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3 : Nombre dérivé (30 min)

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Academic year: 2022

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(1)

1ére MV2 8 novembre 2019

Devoir n

o

3 : Nombre dérivé (30 min)

Tout doit être justifié avec clarté sauf mention explicite contraire. La calculatrice est autorisée

I(5 points) Sur le graphique ci-dessous, les droites d1 etd2 sont les tangentes à la courbeC aux points d’abscisses −1 et3.

2 1 1 2 3 4 5

2

1 1 2 3 4 5

0 d1 C

d2

1. Compléter par lecture graphique et sans justifier,

• f(−1) =

• f(3) =

• f0(−1) =

• f0(3) =.

2. On sait de plus quef0(0) = 1. Tracer, sur la figure ci-dessus, la tangente qui illustre ce résultat.

II (10 points) Soit f la fonction définie surR par : f(x) = 2x2−3x

1. Soith un réel non nul.

Calculer et simplifier le taux d’accroissement : t(h) = f(3 +h)−f(3)

h de f en 3.

2. Déterminer lim

h→0t(h). Que peut-on conclure ?

3. On admet quef0(2) = 5. Déterminez l’équation de la tangenteD à la courbeCf au pointA(2;f(2)).

4. Le pointK(3; 7) est-il un point de D? 5. Le pointR(−2;−10)est-il un point de D?

(2)

III(5 points) Soitf(x) = 1

x, la fonction inverse définie pour x6= 0. Soita6= 0.

1. Ecrire et simplifier le taux d’accroissement t(h) de f en a. Vous montrerez que

t(h) =− 1 a(a+h).

2. En déduire que f est dérivable enaet donnez le nombre dérivé def ena.

3. Donner alors la fonction dérivée f0 de f.

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