LYCÉE ALFRED KASTLER 1reES 2014–2015
Nombre dérivé v
1. Coefficient directeur d’une droite (rappel)
Soit Dune droite d’équation réduite y=mx+p, oùm etpsont des réels. On rappelle quem est le coefficient directeur de la droite et que si la droite passe par les points A et B, alors :
m= yB−yA xB−xA
Donner le coefficient directeur de la droite passant par A(2; 4) etB(3; 9).
2. Coefficient directeur d’une sécante à une courbe
Soit C la courbe représentative d’une fonction f. On considère deux points distincts A et B sur C, d’abscisses respectivesa et b.
(a) Exprimer les coordonnées de A et B en fonction dea,b etf. (b) Exprimer alors le coefficient directeur de la droite (AB).
(c) À partir de maintenant et pour la suite la fonction f est définie sur R par f(x) = x2. On considère les points A etB de la courbe d’abscisses respectives2et 2 +h, où hest un réel quelconque non nul. Vérifier que le coefficient directeur de (AB) est4 +h.
3. Quand B s’approche de A le long de la courbe
Le but est d’observer ce qui se passe lorsqueB s’approche deA tout en restant sur la courbe.
(a) Quand B s’approche de A vers quoi h s’approche-t-il ?
En utilisant le résultat de la question précédente, donner alors la valeur numérique vers laquelle s’approche le coefficient directeur de (AB).
(b) Graphiquement, vers quelle droite s’approche la droite (AB)lorsque B s’approche de A? On pourra utiliser Geogebra (fichier mis à disposition sur le réseau) pour se faire une idée.
(c) Vérifier à l’aide de Geogebra que le coefficient directeur de cette droite est le nombre obtenu précédemment. Pour cela on pourra demander à Geogebra de tracer cette droite, puis lire son coefficient directeur.
4. Généralisation
On considère ici A d’abscisse quelconque a et B d’abscisse a+h, où h est non nul.
(a) Exprimer le coefficient directeur de la droite (AB)en fonction de a ethet le simplifier au maximum.
(b) On admet que lorsque B s’approche de A en restant sur la courbe, le coefficient directeur s’approche du coefficient directeur de la tangente à la courbe C enA.
Quelle est alors la valeur de ce coefficient directeur (en fonction de a) ?
