TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

S1 2005-2006 - Mathématiques IUT Mesures Physiques - Grenoble I

TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

T Exercices théoriques :

1. Donner, sans calculatrice, les sinus, cosinus et tangente des angles ^π₆,³₄^π,^−π₃ ,⁵₆^π,²₃^π,³₂^π. 2. On se donne a et b dans[0;π/2], tels que cos a= ¹₄ et sin b= ²₅.

Calculer sin a et cos b. En déduire les valeurs de cos(a+b)et de sin(a+b).

3. Résoudre les équations suivantes dans R (on donnera l’ensemble des solutions sous forme de valeurs exactes, puis une valeur approchée à 10⁻²près de la plus petite solution positive) : (a) cos x= ^√₂³

(b) sin 2x=−¹2

(c) sin x=cos x

(d) √

3 cos x−sin x=1 (e) tan 3x=^√1

3

(f) 2 sin²x+sin x−1=0

(g) 2 cos x+0.5 sin x=1.5 (h) cos x+0.2 sin x=6

(i) 3 cos x−4 sin x=5 4. Résoudre les équations suivantes dans[−1; 1]:

(a) arcsin x= ³₄^π (b) arcsin x=arccos x (c) arcsin²₅−arccos x=−^π2

P Exercices pratiques :

1. Mesure du rayon de la Terre par Eratosthène, vers -200 av.J.C : Lors du solstice d’été, à midi, le soleil est au zénith dans la ville de Syène (Assouan). A Alexandrie, située à 800km au nord sur le même méridien, les rayons du soleil font un angle de 7^◦avec la verticale.

Avec ces données, retrouver la valeur du rayon de la Terre calculée par Eratosthène. Quelle est l’erreur avec la valeur aujourd’hui mesurée, 6378km ?

2. Tunnel : pour relier deux villes C et F distantes de 80km, on veut percer un tunnel entre deux points C^′et F^′situés 200m sous C et F.

Deux options se présentent : ou bien percer en ligne droite, ou bien percer en restant en perma- nence à une profondeur de 200m.

Comparer les distances à percer dans les deux cas ; dans le premier cas, quelle sera la profondeur maximale atteinte ?

3. Tension électrique : u(t) =A cos(ωt+ϕ)représente la tension aux bornes d’une prise de courant (ωest appelé pulsation, A amplitude ou tension maximale).

(a) Montrer que u est périodique.

Calculer en fonction deωsa période et sa fréquence (l’inverse de la période).

(b) La tension efficace correspondant à une tension variable de période T est donnée par U_{e f f}² = 1

T Z T

0

u²(t)dt.

Calculer U_{e f f} en fonction de A etω.

(c) Sachant qu’en France la fréquence du courant est de 50Hz et la tension efficace de 220V, déterminer A etω.

(d) On suppose de plus queϕ=π/4. Représenter graphiquement U . (e) Calculer ^du_dt et ^d2u

dt². En déduire que u est une solution de l’équation différentielle d²u

dt² +ω²u=0.

(f) Déterminer la primitive de U qui s’annule en 0.

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CORRECTION DU TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

T Exercices théoriques :

1. Il suffit de connaître les valeurs de base sur[0;^π₂]puis d’utiliser les propriétés de symétrie, à l’aide d’un cercle trigonométrique. Vérifiez vos résultats une calculatrice...

2. a et b étant dans[0;π/2], sin a et cos b sont positifs.

Comme de plus(sin a)²=1−(cos a)²=1−₁₆¹, sin a= ^√₄¹⁵. De même, cos b= ^√₅²¹. Alors cos(a+b) =cos a cos b−sin a sin b=

√3(√ 7−2√

5)

20 , et de même, sin(a+b) = ²⁺³

√35 20 . 3. (a) x est de la forme ^π₆+2kπ, ou bien de la forme−^π6+2kπ, pour k∈Z. x≃0.52.

(b) x est solution si et seulement si 2x vaut −^π₆+2kπ ou ⁷₆^π +2kπ, donc : x=−₁₂^π +kπ ou

x=⁷₁₂^π+kπ, k∈Z. x≃1.83.

(c) Un raisonnement géométrique permet d’éviter les calculs : l’angle x est solution si et seule- ment si l’abscisse et l’ordonnée du point correspondant du cercle trigonométrique sont égales.

Donc x= ^π₄+2kπou x=^5π₄ +2kπ. x≃0.78.

(d) L’équation équivaut successivement à

√3

2 cos x−¹₂sin x= ¹₂, cos^π₆cos x−sin^π₆sin x=cos^π₃, d’où finalement cos(x+^π₆) =cos^π₃.

Donc x+^π₆ =±^π3+2kπ, k∈Z, les solutions sont les ^π₆+2kπet ^−π₂ +2kπ, k∈Z. x≃0.52.

(e) tan 3x= ^√1

3 =tan^π₆ équivaut à : 3x= ^π₆+kπ, donc à x=₁₈^π +k^π₃, k∈Z. x≃0.17.

(f) 2 sin² x+sin x−1=0. On résoud d’abord 2X²+X−1, on trouve X =−1 et X =¹₂.

En remplaçant X par sin x, on obtient donc deux équations trigonométriques, dont les solutions sont tous les−^π₂+2kπ, ^π₆+2kπet ⁵₆^π+2kπ, k∈Z. x≃0.52.

(g) On transforme d’abord l’équation en ^√4

17cos x+^√1

17sin x= ^√3

17. Soit alorsα=arccos√⁴

17. Alors (sinα)²= ₁₇¹, et commeα∈[0;π], sinα= ^√1

17. L’équation équivaut donc à cosαcos x+sinαsin x= ^√3

17, donc à cos(x−α) =cos(arccos^√3

17).

Ainsi, x−α=±arccos(^√3

17)+2kπ; les solutions sont donc les arccos^√4

17±arccos^√3

17+2kπ,

k∈Z. x≃1 (et pourtant, x est différent de 1 ! ! !).

(h) On transforme l’équation en √⁵

26cos x+^√1

26sin x = ^√6

26. Mais on remarque alors que le membre de gauche est de la forme cos(x−β) (cf.le cours, et l’équation précédente), alors que le membre de droite est strictement supérieur à 1 : il n’y a pas de solution.

(i) ³₅cos x−⁴5sin x=1, donc siγ=arccos³₅, sinγ=⁴₅, et cos(x+γ) =1. Ainsi, x+γ=2kπ, donc

les solutions sont les−arccos³₅+2kπ. x≃5.36.

4. C’est plus simple que les équations avec les fonctions directes !

(a) La fonction arcsin prend ses valeurs dans[−π/2;π/2]: l’équation n’a donc pas de solution...

(b) arcsin est à valeurs dans[−π/2;π/2]et arccos dans[0;π], donc en fait la valeur commune est dans[0;π/2]. Donc x est dans[0; 1].

L’équation est alors équivalente à x=sin arccos x=√

1−x², d’où x=√

2/2 (car x>0 !).

(c) arcsin²₅+^π₂ =arccos x, d’où x=cos(arcsin²₅+^π₂) =−sin(arcsin²₅) =−²5.

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P Exercices pratiques :

1. Un petit croquis représente la situation :

b O

b S

b A 7^◦

Les rayons du soleil étant parallèles entre eux (le soleil est à l’infini), l’angle SOA vaut aussi 7^◦. Un angle de 360^◦ correspond au périmètre du cercle, 2πR, et un angle de 7^◦ à la distance AS le long du cercle. On a donc par proportionnalité la relation :

R×7× π

180 =800000.

Ainsi, R≃6548000, soit 6548km.

L’erreur relative vaut alors|6548−6378|/6378=0.0267 soit seulement de 2.67% de la valeur mesurée aujourd’hui !

2. Tunnel : R désignant le rayon de la terre, O son centre, et d la distance terrestre entre C et F, l’angle COF estα= ^d_R (radians).

– distance en ligne droite entre C^′ et F^′ : appelons M le milieu de [C^′F^′]. Alors OMC^′ est rectangle en M, et l’angle en O vaut α/2, d’où la relation C^′F^′ =2C^′M=2C^′O sin(α/2) = 2(R−0.2)sin(α/2)≃79.99697km.

– La distance de C^′ à F^′ à une profondeur constante de 200m vaut : ^(R−_R^0.2)d = (R−0.2)α≃ 79.99749km.

La différence entre les distances est donc de(R−0.2)|α−2 sin(α/2)| ≃0.52m.

La profondeur maximale atteinte dans le premier cas vaut R−(R−0.2)cos(α/2)≃325.4m.

3. Tension électrique : (a) T = ^2π_ω, f =_2π^ω.

(b) u²(t) =^A₂²(1+cos(2ωt+2ϕ))à l’aide de la formule 2 cos²x=1+cos 2x....

Mais intégrer un cosinus sur une période donne 0 (faites-le !), et on obtient donc : U_{e f f}² =^A₂², donc Ue f f = ^√A

2 ≃0.707 A. On remarque que Ue f f ne dépend pas deω! (c) f =50 doncω≃314. A=230√

2≃325V . (d)

(e) La dérivée de u est ^du_dt(t) =−Aωsin(ωt+ϕ), donc la dérivée seconde vaut^d_dt^2u2(t) =−Aω²cos(ωt+ ϕ) =−ω²u(t), d’où le résultat.

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