F ONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

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F ONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

F ONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

La musique est une mathématique sonore, la mathématique est une musique silencieuse.

Edouard Herriot

On attribue à Pythagore l'origine de l'étude physique des sons émis par des cordes tendues. Il faut ensuite attendre le XVII^e siècle pour comprendre ce qu'est un son.

En fait si on joue une note, le son obtenu est une superposition de phénomènes vibratoires régis par des fonctions sinusoïdales appelées harmoniques.

Le timbre du son musical est justement caractérisé par le nombre et l'intensité de ces harmo- niques.

L'étude des cordes vibrantes sera, jusqu'au XIX^esiècle, l'un des grands problèmes des physiciens et des mathématiciens.

1 R

1.1 Définition et premières propriétés

Soit (O;I,J)un repère orthonormé du plan etC le cercle trigonométrique¹.

À tout réel x, on associe un pointM du cercleC tel quex soit une mesure en radians de l'angle orienté −→

OI;−−→

OM

et réciproquement.

Par dénition, cos(x) etsin(x) sont respectivement l'abscisse et l'ordonnée deM.

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité, on peut écrirecos(x) = cosx etsin(x) = sinx. Notation

On dénit la tangente dex partanx= sinx

cosx pour toutx6= π

2 +kπ avec k∈Z.

1. C'est-à-dire le cercle de centreO, de rayon 1 et orienté positivement dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

LYCÉEBLAISEPASCAL

1

S.DELOBEL M.LUITAUD

Un clic sur l'image et c'est magique !

Pour tout réel x et pour tout entierk, on a :

cos²x+ sin²x= 1 (relation fondamentale)

−16cosx61 −16sinx61 cos(x+ 2kπ) = cosx sin(x+ 2kπ) = sinx

(On dit alors que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques² de période2π.) Propriété 1.

Les angles remarquables :

Angle en radians 0 π 6

π 4

π 3

π 2

Cosinus 1

√ 3 2

√ 2 2

1

2 0

Sinus 0 1

2

√2 2

√3

2 1

0 π 6 π 4 π 3 π

2

1 2

√ 2 2

√ 3 2 1

2

√2

2

√ 3 2

Exercice 1 Pour utiliser la relation fondamentale Déterminer cosxsachant quesinx= 1

3 etx∈hπ 2 ;πi

. Exercice 2 Pour utiliser la relation fondamentale Soit A(x) = (cosx+ sinx)²+ (cosx−sinx)².

1. CalculerA π

4 etA

π 3

.

2. Que peut-on conjecturer ? Le prouver.

2. On dit qu'une fonction est périodique de périodeT lorsque pour tout réelx, on af(x+T) =f(x).

C

x sinx

cosx

O I

J

M

Exercice 3 Fonction périodique

Démontrer que les fonctions suivantes sont périodiques de période T. 1. f(x) = cos(4x)−5 T = π

2 2. g(x) = sin(πx) T = 2

Exercice 4 Des équations trigonométriques Résoudre dans Rles équations suivantes :

1. cos(2x) =−

√2 2

2. 2 sin²x−3 sinx−2 = 0

Exercice 5 Signe de fonction trigonométrique Soit f la fonction dénie sur

0 ; 2π

parf(x) = cosx+ 1 2. Compléter :







f(x)>0⇐⇒cosx > . . . . f(x) = 0⇐⇒cosx=. . . . f(x)<0⇐⇒cosx < . . . . x

Signe de f(x)

0 2π

Exercice 6 Signe de fonction trigonométrique, encore Soit g la fonction dénie sur

−π 2 ; π

2

parf(x) = cos 2x−π

3 . Compléter :

Lorsque x décrit −π

2 ; π 2

, 2x − π

3 décrit . . . . x

Angle 2x−π Signe3 de g(x)

−π 2

π 2

C

x=15.

O I

J

C

2x−π 3 =-240.

O I

J

1.2 Les angles associés Soit x un réel.

Les angles associées à xsont −x,π−x,π+x, ^π₂ −x et ^π₂ −x.

Connaissant les valeurs decosxet desinx, on peut en déduire les valeurs exactes des cosinus et sinus des angles associés à x. Utilisons le cercle trigonométrique.

x

−x (cos(−x) = cosx

sin(−x) =−sinx

π−x x

(cos(π−x) =−cosx sin(π−x) = sinx

x

π+x

(cos(π+x) =−cosx sin(π+x) =−sinx

x π

2 −x

(cos ^π₂ −x

= sinx sin ^π₂ −x

= cosx

x π

2 +x

(cos ^π₂ +x

=−sinx sin ^π₂ +x

= cosx Théorème 2 (Les angles associés).

la fonction cosinus est une fonction paire³car pour tout x∈R,cos(−x) = cosx.

la fonction sinus est une fonction impaire car pour tout x∈R,sin(−x) =−sinx.

Exercice 7 Paire ? Périodique ?

Soit f la fonction dénie sur Rparf(x) = cosx+ sinx.

1. Démontrer que f(−π) =f(π). 2. La fonction f est-elle paire ?

3. Démontrer que f est périodique de période2π.

3. Une fonction est paire lorsque le domaine de dénition est symétrique par rapport à zéro et les images de deux nombres opposés sont toujours égales.

Exemples : la fonction carrée, la fonction valeur absolue...

Une fonction est impaire lorsque le domaine de dénition est symétrique par rapport à zéro et les images de deux nombres opposés sont toujours opposés.

Exemples : la fonction cube, la fonction inverse...

Il existe des fonctions ni paire ni impaire.

Exemples : La fonction racine carrée, la fonction exponentielle...

Exercice 8 Équations et associés Résoudre dans Rles équations suivantes :

1. cosx 2 +π

3

=−cosx 2. cosx= sinx

1.3 Les formules d’addition et de duplication

Soient aetbdeux réels.

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb

sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb sin(a−b) = sinacosb−cosasinb Théorème 3 (Les formules d'addition).

En prenant a=b, nous obtenons les formules suivantes :

Soit aun réel.

cos (2a) =







cos²a−sin²a 2 cos²a−1 1−2 sin²a

et sin (2a) = 2 sinacosa Théorème 4 (Les formules de duplication).

Soit aun réel.

cos²a= 1 + cos(2a)

2 et sin²a= 1−cos(2a)

2 Théorème 5.

2 D

2.1 Dérivabilité en 0

x→0lim sinx

x = 1 et lim

x→0

cosx−1

x = 0

Proposition 6.

Indication pour la première limite :

Dans le repère (O;I,J), C est le cercle trigonométrique de centreOet de rayonOI= 1.

Le pointM est sur l'arc de cercleIJ.^_

Le projeté orthogonal deM sur[OI]est le pointC et la droite

∆est la perpendiculaire à(OI)passant parI. T est le point d'intersection des droites(OM)et∆. On note de plus :

A1l'aire du triangleOIM;

A2l'aire du secteur angulaireOIM; A3l'aire du triangleOIT;

xune mesure de l'angle−→ OI;−−→

OM

. ^x

C

C

O I

J

M T

∆

On admet queA1 6A26A3.

1. ExprimerA1,A2 etA3 en fonction dex. 2. Démontrer que pour toutx∈i

0 ; π 2

h,sinx6x6 sinx cosx. 3. En déduire un encadrement de sinx

x . 4. Prouver que lim

x→0 x>0

sinx x = 1. 5. Soitx∈i

−π 2; 0h

.

a. À quel intervalle appartient−x?

b. Déduire de l'encadrement de la question3, un encadrement de sinx

x pourx∈i

−π 2; 0h

. c. Prouver que lim

x→0 x<0

sinx x = 1.

6. Conclure.

Indication pour la deuxième limite :

Utiliser le théorème5pour prouver que, pour tout réelx,cosx−1 =−2 sin²x

2et utiliser la limite précédente.

Preuve

Exercice 9

Déterminer les limites suivantes : 1. lim

x→0

sin(2x)

x 2. lim

x→0

sin(3x)

sin(2x) 3. lim

x→+∞xsin 1

x

Les deux résultats ci-dessus nous permettent d'armer que les fonctions cosinus et sinus sont dérivables en 0 et que les nombres dérivés en 0 sont :

sin⁰(0) = 1 et cos⁰(0) = 0

2.2 Fonction dérivée

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur Ret on :

cos⁰(x) =−sinx et sin⁰(x) = cosx Théorème 7.

Indication pour la fonction cosinus : Soita∈Rethun réel non nul.

Démontrer que le taux d'accroissement decosenaest τ(h) = cos(a+h)−cos(a)

h = cosacosh−1

h −sinasinh h . Puis conclure en utilisant la proposition6.

Réitérer la même démarche pour la fonction sinus.

Preuve

Exercice 10

Soient Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions dénies sur R par f(x) = cosx et g(x) = sinx.

Les tangentes à Cf au point d'abscisse π

4 et àCg au point d'abscisse 3π

4 sont-elles parallèles ? Exercice 11

Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur l'intervalle donné.

1. f(x) =xcosx sur R 2. g(x) = sin²x surR

3. h(x) = tanx suri

−π 2; π

2 h

4. k(x) = cosx

x sur

0 ; +∞

2.3 Composition

Soit u une fonction dénie et dérivable sur un intervalleI. Alors on a : cos⁰(u) =−u⁰sinu et sin⁰(u) =u⁰cosu Proposition 8.

Exercice 12

Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur l'intervalle donné.

1. f(x) = cos

10x+π 3

surR

2. g(x) =

sin x

2 + π 3

2

sur R

3. h(x) = r

1−sin² x

2 sur

−π 2 ; π

2

4. k(x) = sin 2x

cos 2x sur

−π 4 ; π

4

3 É

On a vu précédemment que la fonction cosinus est périodique de période 2π.

On peut donc restreindre l'étude de la fonction cosinus à un intervalle d'amplitude 2π,

−π;π par exemple.

On sait, de plus que la fonction cosinus est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées dans un repère orthogonal.

On peut nalement restreindre l'étude à l'intervalle 0 ; π

.

La courbe complète de la fonction cosinus s'obtiendra en eectuant une symétrie axiale d'axe (Oy) puis des translations de vecteurs2kπ−→

i (k∈Z).

x cos⁰(x)

cosx

0 π

0 − 0

1 1

−1

−1 Courbe de la fonction cosinus :

Exercice 13

Soit f la fonction dénie sur

0 ; 2π

parf(x) =√

3 cos(2x)−sin(2x). 1. Démontrer que, pour tout réel x∈

0 ; 2π

,f(x) = 2 cos

2x+π 6

. 2. Dresser le tableau de variation de f.

3. Résoudre dans Rl'équation f(x) =−√ 3. Exercice 14

Résoudre graphiquement, dans −7π

2 ; 7π 2

, l'inéquationcosx < −1 2

x y

π

2 π 3π

2 2π ^5π

2 3π ^7π

2

−π

−π 2

−3π

−2π 2

−5π

−3π 2

−7π 2

Ccos

0 ^π₂ 1

3.2 Étude de la fonction sinus

On a vu précédemment que la fonction sinus est périodique de période 2π.

On peut donc restreindre l'étude de la fonction sinus à un intervalle d'amplitude 2π,

−π;π par exemple.

On sait, de plus que la fonction sinus est impaire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O du repère.

On peut nalement restreindre l'étude à l'intervalle 0 ; π

.

La courbe complète de la fonction sinus s'obtiendra en eectuant une symétrie centrale de centre O puis des translations de vecteurs2kπ−→

i (k∈Z).

x y

π

2 π 3π

2 2π

−π

−π 2

−3π

−2π 2

Ccos

0 ^π₂

1

x sin⁰(x)

sinx

0 π

2 π

+ 0 −

0 0

1 1

0 0 Courbe de la fonction sinus :

Exercice 15

Soit f la fonction dénie sur Rparf(x) = 2 sinx+ sin(2x). 1. Démontrer que f est périodique de période2π.

2. Étudier la parité⁴ de f.

3. Déduire des questions précédentes le domaine d'étude de f. 4. Dresser le tableau de variation de f sur son domaine d'étude.

5. Représenter Cf dans un repère (O;~ı , ~)orthogonal.

4. Étudier la parité d'une fonction, c'est chercher si la fonction est paire, impaire ou ni paire ni impaire

x y

π

2 π 3π

2 2π

−π

−π 2

−3π

−2π 2

Csin

0 ^π₂

1