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Activités – Nombre dérivé
Activité 1 : construction géométrique d’une parabole
Soit 𝐹(1 ; 2) et 𝐷 la droite d’équation𝑦 = −1. Le but de cette activité consiste à montrer que l’ensemble des centres des cercles tangents à 𝐷 et passant par 𝐹 est une parabole (On dit que 𝐹 est son foyer et 𝐷 sa directrice).
Partie A – Construction de la parabole à l’aide de Geogebra
1. Ouvrir le logiciel Geogebra. Placer le point 𝐹 et construire la droite 𝐷.
2. Créer un point mobile que l’on nommera 𝐻 sur la droite 𝐷.
3. On souhaite construire le centre 𝑂 du cercle situé au-dessus de la droite 𝐷, tangent à 𝐷 en 𝐻 et passant par 𝐹.
a) Comment doivent être les droites (𝑂𝐻) et 𝐷 ? b) Où doit se situer 𝑂 pour que le cercle passe par 𝐹 ? c) Construire 𝑂.
4. a) Activer la trace de 𝑂 puis déplacer 𝐻 sur la droite 𝐷.
b) Que décrit le point 𝑂 ?
5. Désactiver la trace de 𝑂 puis activer celle de la médiatrice de [𝐹𝐻]. Déplacer 𝐻.
Que remarque-t-on ?
Partie B – Démonstration
1. Soit 𝑥 l’abscisse du point 𝐻. Quelles sont les coordonnées de 𝐻 ? 2. Soit 𝑦 l’ordonnée de 𝑂. Quelles sont les coordonnées de 𝑂 ?
3. Traduire par une égalité le fait que 𝑂 est le centre du cercle passant par les points 𝐹 et 𝐻.
4. En déduire 𝑦 en fonction de 𝑥.
5. Conclure.
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Activité 2 : vitesse instantanée d’une bille
Une bille lâchée du haut d’un immeuble parcourt une trajectoire verticale.
Le but de cette activité est de déterminer la vitesse instantanée de cette bille après 3 secondes.
Des capteurs placés le long de l’immeuble permettent de tracer la courbe représentative ci-dessous donnant la distance parcourue par la bille (en mètres) en fonction du temps écoulé depuis le lâché de la bille (en secondes).
1) a) Calculer la vitesse moyenne de la bille entre les instants 𝑡 = 3s et 𝑡 = 4s.
b) Que représente ce nombre graphiquement ?
2) Pour avoir une meilleure approximation de la vitesse instantanée à l’instant 𝑡 = 3 s, on peut déterminer la vitesse moyenne sur des intervalles de temps plus courts.
a) Déterminer la vitesse moyenne entre les instants 𝑡 = 3s et 𝑡 = 3,5s puis entre les instants 𝑡 = 3,5s et 𝑡 = 4s.
b) Pour avoir une vitesse moyenne la plus proche possible de la vitesse instantanée à l’instant 𝑡 = 3s, que doit- on tracer sur le graphique ?
c) Lire graphiquement 𝑓7(3).
d) En déduire une première estimation de la vitesse instantanée de la bille à l’instant 𝑡 = 3s.
3) La représentation graphique est en fait celle d’une fonction 𝑓 polynôme du second degré définie par 𝑓(𝑥) = 5𝑥2
a) On considère un nombre réel ℎ non nul.
Que vaut 𝑓(3 + ℎ). On donnera la forme développée réduite.
b) Calculer le taux de variation :(;<=)>:(;)
= .
On simplifiera au maximum l’expression obtenue.
c) Que représente ce rapport ?
4) Pour obtenir la vitesse instantanée à l’instant 𝑡 = 3s, h doit se rapprocher de plus en plus de 0.
a) Que vaut lim
=→D
:(;<=)>:(;)
= ?
b) Vérifier que ce nombre est proche de celui de 𝑓7(3) trouvé dans la question 1).
5) De la même manière, calculer 𝑓7(2) et donner la vitesse instantanée de la bille au bout de 2 secondes.
