Nombre dérivé

1 S

Nombre dérivé

1 L’idée de limite

Soit f et g les fonctions définies pour h >0par f(h) = 1−0,5het g(h) = _5+h¹⁰ . 1. Compléter le tableau suivant :

h 0,5 0,1 0,05 0,01 10⁻³ 10⁻⁴

f(h) g(h)

2. Lorsque h >0se rapproche de 0, vers quelle valeur semble « tendre » f(h)? et g(h)?

3. Déterminer h pour quef(h)−1soit strictement compris entre −10⁻⁶ et10⁻⁶. Même question pourg(h)−2?

4. Soit un réel strictement positif fixé.

a. Résoudre la double inéquation − < f(h)−1< . Compléter la phrase suivante :

pour tout >0, il existeη =. . . tel que pour tout h, tel que |h|< η,|f(h)−1|<. . . ..

Dans ce cas on dit que la limite lorsque h tend vers 0 par valeurs positive de f(h) vaut 1.

b. Même question pour |g(h)−2|< . Puis écrire une phrase du même type.

2 Nombre dérivé et tangente

Le but de cette activité est de déterminer le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point. Pour cela vous allez utiliser le logiciel GeoGebra.

2.1 Parabole et sécante

On considère la paraboleP représentant la fonction carré dans un repère orthogonal. SoitA le point deP d’abscisse 2.

Soit h un réel non nul et M le point de P d’abscisse x_A+h.

a. Faire une figure.

b. Déterminer les coodonnées des points A etM.

c. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AM).

d. Que peut-on dire de ce coefficient directeur si h prend des valeurs de plus en plus proches de 0?

2.2 Avec GeoGebra

Lancer le logiciel, et effectuer la construction suivante :

a. Dans la ligne de commande, saisirf(x)=x^2et à l’aide du menuOption->Feuille de travail...

ou de la fonction zoom, ajuster les unités du repère pour que la courbe occupe « bien » l’écran.

b. Placer le pointA. Attention ce dernier doit être placé « exactement » et non pas « à la souris » : ce n’est pas un point mobile.

c. Créer un curseur (en « déroulant » l’icôneangle) h variant entre −2et 2 par pas de 0,01.

d. Placer le pointM (même remarque que pourA) et construire la droite(AM)(on la nommed). Cli- quer « droit » sur l’équation de(AM)dans la fenêtre « algèbre » et sélectionnerÉquation y=ax+b.

e. À l’aide de la souris (ou du clavier), faire varier la valeur du curseur h. Avec quelques valeurs, vérifier que le coefficient directeur de(AM) est bien égal à l’expression trouvée à la question c de la partie 2.1.

f. Que se passe-t-il pour (AM)lorsqu’on donne à h des valeurs de plus en plus proches de 0?

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2.3 Généralisation

a. Répondre aux questions de la partie 2.1 en prenant cette fois-ci un pointAd’abscisseaquelconque dans [−3 ; 3].

b. Reprendre la figure GeoGebra précèdemment construite et créer un curseur a prenant des va- leurs entre −3 et 3 par pas de 0,1. Redéfinir le point A comme étant le point d’abscisse a et d’ordonnée f(a). Retrouver alors les résultats de la question précédente.

3 Le point de vue cinématique

La loi physique de la chute libre :

Un objet laché sans vitesse initiale dans un environnement sans frottement a parcouru la distance d(t) après t secondes de chute où d(t) = 4,9t².

1. Calculer, et regrouper les résultats dans un tableau, la distance parcourue par le solide après 0, 1, 2, 3, 4 et 5 secondes de chute.

2. Calculer la vitesse moyenne de l’objet entre les instants t = 0 et t = 1; puis entre t = 1 et t= 2; . . . t = 4 ett = 5.

3. Le mouvement de l’objet est-il uniforme ?

4. Que peut-on dire des augmentations de vitesse d’un intervalle à l’autre¹?

5. Soit h un réel strictement positif. Essayons de définir la vitesse instantanée à l’instant t= 2 : a. Calculer la vitesse moyenne de l’objet entre les instants 2 et 2 +h pour les valeurs de h

suivantes :

h 1 0,5 0,1 0,01 0,001

Vitesse entre t= 2 et t= 2 +h Que remarque-t-on ?

b. Calculer la vitesse moyenne entre2et2 +h oùt est un réels strictement positif quelconque.

Que peut-on dire de cette vitesse lorsque h devient de plus en plus proche 0? Cette vitesse est appelée vitesse instantanée de l’objet à l’intant 2.

c. Calculer la vitesse instantanée de l’objet à un instantt quelconque. Expliquer alors l’obser- vation faite à la question 4

4 Synthèse

Soit E(x) une expression dépendant de x. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus « proche » d’une valeurafixée, siE(x)prend des valeurs de plus en plus « proches » d’un réel b fixé, on dit que la limite lorsquex tend vers a de E(x) vaut b. On écrit :

x→alimE(x) = b

Soitf une fonction numérique définie sur un intervalle I. Soita un réel deI qui n’est pas une borne deI. On noteAle point deCf d’abscissea. Soithun réel non nul etM le point deCf d’abscissea+h.

Le coefficient directeur de (AM)est alors f(a+h)−f(a)

h .

Si lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h =l, on dit que f est dérivable en a et que l est le nombre dérivé def en a.

On le note f⁰(a). Ce nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à Cf enA.

1Dans ce cas, on dit que le mouvement est uniformément acceléré.