Fonctions trigonométriques et Fonctions trigonométriques réciproques Séries d

Fonctions trigonométriques et Fonctions trigonométriques réciproques Séries d’exercices corrigés 2éme Bac SM

Exercice 1 - Périodique.

On considère la fonction f définie surIRpar :^{f x}

 

1- Pour xIR, exprimer ^f

 





 

contenter d'étudier f ?

2- Vérifier que ^f

 

 

3- Tracer la courbe représentative de f.

Corrigé

On a : ^f

 



 

 



^{cos 3}

 

 

 

La fonction f est paire, on peut se contenter de l'étudier sur

















^{ cos 3}

 



 

f est donc  -périodique. Finalement, on peut se contenter d'étudier f sur l'intervalle 0;

I  2

 

  . On obtiendra aussi la courbe de f sur ;

2 2

 

 

 par parité. Cet intervalle est de longueur  et la fonction est -périodique. On va donc déduire le reste de la courbe par des translations de vecteur k i ; kZZ. f est dérivable sur I et pour tout xI, on a :

 

 

 

   

 

f x   x x  x x x

^3cos2

 



   

   



^3cos2

   

Puisque ^cos2

 

 

2

 

 

 . En particulier,

si 0;

x _ 4

 

 

  , ^f

 

si ;

x _ 4 2_

 

 

 , ^f

 

On obtient le graphique suivant : Exercice 2

On considère deux réels  et  de l’intervalle 0;

2

 

 

 tels que tan0, 6 ettan 0, 25. 1°) Marquer  et  avec précision sur le cercle trigonométrique.

2°) On pose    . Calculer tan ; en déduire . Exercice 3 - Quotient de sinus

On considère la fonction f définie par :

 

1 sin f x x

 x

 . On note Γ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Quel est le domaine de définition de f ? Vérifier que f est 2 -périodique.

Comparer ^f





 

Étudier les variations de f sur l’intervalle ; 2 2

 

 

 , puis déterminer la limite de f en 2

 . Construire Γ à l'aide des renseignements précédents.

Corrigé

 

f x est défini partout où le dénominateur ne s'annule pas, c'est-à-dire pour tous les x avec sinx 1 .

Le domaine de définition de f est donc IR 2 ;

f 2

D  ^  k k ^

 ZZ .

De plus, la 2 -périodicité de la fonction sin x entraîne facilement la 2 -périodicité de f.

De ^sin









 

 est un axe de symétrie de Γ.

3- Posons :

 

1 g x x

 x

 et ^{h x}

 

2 2

 

 

 dont l'image est

 

 

 

g x 1

 x

 . Par composition, f est croissante sur ; 2 2

 

 

 .

On a

 

2

lim sin 1

x

^ x





  et

 

1

lim g

x

 x

  . Ainsi, par composition de limites,

 

2

lim

x

^ f x



 .

On construit d'abord Γ sur ; 2 2

 

 

 . On la déduit sur ;³ 2 2

  

 

 par symétrie d'axe x 2

 . Enfin, on l'obtient surIRpar périodicité de période2 , et donc par des translations de vecteurk2i ; kZZ. On obtient :

Exercice 4 - Simplifier!

1- Démontrer que, pour tout ; t_{ }  2 2_

 

 , on a : ^{1 cos} tan

sin 2

t t

t

   

   . 2- En déduire une forme simplifiée de

1 2 1

arctan x x

 

 

 

 

 

, pour x0 . Corrigé

1- On utilise simplement la formule ^{cos 2}

 

 

t t

  

   et sin 2sin cos

2 2

t t

t    

  

  

 .

2- Puisque tan réalise une bijection de ; 2 2

 

 

 sur IR, on peut poser xtan t , avec ; t_{ }  2 2_

 

  ; On a

2

2

1 1 1

1 x cos cos cos

t t t

    ,

car le cosinus est positif sur l'intervalle ; 2 2

 

 

 . On en déduit que :

1 2 1 1 cos

sin tan 2

x t t

x t

        .

Or, ;

2 4 4

t _{ }  _

 

  , et donc arctan tan

2 2

t t

  

  

 

 

  . On en déduit finalement que :

1 2 1 arctan

arc a

2 2

t n x x

x

    t

 

  

 

Exercice 5 - Calcul d'une somme Calculer arctan2 arctan5 arctan8  . Corrigé

Soity =arctan2 arctan8 . Puisquearctan8 arctan2 arctan1 4

   , y est compris entre

2

 et . Calculons tany : ^tanytan arctan2 arctan8





   

   

tan arctan2 tan arctan8 1 tan arctan2 tan arctan8

 

 2 8

1 2 8

 

  10

 15 2

 3. .

On a donc ;

y   ^  2 2^ et ^tan

 

 

y  y  3 . Par définition de la fonction arctan, on a donc : arctan ²

y  ^3^ (c'est ici que se trouve le piège de

l'exercice! il faut faire attention au fait que arctan est une bijection à valeurs dans ; 2 2

 

 

 ).

On a donc : arctan2 arctan5 arctan8 arctan ² arctan 5

 

 ^_ 3^

      .

On procède de la même façon : si ^{arctan 2 arctan 5}

 

z =  3

 

 

  , alors ;

z   2 2, et on a :^tan

 

Ceci prouve que z 4

 , et en particulier que la somme demandée fait 5 4

 . Exercice 6 -

Soit pIN .

Vérifier que : ^arctan





 

p p 1

p p

 



   

  

).

Déterminer la limite de ₂

0

arctan 1

1

n

p

n p p

S



 

  

 

 



Corrigé

On a : ^0arctan

 









p_{ }2

. On en déduit que ^arctan





 

n 2

p p  

  

  .

De même, puisque ₂ ¹ 0

1

p p 

  , on a : ₂ 1

arc n a 2

1 0;

t p p



   

    

   . Pour prouver que ces deux nombres sont égaux, il suffit donc de prouver qu'ils ont la même tangente.

Mais on a : tan arctan ₂ ¹ ₂ ¹

1 1

p p p p

 

  

 

 

     

  et

   

   ^{ }   ^{ } 

 

     

tan arctan 1 tan arctan tan arctan 1 arc

tan 1

tan arctan 1 tan arctan

p p

p p

p p

 

   

 

 

1 1

1

p p

p p

 



 

 ₂ ¹

1

p p

  

On en déduit le résultat voulu.

Utilisant le résultat de la question précédente, on trouve une somme télescopique :

2 0

arctan 1

1

n

p

n p p

S



 

  

 

 



     

0

arctan 1 arctan

n

p

p p









^=arctan





 

^=arctan





On en déduit donc que : lim

n 2

x S 

  .

Exercice 7 - Sommes remarquables

Montrer que pour tout xIR , ^{arctanx2arctan}





Calculer, pour tous x y; IRavec 1

y x , arctan arctan arctan 1

x y

x y

xy

  

 

 



 .

Corrigé

Posons ^{f x =}

 





   

2 2 2

2

2 1

1 2 2 1

1 1 1

x f x x

x x x

 

  

   

 

2

2 2 2 2 2

1 2 1

1 1 2 1 1

x x

x x x x x

 

  

    

2

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 0

x x

x x x x x

 

    

     .

La fonction f est donc constante. De plus,

 

 

f _{ }2

;d’où pour tout xIR , ^{arctanx2arctan}





Pour yIRfixé, introduisons la fonction

 

y 1

x y

f x x y

xy

 

 

 

 

 

 .

f est définie et dérivable sur y 1 1

; ;

y y

  

   

   

   . De plus, on a :

 

1 1

1 1 1

y

x y f x xy

x y x xy



   

 







 

 

 

 

 

 

 

   

 

2

2 2

2 2

2

1 1

1 1

1 1

y xy

xy x y x

xy





  

  



  

2

2 2 2

1 0

1 1 1

1 y x y x

   

  

Ainsi, f est constante sur chacun des intervalles _y 1

;y

 

 

 et 1 y;

 

 

 .

-ATTENTION! La fonction n'est pas forcément constante sur IR. On distingue alors suivant le signe de y.

● Si y0 , pour x ¹

 y , on a : fy

 

 

 y, on a :

 

 

y y

x

f x f x

 

^{arctan 1 arctan}

 

2 y

y



 

 

  





1

arctan arctan

2 y

y

     

 

 

2 2

  

     .

● Si y0 , un raisonnement similaire montre que fy

 

 y et fy

 

 y .

● Enfin, si y0 , on a clairement f0

 

Etudier et représenter graphiquement la fonction f définie par :

   

2

arctan 2 1 2 f x x

x x

 

 , et exprimer ^{f x en}

 

fonction de ^{arctan 1}





Correction

La fonction est définie sur^{IR \ 0; 2}

 

     

   

2 1 2 2 arctan

2 2 2

f x x

x x

   

  

 

2

2 1

arctan 2

x x x

 

 , et comme la fonction arc tangente est impaire, on a donc ^f





 

La courbe représentative est symétrique par rapport au point de coordonnées

 

. On a :

    ^{    }

  ^{ }

2

2 2

2

2

2 1 1 2 2 1

2

2 2 1

1 2

x x x x

f x

x x x

x x

    

 

  

    



  ^{ }

2

2 2

2

2 2

2

2 4 1

x x

x x x

 

    

 

f x est donc négative pour tout ^{xIR \ 0; 2}

 

On remarque que ^f

 

On peut simplifier la dérivée, en remarquant que





^

^

^





donc

 

 

2

2 2

2 2 1 1

f x

x x x

 

  

    . Alors, dans les trois intervalles où f est continue, elle est de la forme

 





f x   x C , ou C est une constante qu’il reste à déterminer.

Tout d’abord, sur l’intervalle

 

 

la constante est nulle et ^{f x}

 









 

lim 0

x f x  C

     , la constante vaut  et ^{f x}

 









puisque ^lim

 

x f x  C

    , la constante vaut et ^{f x}

 





Exercice 9

On veut montrer que :    a 0, b 0 ; Arctan Arctan Arctan 1+

a b a b

a b

  

    

Correction

Soient a et b deux réels positifs. Alors, Arctan 0;

a  2

   , Arctan 0;

b  2

  et donc, Arctan Arctan ;

a_ b_{ }  2 2_

 

  .

De plus,

     

   

tan Arctan tan Arctan tan Arctan Arctan

1+tan Arctan tan Arctan

a b

a b

a b

  



1 a b

ab

 

 , et donc, puisque Arctan Arctan ;

a_ b_{ }  2 2_

 

 , 0, 0; Arctan Arctan Arctan

1+

a b a b a b

a b

  

         .

Soit alors k un entier naturel non nul.

   

      

2

1 1

Arctan 2 Arctan Arctan 1 Arctan 1

1 1 1

k k

k k

k k k

    

       

      

   

1) (puisque









2 1

Arctan 2

n n

k k

u



 

 

 





     

1

Arctan 1 Arctan 1

n

k

k k



 





1 1

2 0

Arc tan Arc tan

n n

k k

k k

 

 







^=Arctan





 

n n 4

  

Et 3

lim 2

2 4 4

n un    

     donc 2₂ 3 Arc

lim tan

4

n k





 

 

  .