Khôlle d’analyse
Samuel Rochetin
Samedi 27 janvier 2018
Exercice. En utilisant la définition de la continuité, montrer que toute fonction polynôme est continue sur R.
Solution. Procédons par récurrence sur le degré n d’un polynôme.
Initialisation : le cas n = 0 correspondant aux polynômes constants est trivial et inclut le cas du polynôme nul.
Hérédité : supposons qu’il existe un entier n ∈ N tel que toute fonction polynôme de degré n soit continue sur R. Soit (ak)k∈N une suite réelle telle
que an+1 6= 0. Posons ∀x ∈ R, P (x) := n+1
P
k=0
akxk. Ainsi, deg P = n + 1. Soit
x0 ∈ R. Soit ε ∈ R∗+. En remarquant que les termes constants se simplifient,
nous avons |P (x) − P (x0)| = n+1 P k=0 akxk− n+1 P k=0 akxk0 = n+1 P k=1 ak xk− xk0 . Une identité remarquable donne ∀k ∈ J1; n + 1K, xk− xk
0 = (x − x0) k−1 P i=0 xixk−1−i 0 .
Par homogénéité de la valeur absolue, |P (x) − P (x0)| = |x − x0||Q(x)|, où
Q(x) := n+1 P k=1 ak k−1 P i=0
xixk−1−i0 . Remarquons que Q est une fonction polynôme telle que deg Q = n. Par hypothèse de récurrence, Q est continue en x0 donc
∃η0∈ R∗+, |x − x0| ≤ η0 =⇒ |Q(x) − Q(x0)| ≤ ε. Or, d’après la seconde inégalité
triangulaire, |Q(x)|−|Q(x0)| ≤ |Q(x)−Q(x0)|, donc |x−x0| ≤ η0 =⇒ |Q(x)| ≤ ε + |Q(x0)|. Posons η := min η0; ε ε + |Q(x0)| . Nous avons |x − x0| ≤ η ⇐⇒ |x − x0| ≤ η0 et |x − x0| ≤ ε ε + |Q(x0)| =⇒ |P (x) − P (x0)| ≤ ε. Donc P est
