Fonctions trigonométriques

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Chap.17 :

Fonctions trigonométriques

RAPPELS DE 1

[PLAYLIST TRIGONOMETRIE]

Partie 1 : résolution d’équations trigonométriques

Théorème : équation trigonométrique en cosinus On considère un nombre réel 𝑎.

• Si 𝑎 ∉ [−1; 1], l’équation cos(𝑥) = 𝑎 n’a pas de solution.

• Si 𝑎 ∈ [−1; 1], il existe un unique 𝛼 dans [0; 𝜋] tel que cos(𝛼) = 𝑎 et l’équation cos(𝑥) = 𝑎 admet comme seules solutions les nombres réels de la forme : 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 et 𝑥 = −𝛼 + 2𝑘𝜋 (où 𝑘 ∈ ℤ).

Théorème : équation trigonométrique en sinus On considère un nombre réel 𝑎.

• Si 𝑎 ∉ [−1; 1], l’équation sin(𝑥) = 𝑎 n’a pas de solution.

• Si 𝑎 ∈ [−1; 1], il existe un unique 𝛼 dans 9−^:_;;^:

;< tel que sin(𝛼) = 𝑎 et l’équation sin(𝑥) = 𝑎 admet comme seules solutions les nombres réels de la forme : 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 et 𝑥 = 𝜋 − 𝛼 + 2𝑘𝜋 (où 𝑘 ∈ ℤ).

Remarque : de la même manière, on peut résoudre des inéquations trigonométriques.

Dans tous les cas, le cercle trigonométrique permet de se repérer.

Exemples :

a) Résoudre dans ℝ l’équation cos(𝑥) =^√;_; b) Résoudre dans [−𝜋; 𝜋] l’équation cos(𝑥) =^√;_; c) Résoudre dans [0; 2𝜋] l’équation sin(𝑥) =^√?_;

d) Résoudre dans ]−𝜋; 𝜋] l’inéquation 2 sin(𝑥) + 1 ≥ 0

Partie 2 : fonctions cosinus et sinus a) Définitions

On munit le plan d’un repère orthonormé (𝑂 ; 𝚤⃗, 𝚥⃗).

On note 𝐼 et 𝐽 les points de coordonnées respectives (1; 0) et (0; 1).

Définitions : cosinus et sinus d’un nombre

On considère un point 𝑀 du cercle trigonométrique correspondant à un nombre réel 𝑥. On définit respectivement le cosinus et le sinus de 𝑥 comme l’abscisse et l’ordonnée du point 𝑀 dans le repère (𝑂 ; 𝚤⃗, 𝚥⃗).

Le cosinus de 𝑥 est l’abscisse du point 𝑀. On le note cos(𝑥).

Le sinus de 𝑥 est l’ordonnée du point 𝑀. On le note sin(𝑥).

Définitions : fonctions sinus et cosinus

La fonction qui à tout réel 𝑥, exprimé en radians, associe le nombre cos(𝑥) est appelée fonction cosinus (définie sur ℝ).

cos: 𝑥 ⟼ cos(𝑥)

La fonction qui à tout réel 𝑥, exprimé en radians, associe le nombre sin(𝑥) est appelée fonction sinus (définie sur ℝ).

sin: 𝑥 ⟼ sin(𝑥)

Remarque : les fonctions cosinus et sinus sont définies sur ℝ et prennent leurs valeurs dans [−1; 1].

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b) Parité

Pour tout nombre réel 𝑥, cos(−𝑥) = cos(𝑥) et 𝑠𝑖𝑛 (−𝑥) = − sin(𝑥).

Par conséquent, la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.

Conséquences graphiques :

La fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

La fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère.

c) Périodicité

On considère une fonction 𝑓 définie sur ℝ et 𝑇 un nombre réel non nul.

La fonction 𝑓 est dite périodique de période 𝑇 lorsque, pour tout nombre réel 𝑥, 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥).

Remarques : en général, on choisit 𝑇 > 0.

La courbe d’une fonction périodique est composée d’un « motif » que l’on reproduit indéfiniment, pour « connaître » la fonction sur ℝ, il suffit donc de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 𝑇.

Propriétés : périodicité des fonctions trigonométriques

Pour tout nombre réel 𝑥 et tout entier relatif 𝑘 : cos(𝑥 + 2𝑘𝜋) = cos(𝑥) et sin(𝑥 + 2𝑘𝜋) = sin(𝑥).

En particulier pour tout nombre réel 𝑥 : cos(𝑥 + 2𝜋) = cos(𝑥) et sin(𝑥 + 2𝜋) = sin(𝑥) Ainsi, les fonctions cosinus et sinus sont donc périodiques de période 𝟐𝝅.

Remarques : en physique, on utilise souvent des fonctions de la forme 𝑓: 𝑡 ⟼ cos(𝜔𝑡 + 𝜑) et 𝑔: 𝑡 ⟼ sin(𝜔𝑡 + 𝜑).

Ces fonctions ont pour période 𝑇 =^;:_X.

d) Étude des Fonctions cosinus et sinus

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ et pour tout nombre réel 𝑥 on a : cos ′ (𝑥) = − sin(𝑥) et sin ′ (𝑥) = cos(𝑥)

Démonstration : on admettra ce résultat.

Les fonctions cosinus et sinus étant périodiques de période 2𝜋, il suffit de les étudier sur un intervalle d’amplitude 2𝜋.

On choisit l’intervalle[−𝜋; 𝜋] centré en 0.

Les tableaux de variations des fonctions cosinus et sinus sont les suivants :

𝑥 −𝜋 𝜋 𝑥 −𝜋 𝜋

Signe de cos ′ (𝑥) Signe de sin ′(𝑥)

Variations de la fonction cosinus

Variations de la fonction sinus

Les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont les suivantes :

•

•

•

•

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Fonction cosinus Fonction sinus

Partie 3 : formulaire de trigonométrie a) Propriétés

Pour tout nombre réel 𝑥 : −1 ≤ cos(𝑥) ≤ 1 cos(−𝑥) = cos(𝑥) cos^;(𝑥) + sin^;(𝑥) = 1 −1 ≤ sin(𝑥) ≤ 1 sin(−𝑥) = − sin(𝑥)

Pour tout nombre réel 𝑥 et tout entier relatif 𝑘 : cos(𝑥 + 2𝑘𝜋) = cos(𝑥) sin(𝑥 + 2𝑘𝜋) = sin(𝑥).

Pour tout nombre réel 𝑥 : cos(𝜋 − 𝑥) = − cos(𝑥) sin(𝜋 − 𝑥) = sin(𝑥) Angles supplémentaires cos [^:_;− 𝑥\ = sin(𝑥) sin [^:

;− 𝑥\ = cos(𝑥) Angles complémentaires cos(𝑥 + 𝜋) = − cos(𝑥) sin(𝑥 + 𝜋) = − sin(𝑥)

Formules d’addition : pour tous nombres réels 𝑎 et 𝑏, on a :

cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) − sin(𝑎) sin(𝑏) sin(𝑎 + 𝑏) = sin(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑏) cos(𝑎) cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑎) sin(𝑏) sin(𝑎 − 𝑏) = sin(𝑎) cos(𝑏) − sin(𝑏) cos(𝑎)

.

Formules de duplication : Pour tout nombre réel 𝑎, on a :

cos(2𝑎) = cos^;(𝑎) − sin^;(𝑎) = 2 cos^;(𝑎) − 1 = 1 − 2 sin^;(𝑎) sin(2𝑎) = 2 sin(𝑎) cos(𝑎)

.

Formules de linéarisation : pour tout nombre réel 𝑎, on a :

cos^;(𝑎) =^{^_`ab(;c)</sup><sub>;</sub> sin<sup>;</sup>(𝑎) =<sup>^d`ab(;c)}_;

b) Tangente

Pour tout nombre réel 𝑥 dont le cosinus n’est pas nul : tan(𝑥) =_`ab(i)^bgh(i)

c) Dérivation

Pour tout nombre réel 𝑥 : cos ′ = −𝑠𝑖𝑛 et sin ′ = 𝑐𝑜𝑠

Les fonctions 𝑓 et 𝑔 définies respectivement sur ℝ par 𝑓(𝑥) = cos(𝑎𝑥 + 𝑏)et 𝑔(𝑥) = sin(𝑎𝑥 + 𝑏) sont dérivables sur ℝ et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝑓^l(𝑥) = −𝑎 sin(𝑎𝑥 + 𝑏) et 𝑔^l(𝑥) = 𝑎 cos(𝑎𝑥 + 𝑏).

O 1

p O

1

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