B Nombre dérivé

Chapitre 1

Nombre dérivé et applications

A Limite en un réel

Activité chier Acti01_lim

Dénition Soit f une fonction eta et l des réels. On dit quef admetl pour limite en asif(x)peut être rendu aussi proche del que l'on veut lorsquexest susamment proche dea. On note alors

x→alimf(x) =l

Exemple Quatre courbes : une "normale", une non dénie en a ayant une limite, une avec limite innie, une avec des limites diérentes à gauche et à droite.

Proposition Toutes les fonctions références connues pour l'instant (et en première) ont une limite en tout réelade leur domaine de dénition, et en plus :

x→alimf(x) =f(a)

→Exercices 17p113

On s'intéresse cependant le plus souvent à des limites de f(x) en a tel quef(a) n'est pas dénie. On utilise la propriété suivante :

Proposition Soitf et g deux fonctions etaun réel contenu dans un intervalleI. On suppose que : g est dénie surI et quef est dénie surIsauf en a.

pour toutx∈I,x6=a,f(x) =g(x)·

g admet une limite enaqui vautg(a). Alorsf admet une limite en aqui vautg(a).

Exempleg(x) =x−2et f(x) = (x−2)(x−1)

(x−1) . On a lim

x→1f(x) =−1 Nous reverrons de manière plus complète les limites de fonctions.

B Nombre dérivé

Activité 1 et 2 p60 (vitesse moyenne, vitesse instantanée par calcul et graphiquement) 1

2 CHAPITRE 1. NOMBRE DÉRIVÉ ET APPLICATIONS Dénition Soitf une fonction dénie sur un intervalle contenant un réela. On dit quef est dérivable enasi l'expression :

f(a+h)−f(a) h

admet une limite niellorsquehtend vers0. On appelle nombre dérivé de f en acette limitel. On la notef⁰(a).

On a

lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h =f⁰(a)ou lim

x→a

f(x)−f(a)

x−a =f⁰(a) (en eet, on posex=a+h)

Géométriquement, le nombre f(a+h)−f(a)

h est la pente de la droite passant par (a;f(a)) et (a+ h;f(a+h)). La limite est la pente (ou coecient directeur) de la tangente à la courbe de f enx=a. Exemple Dessin représentant les pentes,M s'approchant du pointA(a;f(a)).

Exemple soitf(x) = 2x²+ 5x−2. eta= 1. Alors f(a+h)−f(a)

h = 2(1 +h)²+ 5(1 +h)−2−(2(1)²+ 5(1)−2)

h = 2h²+ 4h+ 5h

h = 2h+ 9 Cette expression a pour limite9quandhtend vers0. Doncf⁰(1) = 9

Exemple En général on s'intéresse plus au nombre dérivé d'une fonction en un pointx0quelconque. En reprenant la fonctionf précédente, on exprime alors :

f(x₀+h)−f(x₀)

h = 2(x₀+h)²+ 5(x₀+h)−2−(2x²₀+ 5x₀−2)

h = 2x²₀+ 4x₀h+ 5h

h = 2h+ 4x₀+ 5 Cette expression a pour limite4x0+ 5quandhtend vers0. Doncf⁰(x0) = 4x0+ 5

→Exercices 6,7p70 (détermination graphique)

→Exercices 1,2p70 (nombre dérivé de fonctions anes et trinômes du second degré)

→Exercice 14p70 (fonction avec racine carrée, aide pour l'expression conjuguée)

Proposition Soitf une fonction admettant un nombre dérivé ena. Alors la tangente à la courbe def enaa pour équation :

y=f⁰(a)(x−a) +f(a)

Preuve : Notonsy=αx+βl'équation de la droite. La pente de la tangente vautf⁰(a)comme remarqué précédemment, doncα=f⁰(a). Or la droite, tangente à la courbe def, passe par le point de coordonnées (a;f(a)). Ainsi,f(a) =f⁰(a)a+β. Doncβ=f(a)−f⁰(a)aet l'équation de la droite est alors :

y=f⁰(a)x+f(a)−f⁰(a)a=f⁰(a)(x−a) +f(a)

2

→Exercices 4,5p70

C Approximation ane

Activité 4p61 (sauf 3. Faire observer que c'est la tangente, dont l'équation sera admise)

D. FONCTION DÉRIVÉE 3 Proposition (Approximation ane) Soitf une fonction dérivable en a. Alors les valeurs prises par f(x)sont proches, autour dea, des valeurs prises par l'expression de sa tangente ena. Autrement dit :

f(x)'f⁰(a)(x−a) +f(a)pourxproche de a ou

f(a+h)'f⁰(a)h+f(a)pourhproche de0

On appelle cette approximation l'approximation ane de f au voisinage de2

→Exercices 17,19,20p71

D Fonction dérivée

Dénition Soitf une fonction dénie sur un intervalle I. Si f est dérivable en tout réel de I, on dit quef est dérivable surIet on dénie une nouvelle fonction, la dérivée def surI, notéef⁰, par :

f⁰ :x7−→f⁰(x) . oùf⁰(x)est le nombre dérivé def enx.

Exemple La fonctionf :x7→ax²+bx+c est dérivable en toutx0 deRet f⁰(x0) = 2ax0+b. Doncf est dérivable surR, et sa dérivéef⁰ est dénie par f⁰(x) = 2ax+b.

Proposition Voici donnée dans le tableau ci-dessous les dérivées de fonctions référence :

Fonction Dérivée

f(x) =k surR f⁰(x) = 0surR f(x) =xsurR f⁰(x) = 1surR f(x) =xⁿ surR f⁰(x) =nxⁿ⁻¹surR f(x) =√

xsur[0; +∞[ f⁰(x) = 1 2√

x sur]0;∞[

f(x) = 1

x surR^? f⁰(x) =−1

x² surR^? Preuve :Faire la preuve pourf(x) = 1

x, les autres ayant été vues ou étant admises (xⁿ). 2 Proposition (Opération sur les fonctions et dérivées) Soituetvdeux fonctions dérivables sur un même intervalleI.

(u+v)est dérivable et(u+v)⁰=u⁰+v⁰. uvest dérivable et (uv)⁰=u⁰v+uv⁰.

Cas particulier, siv(x) =k (v est constante égale àk, k∈R),(ku)⁰ =ku⁰. u

v est dérivable pour toutx∈I tel que v(x)6= 0etu v

⁰

=u⁰v−uv⁰ v² . Cas particulier, siu(x) = 1, on au⁰(x) = 0et donc1

v 0

= −v⁰ v² .

Preuve : Faire celle deu+v. 2

Exemple On souhaite dériver la fonction f(x) = (3x+ 5)√

x. f peut être vue comme un produit : f =uvavecu(x) = 3x+ 5et v(x) =√

xLa fonction racine carréev est dérivable sur]0;inf ty[ainsi que la fonction aneu. Doncf est dérivable sur]0; +∞[et f⁰=u⁰v+uv⁰. On au⁰(x) = 3et v⁰(x) = 1

2√ x, donc

f⁰(x) = 3×√

x+ (3x+ 5)× 1 2√ x

4 CHAPITRE 1. NOMBRE DÉRIVÉ ET APPLICATIONS

→Exercices 30p71, 31,32,35,39,44p72, 46p73

→Exercices 50,51p73 (ajout de recherches de tangentes par coecient)