D116- Encore une histoire de cercles tangents Solution

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D116- Encore une histoire de cercles tangents

Solution

Question n°1

Soient A,B et C les centres et a,b, et c les rayons des cercles tangents entre eux et tangents extérieurement au cercle de centre O et de rayon R. L’aire du triangle ABC est égale à la somme des aires des triangles OAB,OAC et OBC.

Grâce à la formule de Héron, on peut donc écrire :

c) b abc(a R)

c bcR(b R)

c acR(a R)

b

abR(a           (1)

Dans un premier temps, on est donc amené à rechercher tous les triplets (x,y,z) avec z

y

x  tels que PSest un entier avec S=x+y+z et P=xyz

Un simple programme informatique permet d’obtenir rapidement la famille F des triplets (x,y,z) irréductibles recherchés:

Tous le triplets de la forme kx,ky et kz avec k entier >0 sont également solutions.

Dans une deuxième étape, on cherche les triplets (a,b,R), (a,c,R), (b,c,R) et (a,b,c) appartenant à F ou à des multiples d’éléments de F et qui sont solutions de (1).

On obtient le tableau ci-après qui donne les solutions pour les plus petites valeurs possibles de R,a,b,c :

Le plus petit cercle de centre O a donc pour rayon 3 et les trois cercles tangents

extérieurement à ce cercle ont pour rayons 8, 22 et 264.La figure ci-dessus a été établie avec les cercles de rayons 5,21,30 et 70.

x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 2 2 2 2 … 3 3 3 3 3 3 … 4 4 4 … 5 5 5 ..

y 2 2 3 5 6 7 8 14 15 18 3 3 9 10 4 5 7 8 14 17 5 9 11 7 8 21

z 3 24 12 24 14 28 9 27 24 19 10 27 11 15 21 12 14 22 25 34 36 36 33 30 32 30 6 36 24 60 42 84 36 126 120 114 30 72 66 90 84 60 84 132 210 306 180 252 264 210 240 420

PS

(2)

Si l’on avait accepté que deux cercles tangents extérieurement au cercle de centre O au moins aient des rayons identiques, on aurait eu les solutions suivantes :

Le plus petit cercle central aurait eu pour rayon R=1 avec les cercles tangents extérieurement de rayons 2,24 et 24 ou 3,12 et 12.

Question n°2

1) On suppose que B,O et C sont alignés.

Soient A,B et C les centres et a,b, et c les rayons des cercles tangents entre eux et tangents intérieurement au cercle de centre O et de rayon R.

On a R = b + c, OB = c, OC = b = R - c, BC = R, AB = a + b = R + a - c, AC = a + c et OA = R - a. Par ailleurs la loi des cosinus dans les deux triangles OAB et ABC permet d’écrire : Cos(angle(ABC)) =

c)) a )/(2c(R a)

(R c) a (R (c c)) a )/(2R(R c)

(a - ) c) a (R

(R²   ²  ²    ²   ²   ²  

On en déduit l’équation du second degré en R : (c-a)R²c(ca)Rac² 0.Celle-ci a des racines entières si Δc²(ca)²4ac²(ca)c²(ca)(3ac)est un carré parfait (c- a)(3a+c) est un carré parfait.

D’autre part les racines R = c/2/ /(2c2a) doivent être positives et entières.

Les plus petites valeurs de a,b,c toutes distinctes qu’on obtient sont a=6, b=7 et c=14

auxquelles correspond le cercle de rayon R=21. Autres valeurs possibles: a=12,b=13,c=39 et R=52

2) Deux quelconques des points A,B et C ne sont pas alignés avec O

Soient A,B et C les centres et a,b, et c les rayons des cercles tangents entre eux et tangents intérieurement au cercle de centre O et de rayon R

R a b c

1 2 24 24

1 3 12 12

2 3 120 120

5 21 30 70

2 10 1 15

…. …. …. …..

(3)

On a OA = R-a, OB=R-b, OC = R –c, AB = a+b, AC = a+c et BC = b+c. D’autre part aire(OAB)+aire(OAC)=aire(OBC)+aire(ABC).

D’après la formule de Héron, il en résulte :

c) - b - bcR(R c)

- a - acR(R c)

b abc(a b)

- a -

abR(R     

En adoptant la même démarche que dans la première question, on trouve les valeurs entières de a,b,c et R qui satisfont l’équation ci-dessus et l’on obtient le tableau ci-après :

Le plus petit cercle de rayon à valeur entière qui contient trois cercles de rayons à valeurs entières, tangents deux à deux et qui lui sont tangents intérieurement est de rayon R=6. Les cercles intérieurs sont de rayons 1,2 et 3. Les centres O,A,B et C des cercles sont sur les sommets d’un rectangle de longueur 4, de largeur 3 et de diagonale 5.A partir du triangle pythagoricien (3,4,5), on peut donc tracer aisément les 4 cercles tangents trois à trois.

(4)

Question n°3

La résolution de cette question devient très simple dès lors que le cercle de rayon R=6 a la double propriété d’être le plus petit cercle contenant trois cercles de rayons à valeurs entières (respectivement 1,2 et 3) qui lui sont tangents intérieurement tout en étant tangents deux à deux et d’admettre trois cercles de rayons à valeurs entières (respectivement 23, 46 et 69) qui lui sont tangents extérieurement tout en étant tangents deux à deux.

D’où la figure qui représente ces sept cercles remarquables :