Première STG Exercices sur le chapitre 15 : E3. 2007 2008
E3 Nombres dérivés de la fonction carrée.
N ° 5
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x².
Soit C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère.
Soit A un point de C de coordonnées ( xA ; f ( xA ) ).
On admet que 2xA est le nombre dérivé en xA de la fonction f ce que l'on note f ' ( xA ) = 2xA. 1 ) a ) f ' ( - 3 ) = 2 × ( - 3 ) = - 6
f ' ( -0,5 ) = 2 × ( - 0,5 ) = - 1 f ' ( 1,5 ) = 2 × 1,5 = 3.
b ) Interprétons graphiquement chacun de ces résultats.
f ' ( - 3 ) = - 6 cela signifie que la tangente à la courbe C au point d'abscisse - 3 admet un coefficient directeur égal à - 6.
f ' ( - 0,5 ) = - 1 cela signifie que la tangente à la courbe C au point d'abscisse - 0,5 admet un coefficient directeur égal à - 1.
f ' ( 1,5 ) = 3 cela signifie que la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1,5 admet un coefficient directeur égal à 3.
2 ) Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4 revient à calculer f ' ( 4 ) = 2 × 4 = 8.
Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4 est égal à 8.
3 ) Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 revient à calculer f ' ( 0 ) = 2 × 0. Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est égal à 0.
4 ) a ) Cherchons x tel que f ' ( x ) = - 1 ⇔ 2x = - 1 ⇔ x = - 1
2 . L'ensemble des solutions est { - 1 2 } b ) Combien y a-t-il de tangentes à la courbe de coefficient directeur égal à -1 ?
L'équation f ' ( x ) = -1 admet une unique solution.
Donc il existe une seule tangente à la courbe de coefficient directeur égal à -1.
5 ) Déterminer la ou les abscisses des points de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur -2 cela revient à chercher la valeur de x telle que f ' ( x ) = - 2 ⇔ 2x = -2 ⇔ x = -1.
Donc l'abscisse du point de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur égal à 2 est -1.
