Un fabricant de matériels informatiques produit, par jour, q appareils d'un modèle A.
Le gestionnaire de cette entreprise a établi que le coût total de production de q appareils est, en euros : C ( q ) = 0,002q² + 50q + 300.
Quel est le coût supplémentaire engendré par la fabrication d'un appareil de plus ? En économie, ce coût s'appelle le coût marginal. En mathématiques, nous allons découvrir dans ce chapitre, comment obtenir simplement une valeur de ce coût marginal. C'est la notion de nombre dérivé qui va nous permettre cela.
E1 Activité d'approche : approximation d'une courbe par sa tangente au voisinage d'un point.
N ° 1
1. a ) Tracer sur l'écran de la calculatrice la courbe de la parabole P représentant la fonction carrée.
( On fera les réglages suivant : 0 ≤ x ≤ 2 et 0 ≤ y ≤ 4 ).
b ) Tracer la droite d'équation y = 1 pour repérer le point A ( 1 ; 1 ).
c ) Zoomer ( utiliser le menu zoom in ) plusieurs fois autour du point A.
La courbe P ressemble à une droite. Que peut on dire ? Pourquoi ?
2. On admet qu'au voisinage du point A, la courbe P peut être assimilée à une droite notée d.
Déterminons une équation de d.
a ) Tracer sur la calculatrice la courbe P et la droite d pour 0,99 ≤ x ≤ 1,01 et 0,99² ≤ y ≤ 1,01².
On note B ( 0,99 ; 0,99² ) et C ( 1,01 ; 1,01² ).
Calculer les coefficients directeurs des droites ( AB ) et ( AC ).
b ) Conjecturer une valeur du coefficient directeur de d.
c ) En déduire une équation de la droite d.
1 Nombre dérivé et tangente.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère.
Soit A une point de C d'abscisse xA.
Au voisinage du point A, on peut approcher la courbe C par sa tangente en A.
Autrement dit : la tangente à la courbe C en A est une approximation de la courbe en A.
Dessin : voir feuille annexe.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Soit C la courbe représentative de f dans un repère.
Soit A un point de la courbe d'abscisse xA.
Le nombre dérivé de la fonction f en xA , s'il existe, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point A de coordonnées ( xA ; f ( xA ) ).
Notation : f ' ( xA ).
Exemple : voir feuille annexe.
Méthodes pour déterminer un nombre dérivé c'est à dire le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point A ( xA ; f ( xA ) ).
1 ) lecture graphique du coefficient directeur de la tangente.
( avancer de une unité vers la droite à partir du point A et compter le nombre d'unités vers le haut ou le bas. )
2 ) avec la formule du coefficient directeur a =
B A A B
x x
y y
−
−
3 ) avec l'équation de la tangente si elle est donnée sous la forme y = ax + b
E2 Savoir lire graphiquement un nombre dérivé.
N ° 2
C est la courbe représentative de la fonction carrée dans le plan muni d'un repère orthonormal.
1 ) Déterminer le nombre dérivé de f en 1.
2 ) Déterminer le nombre dérivé de f en -2.
3 ) On précise que la tangente à la courbe en ( 0 ; 0 ) est l'axe des abscisses.
Déterminer alors le nombre dérivé de f en 0.
N ° 3
C est la courbe représentative de la fonction inverse dans le plan muni d'un repère orthonormal.
1 ) Déterminer le nombre dérivé de f en - 1.
2 ) Déterminer le nombre dérivé de f en 2.
N ° 4
C est la courbe représentative d'une fonction dans le plan muni d'un repère orthonormal.
1 ) Déterminer le nombre dérivé de f en 3.
2 ) Déterminer le nombre dérivé de f en 5.
3 ) Déterminer le nombre dérivé de f en 2.
E3 Nombres dérivés de la fonction carrée.
N ° 5
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x².
Soit C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère.
Soit A un point de C de coordonnées ( xA ; f ( xA ) ).
On admet que 2xA est le nombre dérivé en xA de la fonction f ce que l'on note f ' ( xA ) = 2xA. 1 ) a ) Déterminer f ' ( - 3 ) , f ' ( -0,5 ) et f ' ( 1,5 ).
b ) Interpréter graphiquement chacun de ces résultats.
2 ) Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4.
3 ) Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
4 ) a ) Résoudre l'équation f ' ( x ) = - 1.
b ) Combien y a-t-il de tangentes à la courbe de coefficient directeur égal à -1 ?
5 ) Déterminer la ou les abscisses des points de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur -2.
2 Nombres dérivés des fonctions de référence.
Dans ce paragraphe de cours, les formules sont admises et doit être connues.
Fonction f Nombre dérivé f ' ( xA ) en xA
Constante définie sur par f ( x ) = k 0
Linéaire définie sur par f ( x ) = ax a
Affine définie sur par f ( x ) = ax + b a
Carrée définie sur par f ( x ) = x² 2xA
Inverse définie sur ] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = 1
x − 2
xA
1
Racine carrée définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = x
xA
2
1 avec xA ≠ 0
Cube définie sur par f ( x ) = x3 3xA²
Trinôme du second degré définie sur par f ( x ) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 2axA + b
Exemple : Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la fonction cube au point d'abscisse 2.
E4 Connaître des nombres dérivés.
N ° 6
1 ) Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = 3. Déterminer f ' ( 5 ).
2 ) Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = 2x. Déterminer f ' ( - 4 ).
3 ) Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = - 4x + 2. Déterminer f ' ( 3 ).
4 ) Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = x². Déterminer f ' ( -2 ).
5 ) Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = 1
x . Déterminer f ' ( 6 ).
6 ) Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = x. Déterminer f ' ( 9 ).
7 ) Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = -x² + 3x − 2. Déterminer f ' ( 7 ).
3 Tangente à une courbe en un point.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Soit C la courbe représentative de f dans un repère.
Soit A un point de la courbe d'abscisse xA.
La tangente à C au point A ( xA ; f ( xA ) est la droite qui passe par A et dont le coefficient directeur est le nombre dérivé de f en a c'est à dire f ' ( xA ).
Une équation de cette tangente est y = f ' ( xA ) × x + p.
Ou bien y = f ' ( xA ) ( x − xA ) + f ( xA ).
Démonstration : voir feuille annexe.
Méthode pour tracer une tangente :
1 ) Se positionner sur la courbe C au point A ( xA ; f ( xA ) ).
2 ) Tracer la droite passant par le point A et de coefficient directeur f ' ( xA ).
Méthode pour déterminer l'équation d'une tangente :
1 ) Ecrire que l'équation de la tangente est de la forme y = f ' ( xA ) × x + p ou bien y = f ' ( xA ) ( x − xA ) + f ( xA ) 2 ) Remplacer les valeurs xA ; f ' ( xA ) et f ( xA ) par les valeurs connues dans l'énoncé.
E5 Savoir construire une tangente et savoir déterminer une équation de celle-ci.
N ° 7
Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = 1 x .
Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unités 1 cm.
1 ) Tracer la courbe C.
2 ) a ) Calculer f ( 0,5 ) et f ' ( 0,5 ).
b ) Tracer la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0,5.
3 ) Déterminer une équation de T.
N ° 8
Le plan est rapporté à un repère orthonormal d'unités graphiques 4 cm.
Soit f la fonction définie sur [ -1 ; 1 ] par f ( x ) = x3. Soit C sa courbe représentative dans ce repère.
1 ) Tracer la courbe C.
2 ) a ) Calculer f ( 0,5 ) et f ' ( 0,5 ).
b ) Tracer la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0,5.
3 ) Déterminer une équation de T.
4 ) Expliquer pourquoi la tangente T ' à la courbe C au point d'abscisse -0,5 est parallèle à T. La tracer.
4 Signe du nombre dérivé.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On suppose que f admet un nombre dérivé en tout point de I.
Si f est strictement croissante sur un intervalle J inclus dans I alors pour tout nombre réel x de J, on a f ' ( x ) ≥ 0.
Si f est strictement décroissante sur un intervalle K inclus dans I alors pour tout nombre réel x de K, on a f ' ( x ) ≤ 0.
Exemple : voir feuille annexe.
Méthodes pour déterminer le signe d'un nombre dérivé.
1 ) On regarde sur la courbe si la fonction est croissante ou décroissante.
2 ) On applique le cours précédent.
3 ) Ou bien on détermine le sens de variation à partir du tableau de variation de la fonction.
4 ) On applique le cours précédent.
E6 Savoir déterminer le signe d'un nombre dérivé.
N ° 9
Soit f la fonction définie sur ] 1 ; 10 ] par f ( x ) = 1 x
² x− .
1 ) Tracer la courbe représentative de la fonction f.
2 ) Déterminer, en fonction de x, le signe de f ' ( x ) pour x ∈ ] 1 ; 10 ].
N ° 10
Soit g la fonction donnée par le tableau de variation suivant :
x −∞ - 1 2 +∞
10 10
g
0 -5
Préciser, suivant les valeurs de x, le signe de g ' ( x ).
