ 0 ≤ j_k ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 1 + j_k ≤ 2 ⇔ 0 ≤1

2 ≤1 + j_k 2 ≤ 1 On a donc √0 ≤ l1 + j_k

2 ≤ √1 par croissance de la fonction racine carrée et donc 0 ≤ j_k^e ≤ 1 On a bien démontré que, pour tout entier naturel Q non nul, j_k ∈ 0; 10.

b) La 1^ère méthode proposée par l’énoncé ne permet pas de prouver que la limite est égale à 1, on ne peut que la conjecturer …

On démontre tout d’abord par récurrence (classique) que la suite j_k est croissante et comme on sait qu’elle est majorée par 1, alors elle converge (mais on ne peut pas affirmer que la limite est 1…)

2^ème méthode : on démontre tout d’abord que, ∀Q ∈ ℕ, j_k = cos 7_<^V_o8 j_M = −1 et cos 7_<^V_p8 = cosW = −1 donc l’égalité est vraie au rang 0.

Supposons que j_k = cos 7_<^V_o8 pour un certain Q ∈ ℕ et montrons que j_k^e = cos 7_<oqr^V 8. j_k^e = l1 + j_k

2 =l1 + cos 7W 2^k8 2

On utilise la formule : cos2 = 2 cos² − 1 qui se traduit aussi sous la forme :

cos² = 1 + cos 2

2 et pour = W

2^{k^e} ∶ cos²7 W

2^{k^e}8 =1 + cos 72 × W2^{k^e}8

2 = 1 + cos 7 W2^k8 Ce qui donne finalement : 2

j_k^e = scos²7 W

2^{k^e}8 = tcos 7 W

2^{k^e}8t = cos 7 W

2^{k^e}8 car 0 ≤ W

2^{k^e} ≤W

La propriété est initialisée en 0 et héréditaire donc vraie pour tout entier naturel. 2

k→^∞lim W

2^k = 0 et lim_R→Mcos = 1 donc par composée, lim_k→^∞cos 7W 2^k8 = 0 On en déduite que lim j_k = 1.

2) a) j_e²+ u_e²= 0 + 1 = 1

Supposons que j_k²+ u_k²= 1 … (on a donc j_k²= 1 − u_k²) j_k^e²+ u_k^e²= 1 + j_k

2 +1 − \1 − u_k²

2 =1 + j_k+ 1 − \j_k²

2 =1 + j_k+ 1 − j_k

2 = 1

b) Il est clair que u_k est une suit à termes positifs, donc l’égalité j_k²+ u_k²= 1 se traduit par : u_k = \1 − j_k² et comme lim j_k = 1 alors lim u_k = 0.

Remarque : on pouvait aussi démontrer que :

∀Q ∈ ℕ^∗, u_k = sin 7W 2^k8

N° 46 page 155 :

1) a) Pour tout réel , − = sin −²+ √3 cos− = − sin^<+ √3 cos =

Donc la fonction est paire : on en déduit que la courbe de admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.

b) ∀ ∈ ℝ , + 2W = sin + 2W²+ √3 cos + 2W = sin^<+ √3 cos Donc la fonction est 2W-périodique.

2) a) ^′ = 2 × cos × sin + √3− sin = 2 cos sin − √3 sin

Et donc on a bien : ^′ = sin 2 cos − √3

b) sin ≥ 0 sur 0; W0 donc ^′ est du signe de 2 cos − √3 ^′ > 0 ⇔ 2 cos − √3 > 0 ⇔ cos > √3

2 Sur 0; W0, cos > √3

2 ⇔ <W 6

On en déduit que ^′ s’annule en 0, ^V_z et W et que ^′ > 0 sur {0;^V_z| et ^′ < 0 sur {^V_z; W|

Finalement, est strictement croissante sur |0;^V_z{ et strictement décroissante sur |^V_z; W{.

est croissante sur |−^V_}; −^V_z{ puis décroissante sur |−^V_z; 0{puis croissante sur |0;^V_z{ et enfin décroissante sur |^V_z;^V_}{

admet donc un maximum atteint en −^V_z et ^V_z de valeur 7^V_z8 =^~_}= 1,75 Le minimum est donc soit égal à 0 = √3 > 1,72 soit à 7^V_}8 = ^e_<+^√z_< > 1,72 Au final, pour tout ∈ |−^V_};^V_}{, 1,72 ≤ ≤ 1,75

3) ^V_z < 2 < 2,1 < W . est continue et strictement décroissante sur |^V_z; W{ et donc sur 2; 2,10 De plus, 0 est compris entre 2 et 2,1, donc d’après le corollaire des valeurs intermédiaires, l’équation = 0 admet une unique solution a sur 2; 2,10.