Chapitre 1
Nombre dérivé et applications
A Limite en un réel
Activité chier Acti01_lim
Dénition Soit f une fonction eta et l des réels. On dit quef admetl pour limite en asif(x)peut être rendu aussi proche del que l'on veut lorsquexest susamment proche dea. On note alors
x→alimf(x) =l
Exemple Quatre courbes : une "normale", une non dénie en a ayant une limite, une avec limite innie, une avec des limites diérentes à gauche et à droite.
Proposition Toutes les fonctions références connues pour l'instant (et en première) ont une limite en tout réelade leur domaine de dénition, et en plus :
x→alimf(x) =f(a)
→Exercices 17p113
On s'intéresse cependant le plus souvent à des limites de f(x) en a tel quef(a) n'est pas dénie. On utilise la propriété suivante :
Proposition Soitf et g deux fonctions etaun réel contenu dans un intervalleI. On suppose que : g est dénie surI et quef est dénie surIsauf en a.
pour toutx∈I,x6=a,f(x) =g(x)·
g admet une limite enaqui vautg(a). Alorsf admet une limite en aqui vautg(a).
Exempleg(x) =x−2et f(x) = (x−2)(x−1)
(x−1) . On a lim
x→1f(x) =−1 Nous reverrons de manière plus complète les limites de fonctions.
B Nombre dérivé
Activité 1 et 2 p60 (vitesse moyenne, vitesse instantanée par calcul et graphiquement) 1
2 CHAPITRE 1. NOMBRE DÉRIVÉ ET APPLICATIONS Dénition Soitf une fonction dénie sur un intervalle contenant un réela. On dit quef est dérivable enasi l'expression :
f(a+h)−f(a) h
admet une limite niellorsquehtend vers0. On appelle nombre dérivé de f en acette limitel. On la notef0(a).
On a
lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h =f0(a)ou lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a =f0(a) (en eet, on posex=a+h)
Géométriquement, le nombre f(a+h)−f(a)
h est la pente de la droite passant par (a;f(a)) et (a+ h;f(a+h)). La limite est la pente (ou coecient directeur) de la tangente à la courbe de f enx=a. Exemple Dessin représentant les pentes,M s'approchant du pointA(a;f(a)).
Exemple soitf(x) = 2x2+ 5x−2. eta= 1. Alors f(a+h)−f(a)
h = 2(1 +h)2+ 5(1 +h)−2−(2(1)2+ 5(1)−2)
h = 2h2+ 4h+ 5h
h = 2h+ 9 Cette expression a pour limite9quandhtend vers0. Doncf0(1) = 9
Exemple En général on s'intéresse plus au nombre dérivé d'une fonction en un pointx0quelconque. En reprenant la fonctionf précédente, on exprime alors :
f(x0+h)−f(x0)
h = 2(x0+h)2+ 5(x0+h)−2−(2x20+ 5x0−2)
h = 2x20+ 4x0h+ 5h
h = 2h+ 4x0+ 5 Cette expression a pour limite4x0+ 5quandhtend vers0. Doncf0(x0) = 4x0+ 5
→Exercices 6,7p70 (détermination graphique)
→Exercices 1,2p70 (nombre dérivé de fonctions anes et trinômes du second degré)
→Exercice 14p70 (fonction avec racine carrée, aide pour l'expression conjuguée)
Proposition Soitf une fonction admettant un nombre dérivé ena. Alors la tangente à la courbe def enaa pour équation :
y=f0(a)(x−a) +f(a)
Preuve : Notonsy=αx+βl'équation de la droite. La pente de la tangente vautf0(a)comme remarqué précédemment, doncα=f0(a). Or la droite, tangente à la courbe def, passe par le point de coordonnées (a;f(a)). Ainsi,f(a) =f0(a)a+β. Doncβ=f(a)−f0(a)aet l'équation de la droite est alors :
y=f0(a)x+f(a)−f0(a)a=f0(a)(x−a) +f(a)
2
→Exercices 4,5p70
C Approximation ane
Activité 4p61 (sauf 3. Faire observer que c'est la tangente, dont l'équation sera admise)
D. FONCTION DÉRIVÉE 3 Proposition (Approximation ane) Soitf une fonction dérivable en a. Alors les valeurs prises par f(x)sont proches, autour dea, des valeurs prises par l'expression de sa tangente ena. Autrement dit :
f(x)'f0(a)(x−a) +f(a)pourxproche de a ou
f(a+h)'f0(a)h+f(a)pourhproche de0
On appelle cette approximation l'approximation ane de f au voisinage de2
→Exercices 17,19,20p71
D Fonction dérivée
Dénition Soitf une fonction dénie sur un intervalle I. Si f est dérivable en tout réel de I, on dit quef est dérivable surIet on dénie une nouvelle fonction, la dérivée def surI, notéef0, par :
f0 :x7−→f0(x) . oùf0(x)est le nombre dérivé def enx.
Exemple La fonctionf :x7→ax2+bx+c est dérivable en toutx0 deRet f0(x0) = 2ax0+b. Doncf est dérivable surR, et sa dérivéef0 est dénie par f0(x) = 2ax+b.
Proposition Voici donnée dans le tableau ci-dessous les dérivées de fonctions référence :
Fonction Dérivée
f(x) =k surR f0(x) = 0surR f(x) =xsurR f0(x) = 1surR f(x) =xn surR f0(x) =nxn−1surR f(x) =√
xsur[0; +∞[ f0(x) = 1 2√
x sur]0;∞[
f(x) = 1
x surR? f0(x) =−1
x2 surR? Preuve :Faire la preuve pourf(x) = 1
x, les autres ayant été vues ou étant admises (xn). 2 Proposition (Opération sur les fonctions et dérivées) Soituetvdeux fonctions dérivables sur un même intervalleI.
(u+v)est dérivable et(u+v)0=u0+v0. uvest dérivable et (uv)0=u0v+uv0.
Cas particulier, siv(x) =k (v est constante égale àk, k∈R),(ku)0 =ku0. u
v est dérivable pour toutx∈I tel que v(x)6= 0etu v
0
=u0v−uv0 v2 . Cas particulier, siu(x) = 1, on au0(x) = 0et donc1
v 0
= −v0 v2 .
Preuve : Faire celle deu+v. 2
Exemple On souhaite dériver la fonction f(x) = (3x+ 5)√
x. f peut être vue comme un produit : f =uvavecu(x) = 3x+ 5et v(x) =√
xLa fonction racine carréev est dérivable sur]0;inf ty[ainsi que la fonction aneu. Doncf est dérivable sur]0; +∞[et f0=u0v+uv0. On au0(x) = 3et v0(x) = 1
2√ x, donc
f0(x) = 3×√
x+ (3x+ 5)× 1 2√ x
4 CHAPITRE 1. NOMBRE DÉRIVÉ ET APPLICATIONS
→Exercices 30p71, 31,32,35,39,44p72, 46p73
→Exercices 50,51p73 (ajout de recherches de tangentes par coecient)
