D1 - Nombre dérivé en a (cours)
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1 NOMBRE DERIVE EN UN POINT
Le nombre dérivé en un point a est noté f’(a).
= → + −
Pour trouver le nombre dérivé d’une fonction en un point , il faut appliquer la formule suivante :
+ −
Et remplacer par 0.
Exemple 1 : Soit = 3 − 2
Calculer le nombre dérivé de en = 2.
• Calculons + ℎ = 2 + ℎ = 3 − 22 + ℎ = 3 − 4 − 2ℎ = −1 − 2ℎ
• Calculons = 2 = 3 − 2 × 2 = 3 − 4 = −1
• Soit
+ ℎ −
ℎ =2 + ℎ − 2
ℎ =−1 − 2ℎ − −1
ℎ =−2ℎ
ℎ = −2
Dans ce cas, ce n’est pas la peine de remplacer ℎ par 0. On a directement le résultat.
Le nombre dérivé de en est 2.
Exemple 2 :
Soit = −+ 1
Calculer le nombre dérivé en 1.
• Calculons + ℎ = 1 + ℎ = −1 + ℎ+ 1 = −1+ 2ℎ + ℎ + 1 = −1 − 2ℎ − ℎ+ 1 = −2ℎ − ℎ²
• Calculons = 1 = −1+ 1 = −1 + 1 = 0
• Soit
+ ℎ −
ℎ =1 + ℎ − 1
ℎ =−2ℎ − ℎ− 0
ℎ =ℎ −2 − ℎ
ℎ = −2 − ℎ Lorsque ℎ tend vers 0, −2 − ℎ = −2 − 0 = −2.
Donc le nombre dérivé de en 1 est −2.
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Exercice d’application
2
Soit =1 2 + 3
Calculer le nombre dérivé en 1.
Résolution :
On sait que est dérivable sur ℝ , 1 ∈ ℝ, donc est dérivable en 1.
Pour montrer que est dérivable en , il faut montrer que ∈ à l’ensemble de définition de .
On calcule + ℎ et : + ℎ = 1 + ℎ =1
2 1 + ℎ+ 3 =1
2 1 + 2ℎ + ℎ + 3 =1
2 + ℎ +1
2 ℎ+ 3 =1
2 ℎ+ ℎ +7 2 = 1 =1
2 × 1+ 3 =7 2
Soit :
+ ℎ −
ℎ =1 + ℎ − 1
ℎ =
12 ℎ+ ℎ + 72 −7
ℎ 2=ℎ %12ℎ + 1&
ℎ =1 2 ℎ + 1 On remplace dans l’expression trouver h par 0.
)→*lim
1 + ℎ − 1
ℎ =1
2 × 0 + 1 = 1 1 = 1
